秦 律，汪木蘭，朱曉春，王保升

(南京工程學院江蘇省先進數(shù)控技術重點實驗室，江蘇 南京 211167)

隨著智能制造的深入發(fā)展，具備焊接、碼垛、搬運等功能的串聯(lián)機器人因其結(jié)構(gòu)簡單、制造成本低廉、控制便捷等優(yōu)點，被廣泛應用于工業(yè)自動化生產(chǎn)線[1-2]。軌跡規(guī)劃作為機器人運動控制的基礎，對研究機器人的運行效率、作業(yè)精度和工作平穩(wěn)性具有重要意義。為尋求軌跡最優(yōu)解，可分別對能量、時間、沖擊等機器人工作指標進行局部優(yōu)化，或者綜合考慮上述指標以獲取全局最優(yōu)[3]。

對機器人運行時間的最優(yōu)化求解為當前的研究熱點，其中較為成熟的時間優(yōu)化算法有人工神經(jīng)網(wǎng)絡算法、遺傳算法、粒子群算法和蟻群算法[4]。文獻[5]提出了一種改進型免疫克隆優(yōu)化方法，以擁擠距離確定克隆規(guī)模大小來保留最優(yōu)解，采用親和度較高的個體代替消亡個體，加速種群的收斂速度。文獻[6]采用序列二次規(guī)劃方法求解在非線性約束條件下的最短時間，在目標函數(shù)進行迭代時，以牛頓法得到的拉格朗日函數(shù)構(gòu)成的Hessian矩陣來實現(xiàn)收斂，但該方法判斷收斂的條件復雜，降低了尋優(yōu)效率，并且不能保證局部軌跡的精度。文獻[7]采用自適應遺傳算法進行時間優(yōu)化，通過調(diào)整后期變異概率，增加種群的多樣性。但利用罰函數(shù)處理運動學約束時，不滿足約束的個體所受懲罰量較大，易出現(xiàn)適應度值較大的特殊個體引導種群發(fā)展，導致尋優(yōu)過程陷入局部最優(yōu)并過早收斂。

本文在用三次樣條函數(shù)對機器人軌跡進行插值的基礎上，采用聚類方法改進的遺傳算子對個體適應度值大小進行分類，制定不同選擇方法，保留優(yōu)良個體并兼顧種群多樣性。以新的變異操作對后期的最優(yōu)個體進行調(diào)整，提高搜索效率，求出機器人的最短工作時間。

1 三次樣條插值規(guī)劃

三次樣條插值函數(shù)的剖分子區(qū)間均為三次多項式，通過給定邊界條件對各型值點進行插值擬合。將其運用于機器人軌跡規(guī)劃中，既保證了機器人關節(jié)位移和速度的連續(xù)性，又能防止關節(jié)角加速度的突變，使機器人運行平穩(wěn)且避免震動。

(1)

(2)

(3)

對式(1)進行微分，求出相應時間段的關節(jié)角加加速度，即：

(4)

(5)

(6)

依此類推，將式(5)寫成矩陣形式得：

(7)

式中：方程組的系數(shù)矩陣為三對角矩陣，由于|λi|+|μi|=1，則|λi|+|μi|，|λi|,|μi|三者均小于主對角元素2，所以系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)矩陣。通過追趕法求得Sj,1,Sj,2,…,Sj,n的數(shù)值，代入式(3)，得到完整的關節(jié)角位移表達式。

2 多目標優(yōu)化函數(shù)

通過三次樣條函數(shù)，使機器人能對關節(jié)的角位移、角速度與角加速度進行實時控制?？紤]到提高機器人的運行效率，還需要對各關節(jié)的運行時間進行優(yōu)化，使機器人能夠高效地完成工作任務。

將機器人運動的整段軌跡曲線按選取的型值點進行剖分，通過對各分段軌跡的時間優(yōu)化來達到總時間的最優(yōu)，即：

(8)

式中:Tmin為機器人完成整段軌跡曲線所需最短時間。機器人關節(jié)在進行軌跡規(guī)劃運動時還會受速度、加速度、加加速度的約束，即：

(9)

3 時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃

遺傳算法是在進化論和自然遺傳機制上衍生的搜索方法，相對于傳統(tǒng)優(yōu)化算法，具有全局性、并行性、靈活性等特點。本文利用基于聚類方法的遺傳算法[8-9]，對進行三次樣條插值后的關節(jié)軌跡進行時間優(yōu)化，在保證種群多樣性的同時，加強了局部搜索能力。其具體算法流程如圖1所示。

