徐瑰瑰，王利波，林國廣

(1.凱里學(xué)院 理學(xué)院，貴州 凱里 556011；2.云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南 昆明 650091)

考慮如下帶有時滯項的高階Kirchhoff型方程整體吸引子的存在性：

(1)

方程(1)中m>1,Ω?Rn(n≥1)是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，h>0是時滯時間，φ是當(dāng)h>0時區(qū)間[τ-h,τ]上的初始值;當(dāng)θ∈[-h,0]時， 定義ut(θ)=u(t+θ)，ν是?Ω上的單位法向量.

Kirchhoff[1]在研究彈力繩的非線性震動時首次提出了Kirchhoff繩模型.隨后，Kirchhoff型波方程整體解的存在唯一性以及解的爆破性引起了許多學(xué)者的廣泛研究.Yang等[2]研究了如下帶有強(qiáng)耗散項的Kirchhoff型方程的整體吸引子:

其中x∈Ω,t>0,且

Li等[3]研究了如下帶有非線性耗散項的高階Kirchhoff型方程解的整體存在性和爆破性:

其中Ω?RN(N≥1)是具有光滑邊界的有界開區(qū)域，ν是向外的法向量，m>1是正整數(shù)，p,q,r>0是正常數(shù).文中利用凹度方法，得到當(dāng)p≤r時解具有整體存在性，然而當(dāng)p>max{r,2q}時，對任何帶有負(fù)初始能量的初始值，解以Lp+2中的范數(shù)在有限時間內(nèi)爆破.Salim[4]通過修改證明方法，不僅改善了文獻(xiàn)[3]的結(jié)果，而且證明了當(dāng)正初始能量有上界的時候，解在有限時間內(nèi)也爆破.受文獻(xiàn)[3-4]的啟發(fā)，Ye等[5]研究了如下帶有阻尼項和源項的高階Kirchhoff型的雙曲方程:

Gao等[6]研究了如下帶有非線性強(qiáng)阻尼項的高階非線性Kirchhoff型方程:

其中m>1是正整數(shù)，Ω?Rn是具有光滑邊界的有界區(qū)域，ν是向外的法向量，q>0是正常數(shù)，g(u)是非線性函數(shù).通過改善文獻(xiàn)[5]中非線性項的假設(shè)條件，文獻(xiàn)[6]得到了上述方程光滑解的整體存在唯一性，進(jìn)而得到解半群{S(t)}t≥0具有整體吸引子，最后證明了該整體吸引子具有有限的Hausdorff維數(shù)和Fractal維數(shù).

Lin等[7]研究了如下帶有強(qiáng)耗散項的高階非線性Kirchhoff型波方程的解的局部存在性和爆破性:

其中m>1是正整數(shù)，Ω?Rn是具有光滑邊界的有界區(qū)域，ν是向外的法向量，a≥0,b≥0,p≥0,q≥1是常數(shù).

由于時滯偏微分方程帶有對過去狀態(tài)的刻畫，能夠更精確地反映現(xiàn)實(shí)，因而時滯偏微分方程的研究也吸引了越來越多學(xué)者的注意[8-12].目前，關(guān)于高階Kirchhoff型方程的研究主要集中在解的爆破及其存在性，對帶有時滯的高階Kirchhoff型方程的研究鮮見報道.拉回吸引子是相空間的一族緊集，在過程的作用下具有不變性，且拉回吸引相空間中的有界集.從存在性角度考慮，相對一致吸引子而言，可以在較弱的外力假設(shè)下得到拉回吸引子的存在性.因此，研究帶有時滯項的高階Kirchhoff型方程的拉回吸引子是十分有意義的.

1 預(yù)備知識

為了后面證明的需要，首先引入以下符號：

H=L2(Ω)中的范數(shù)與內(nèi)積分別記作·和(·,·)，且記

(H1)對?ξ∈R,h(ξ)是連續(xù)的；

(H2)h(0)=0;

(H3)存在一個常數(shù)Lh>0，使得對任意的ξ,η∈R,有h(t,ξ)-h(t,η)≤Lhξ-η;

(H4)存在常數(shù)m0>0,Ch>0,使得對任意的m∈[0,m0],t≥τ,u,v∈C0([τ-r,τ],H),有

1)U(t,τ)=U(t,r)U(r,τ),?τ≤r≤t;

2)U(τ,τ)=I為恒同算子，τ∈R.

則稱U(t,τ)是一個過程.

?t∈R.

定理1[9](Poincare不等式) 若Ω?Rn是有界開子集,則

2 拉回吸引子的存在性

λ1是-Δ在H中的第一個特征值,而

用v與問題(1)中的第一個方程在H中作內(nèi)積,可得

對(4)式逐項進(jìn)行計算，有

把(5)～(7)式代入(4)式，可得

而由Young不等式及Poincare不等式可得

其中λ1是-Δ在H中的第一個特征值.

由f(x)∈H及Young不等式可得

把(9)～(12)式代入(8)式，可得

由Young不等式可得

(14)

其中

在[τ,t]上對上式積分，有

由廣義Young不等式可知

因而由(16)式可得

用t+θ(-h<θ<0)代替上式中的t，則有

從而定理中的(2)式得證.

因此存在常數(shù)E0>0和t0>τ,使得當(dāng)t≥t0時,有

從而定理中的(3)式得證. 】

定理3若條件(H1)～(H4)成立且

其中

因而存在常數(shù)E1>0和t1>τ,使得當(dāng)t>t1時有

對(17)式逐項進(jìn)行計算，有

由Young不等式及Poincare不等式可得

其中λ1是-Δ在H中的第一個特征值.

把(18)～(23)式代入(17)式，有

由定理2可知，Dmu2-ε>0，由于

所以

在[τ,t]上，對(26)式利用Gronwall不等式，可得

Dmφ2e(2ε-C)(t-τ)→0,

因而

由定理2可知，Dmu2是有界的，這表明(26)式成立，則(25)式可以變形為

其中

對上式在[τ,t]上積分，有

設(shè)α1=min{1,Dmu2-ε}，則

用t+θ(-h<θ<0)代替上式中的t,則有

因而存在常數(shù)E1>0和t1>τ,使得當(dāng)t≥t1時,有

從而定理得證. 】

定理4若條件(H1)～(H4)成立,且

證明由Fadeo-Galerkin方法以及定理2和定理3可得初邊值問題(1)的光滑解的存在性,下面證明解的唯一性.

設(shè)u1,u2是問題(1)的兩個解,φ,φ是相應(yīng)的初值,記ω=u1-u2,當(dāng)t∈[τ-h,τ]時,

于是

對(29)式逐項進(jìn)行處理,可得

把(30)～(33)式代入到(29)式,可得

由定理2，定理3，Lagrange中值定理以及絕對值不等式可得

由條件(H3)可得

利用(35),(36)式及定理2,可將(34)式變形為

其中

在[τ,t]上對(37)式使用Gronwall不等式,可得

即

于是

即

ω(x,t)=0.

所以當(dāng)初值相同時,u1=u2,從而得到了解的唯一性. 】