袁衛(wèi)剛

在直線和圓相關(guān)問題的處理上，借助直線和圓中的平面幾何知識(shí)與結(jié)論，可以減少運(yùn)算量，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

1.通過直線和圓的自身特征簡(jiǎn)化運(yùn)算

證明：不論k取何值，直線和圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

分析 在判斷和落實(shí)直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，將直線和圓的方程聯(lián)立，通過判別式來判斷是一個(gè)途徑，但是計(jì)算比較繁瑣，把問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)幾何量——半徑和圓心到直線的距離的大小關(guān)系，計(jì)算則相對(duì)簡(jiǎn)捷.如果能夠通過方程挖掘直線幾何方面的特征，則可以起到四兩撥千斤的效果.

點(diǎn)評(píng) 此題通過聯(lián)立方程組求解運(yùn)算量非常大，通過計(jì)算圓心到直線的距離也需要求關(guān)于k的代數(shù)式的取值范圍.上述方法來源于我們對(duì)直線方程和圖形的認(rèn)識(shí).

分析 題中幾何語言的理解和轉(zhuǎn)換是計(jì)算的起點(diǎn)，決定著運(yùn)算路徑的簡(jiǎn)捷和運(yùn)算量的大小.

點(diǎn)評(píng) 此題如直接求出點(diǎn)P關(guān)于直線x+y-3=0的對(duì)稱點(diǎn)，再分別代人直線求解，運(yùn)算量偏大，就容易出錯(cuò).這里利用了圓的對(duì)稱性，轉(zhuǎn)化成直線x+y-3=0過圓心，求出a=-1.

2.利用平面圖形的特征簡(jiǎn)化運(yùn)算

許多平面圖形本身就有很多特征，如果我們有這方面的意識(shí)，積極主動(dòng)地加以挖掘利用，就可以幫助我們節(jié)省很多“成本”，簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高解題效率，

解析 直現(xiàn)與圓相交，弦心距、半徑、半個(gè)弦長組成了一個(gè)直角三角形，可以作為解題的切人點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 例3、例4中直角三角形中勾股定理的使用，以及對(duì)過定點(diǎn)的直線到另一定點(diǎn)距離的理解，從幾何角度幫助我們大大地減少了計(jì)算環(huán)節(jié)和計(jì)算量，

對(duì)例3，我們還應(yīng)注意到，當(dāng)弦長最短時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的劣弧長也最短，對(duì)應(yīng)的圓心角也最小;對(duì)例4，也能解決兩切線的夾角的最值問題以及直角三角形面積的最小值問題.

3.利用平面幾何的相關(guān)定理轉(zhuǎn)化

初中所學(xué)平面幾何知識(shí)中有很多定理及推論，這些結(jié)論也可以為我們?cè)谔幚斫馕鰩缀螁栴}提供簡(jiǎn)捷的解題途徑，幫助我們減少計(jì)算環(huán)節(jié)和計(jì)算量.

分析 考慮到A，B兩點(diǎn)都不是定點(diǎn)，因此，不易直接求PA，PB的值.

點(diǎn)評(píng) 此題若設(shè)出直線方程，再聯(lián)立方程組，利用弦長公式求解，運(yùn)算量較大.若利用圓冪定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，運(yùn)算就非常簡(jiǎn)單了.

分析 本題正常思路是得出以O(shè)M為直徑的圓的方程，再求出過A（1，0）點(diǎn)且垂直于OM的直線方程，接著與圓方程聯(lián)立求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，又題目中有參數(shù)t，計(jì)算繁雜，導(dǎo)致錯(cuò)誤率激增.可以有意識(shí)地探討平面幾何方面的知識(shí)，加以應(yīng)用，

點(diǎn)評(píng) 平面幾何中的有關(guān)定理，已經(jīng)濃縮了許多思考和運(yùn)算步驟，有效加以運(yùn)用，自然會(huì)起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.

由此可見，解析幾何中的運(yùn)算是不可避免的，但一味去進(jìn)行一些不合理的運(yùn)算也是不明智的，這不僅不能提升數(shù)學(xué)能力，也會(huì)對(duì)自己的學(xué)習(xí)失去信心.只有通過各種途徑，把本來只能進(jìn)行繁瑣的運(yùn)算的問題，一步步通過轉(zhuǎn)化，變?yōu)檩^為簡(jiǎn)捷的運(yùn)算問題，才是解決此類問題最有效的策略.