秦 律，汪木蘭，朱曉春，王保升

(南京工程學(xué)院江蘇省先進(jìn)數(shù)控技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 211167)

隨著智能制造的深入發(fā)展，具備焊接、碼垛、搬運(yùn)等功能的串聯(lián)機(jī)器人因其結(jié)構(gòu)簡單、制造成本低廉、控制便捷等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)自動(dòng)化生產(chǎn)線[1-2]。軌跡規(guī)劃作為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的基礎(chǔ)，對(duì)研究機(jī)器人的運(yùn)行效率、作業(yè)精度和工作平穩(wěn)性具有重要意義。為尋求軌跡最優(yōu)解，可分別對(duì)能量、時(shí)間、沖擊等機(jī)器人工作指標(biāo)進(jìn)行局部優(yōu)化，或者綜合考慮上述指標(biāo)以獲取全局最優(yōu)[3]。

對(duì)機(jī)器人運(yùn)行時(shí)間的最優(yōu)化求解為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)，其中較為成熟的時(shí)間優(yōu)化算法有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、遺傳算法、粒子群算法和蟻群算法[4]。文獻(xiàn)[5]提出了一種改進(jìn)型免疫克隆優(yōu)化方法，以擁擠距離確定克隆規(guī)模大小來保留最優(yōu)解，采用親和度較高的個(gè)體代替消亡個(gè)體，加速種群的收斂速度。文獻(xiàn)[6]采用序列二次規(guī)劃方法求解在非線性約束條件下的最短時(shí)間，在目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行迭代時(shí)，以牛頓法得到的拉格朗日函數(shù)構(gòu)成的Hessian矩陣來實(shí)現(xiàn)收斂，但該方法判斷收斂的條件復(fù)雜，降低了尋優(yōu)效率，并且不能保證局部軌跡的精度。文獻(xiàn)[7]采用自適應(yīng)遺傳算法進(jìn)行時(shí)間優(yōu)化，通過調(diào)整后期變異概率，增加種群的多樣性。但利用罰函數(shù)處理運(yùn)動(dòng)學(xué)約束時(shí)，不滿足約束的個(gè)體所受懲罰量較大，易出現(xiàn)適應(yīng)度值較大的特殊個(gè)體引導(dǎo)種群發(fā)展，導(dǎo)致尋優(yōu)過程陷入局部最優(yōu)并過早收斂。

本文在用三次樣條函數(shù)對(duì)機(jī)器人軌跡進(jìn)行插值的基礎(chǔ)上，采用聚類方法改進(jìn)的遺傳算子對(duì)個(gè)體適應(yīng)度值大小進(jìn)行分類，制定不同選擇方法，保留優(yōu)良個(gè)體并兼顧種群多樣性。以新的變異操作對(duì)后期的最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行調(diào)整，提高搜索效率，求出機(jī)器人的最短工作時(shí)間。

1 三次樣條插值規(guī)劃

三次樣條插值函數(shù)的剖分子區(qū)間均為三次多項(xiàng)式，通過給定邊界條件對(duì)各型值點(diǎn)進(jìn)行插值擬合。將其運(yùn)用于機(jī)器人軌跡規(guī)劃中，既保證了機(jī)器人關(guān)節(jié)位移和速度的連續(xù)性，又能防止關(guān)節(jié)角加速度的突變，使機(jī)器人運(yùn)行平穩(wěn)且避免震動(dòng)。

(1)

(2)

(3)

對(duì)式(1)進(jìn)行微分，求出相應(yīng)時(shí)間段的關(guān)節(jié)角加加速度，即：

(4)

(5)

(6)

依此類推，將式(5)寫成矩陣形式得：

(7)

式中：方程組的系數(shù)矩陣為三對(duì)角矩陣，由于|λi|+|μi|=1，則|λi|+|μi|，|λi|,|μi|三者均小于主對(duì)角元素2，所以系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。通過追趕法求得Sj,1,Sj,2,…,Sj,n的數(shù)值，代入式(3)，得到完整的關(guān)節(jié)角位移表達(dá)式。

2 多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)

通過三次樣條函數(shù)，使機(jī)器人能對(duì)關(guān)節(jié)的角位移、角速度與角加速度進(jìn)行實(shí)時(shí)控制。考慮到提高機(jī)器人的運(yùn)行效率，還需要對(duì)各關(guān)節(jié)的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化，使機(jī)器人能夠高效地完成工作任務(wù)。

將機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的整段軌跡曲線按選取的型值點(diǎn)進(jìn)行剖分，通過對(duì)各分段軌跡的時(shí)間優(yōu)化來達(dá)到總時(shí)間的最優(yōu)，即：

(8)

式中:Tmin為機(jī)器人完成整段軌跡曲線所需最短時(shí)間。機(jī)器人關(guān)節(jié)在進(jìn)行軌跡規(guī)劃運(yùn)動(dòng)時(shí)還會(huì)受速度、加速度、加加速度的約束，即：

(9)

3 時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃

遺傳算法是在進(jìn)化論和自然遺傳機(jī)制上衍生的搜索方法，相對(duì)于傳統(tǒng)優(yōu)化算法，具有全局性、并行性、靈活性等特點(diǎn)。本文利用基于聚類方法的遺傳算法[8-9]，對(duì)進(jìn)行三次樣條插值后的關(guān)節(jié)軌跡進(jìn)行時(shí)間優(yōu)化，在保證種群多樣性的同時(shí)，加強(qiáng)了局部搜索能力。其具體算法流程如圖1所示。

圖1 基于聚類方法的遺傳算法流程圖

1)編碼。

對(duì)各分段軌跡曲線的運(yùn)動(dòng)時(shí)間進(jìn)行二進(jìn)制編碼，設(shè)定編碼長度，使可行解的精度為0.001。該操作簡單易行，使交叉、變異等遺傳操作便于實(shí)現(xiàn)。

2)種群初始化。

在滿足約束條件的情況下，對(duì)種群進(jìn)行初始化，在hi的值域內(nèi)，隨機(jī)生成多個(gè)新個(gè)體，并設(shè)置種群的規(guī)模為m。為保持種群的多樣性，并方便后續(xù)的適應(yīng)度值分類，m選取20～100之間的奇數(shù)。

3)適應(yīng)度函數(shù)建立與標(biāo)定。

用外罰函數(shù)法處理式(9)中的不等式約束條件，通過對(duì)不滿足約束條件的個(gè)體施加懲罰項(xiàng)，并隨著種群的發(fā)展，增大懲罰量，迫使迭代點(diǎn)逐步向可行域靠近。其表達(dá)式如下：

(10)

(11)

(12)

當(dāng)算法逐漸收斂時(shí)，由于群體中個(gè)體的適應(yīng)度值比較接近，造成尋優(yōu)停留在最優(yōu)解附近，為提高選擇能力，此時(shí)應(yīng)增大個(gè)體適應(yīng)度值。因此針對(duì)式(11)的適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行重新標(biāo)定，即：

(13)

式中：F(t)為標(biāo)定后的適應(yīng)度值；Fit(t)min為原適應(yīng)度函數(shù)值的下界；Fit(t)max為原適應(yīng)度函數(shù)值的上界；δ為開區(qū)間(0，1)內(nèi)的一個(gè)正實(shí)數(shù)。

4)選擇與交叉。

(14)

5)變異。

在尋優(yōu)過程進(jìn)入后期時(shí)，由于采用的標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法其變異概率保持不變，使得算法在后期迭代時(shí)停滯不前，降低了收斂速度。為加強(qiáng)局部搜索能力，在后期引入新的變異算子。具體定義如下：

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 構(gòu)建機(jī)器人模型

首先對(duì)PUMA560機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，采用D-H法建模，構(gòu)建機(jī)器人各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，并求出對(duì)應(yīng)參數(shù)，即關(guān)節(jié)角θi、相鄰兩關(guān)節(jié)軸扭角αi-1、連桿長度ai-1、相鄰兩連桿間偏置di，再將參數(shù)導(dǎo)出，具體見表1。

表1 PUMA560的D-H參數(shù)表

在MATLAB的Robotics Toolbox中創(chuàng)建PUMA560機(jī)器人，將D-H參數(shù)表中各數(shù)值導(dǎo)入Link函數(shù)LINK([alpha A theta D sigma offset],‘Standard’)中來定義連桿屬性，再用SerialLink函數(shù)SerialLink([L1,L2,L3,L4,L5,L6])定義6個(gè)關(guān)節(jié)屬性，建立的機(jī)器人模型如圖2所示。

圖2 PUMA560機(jī)器人模型

4.2 時(shí)間優(yōu)化

本文引用文獻(xiàn)[10]、[11]中的型值點(diǎn)參數(shù)和各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件，其參數(shù)見表2和表3。對(duì)PUMA560的前3個(gè)關(guān)節(jié)(腰部、肩部、大臂)進(jìn)行時(shí)間優(yōu)化，對(duì)比上述文獻(xiàn)中的結(jié)果，驗(yàn)證改進(jìn)的遺傳算法的可行性。

表2 型值點(diǎn)關(guān)節(jié)位置序列 (°)

總共選取8個(gè)型值點(diǎn)，并且3個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)角速度都為0。

表3 運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件

將型值點(diǎn)的關(guān)節(jié)位置序列代入改進(jìn)后的遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化仿真，在滿足關(guān)節(jié)的角速度、角加速度、角加加速度的約束條件下，求解的前3個(gè)關(guān)節(jié)的最優(yōu)軌跡規(guī)劃時(shí)間為[14.015,14.317,13.952]s，比文獻(xiàn)[10]中的優(yōu)化結(jié)果[20.680,20.772,19.920]s減少了[6.665,6.455,5.968]s,比文獻(xiàn)[11]中的優(yōu)化結(jié)果[16.018,16.444,17.416]s減少了[2.003,2.127,3.464]s,達(dá)到了對(duì)機(jī)器人軌跡規(guī)劃運(yùn)行時(shí)間優(yōu)化的目的。將優(yōu)化后的時(shí)間迭代圖與文獻(xiàn)[7]、[11]中的AGA(自適應(yīng)遺算法)、SGA(標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法)的迭代圖進(jìn)行比較，其對(duì)比結(jié)果如圖3所示。

圖3 算法迭代收斂對(duì)比圖

由圖可知，采用SGA算法在第180代時(shí)開始收斂，采用AGA算法在第90代時(shí)開始收斂，而基于聚類方法的遺傳算法在第75代時(shí)就開始收斂，收斂速度得到較大提升，說明該算法在后期的搜索效率得到提高，縮短了算法迭代收斂的時(shí)間。進(jìn)行時(shí)間優(yōu)化后的關(guān)節(jié)角位移、角速度、角加速度與角加加速度的曲線如圖4所示。由圖可知，優(yōu)化后的角位移、角速度、角加速度的運(yùn)行軌跡連續(xù)且光滑，同時(shí)滿足表3中的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件，完成了機(jī)器人時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃的任務(wù)。

圖4 關(guān)節(jié)時(shí)間最優(yōu)軌跡曲線

5 結(jié)束語

本文利用三次樣條函數(shù)擬合機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡，保證各關(guān)節(jié)角位移、角速度、角加速度的連續(xù)性。在滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件的情況下，利用基于聚類方法的遺傳算法對(duì)插值時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化。從對(duì)比實(shí)驗(yàn)的結(jié)果來看，該算法在后期的迭代收斂速度得到提升，機(jī)器人各關(guān)節(jié)的運(yùn)行時(shí)間也明顯縮短。在后期的研究中，將對(duì)能量、沖擊等目標(biāo)進(jìn)行綜合優(yōu)化，以進(jìn)一步提高機(jī)器人運(yùn)行效率。