圖1 基于聚類方法的遺傳算法流程圖

1)編碼。

對各分段軌跡曲線的運動時間進行二進制編碼，設定編碼長度，使可行解的精度為0.001。該操作簡單易行，使交叉、變異等遺傳操作便于實現(xiàn)。

2)種群初始化。

在滿足約束條件的情況下，對種群進行初始化，在hi的值域內(nèi)，隨機生成多個新個體，并設置種群的規(guī)模為m。為保持種群的多樣性，并方便后續(xù)的適應度值分類，m選取20～100之間的奇數(shù)。

3)適應度函數(shù)建立與標定。

用外罰函數(shù)法處理式(9)中的不等式約束條件，通過對不滿足約束條件的個體施加懲罰項，并隨著種群的發(fā)展，增大懲罰量，迫使迭代點逐步向可行域靠近。其表達式如下：

(10)

(11)

(12)

當算法逐漸收斂時，由于群體中個體的適應度值比較接近，造成尋優(yōu)停留在最優(yōu)解附近，為提高選擇能力，此時應增大個體適應度值。因此針對式(11)的適應度函數(shù)進行重新標定，即：

(13)

式中：F(t)為標定后的適應度值；Fit(t)min為原適應度函數(shù)值的下界；Fit(t)max為原適應度函數(shù)值的上界；δ為開區(qū)間(0，1)內(nèi)的一個正實數(shù)。

4)選擇與交叉。

(14)

5)變異。

在尋優(yōu)過程進入后期時，由于采用的標準遺傳算法其變異概率保持不變，使得算法在后期迭代時停滯不前，降低了收斂速度。為加強局部搜索能力，在后期引入新的變異算子。具體定義如下：

4 仿真實驗

4.1 構(gòu)建機器人模型

首先對PUMA560機器人進行運動學分析，采用D-H法建模，構(gòu)建機器人各關節(jié)坐標系，并求出對應參數(shù)，即關節(jié)角θi、相鄰兩關節(jié)軸扭角αi-1、連桿長度ai-1、相鄰兩連桿間偏置di，再將參數(shù)導出，具體見表1。

表1 PUMA560的D-H參數(shù)表

在MATLAB的Robotics Toolbox中創(chuàng)建PUMA560機器人，將D-H參數(shù)表中各數(shù)值導入Link函數(shù)LINK([alpha A theta D sigma offset],‘Standard’)中來定義連桿屬性，再用SerialLink函數(shù)SerialLink([L1,L2,L3,L4,L5,L6])定義6個關節(jié)屬性，建立的機器人模型如圖2所示。

圖2 PUMA560機器人模型

4.2 時間優(yōu)化

本文引用文獻[10]、[11]中的型值點參數(shù)和各關節(jié)運動學約束條件，其參數(shù)見表2和表3。對PUMA560的前3個關節(jié)(腰部、肩部、大臂)進行時間優(yōu)化，對比上述文獻中的結(jié)果，驗證改進的遺傳算法的可行性。

表2 型值點關節(jié)位置序列 (°)

總共選取8個型值點，并且3個關節(jié)運動軌跡的起點與終點角速度都為0。

表3 運動學約束條件

將型值點的關節(jié)位置序列代入改進后的遺傳算法進行優(yōu)化仿真，在滿足關節(jié)的角速度、角加速度、角加加速度的約束條件下，求解的前3個關節(jié)的最優(yōu)軌跡規(guī)劃時間為[14.015,14.317,13.952]s，比文獻[10]中的優(yōu)化結(jié)果[20.680,20.772,19.920]s減少了[6.665,6.455,5.968]s,比文獻[11]中的優(yōu)化結(jié)果[16.018,16.444,17.416]s減少了[2.003,2.127,3.464]s,達到了對機器人軌跡規(guī)劃運行時間優(yōu)化的目的。將優(yōu)化后的時間迭代圖與文獻[7]、[11]中的AGA(自適應遺算法)、SGA(標準遺傳算法)的迭代圖進行比較，其對比結(jié)果如圖3所示。

圖3 算法迭代收斂對比圖

由圖可知，采用SGA算法在第180代時開始收斂，采用AGA算法在第90代時開始收斂，而基于聚類方法的遺傳算法在第75代時就開始收斂，收斂速度得到較大提升，說明該算法在后期的搜索效率得到提高，縮短了算法迭代收斂的時間。進行時間優(yōu)化后的關節(jié)角位移、角速度、角加速度與角加加速度的曲線如圖4所示。由圖可知，優(yōu)化后的角位移、角速度、角加速度的運行軌跡連續(xù)且光滑，同時滿足表3中的運動學約束條件，完成了機器人時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃的任務。

圖4 關節(jié)時間最優(yōu)軌跡曲線

5 結(jié)束語

本文利用三次樣條函數(shù)擬合機器人運動軌跡，保證各關節(jié)角位移、角速度、角加速度的連續(xù)性。在滿足運動學約束條件的情況下，利用基于聚類方法的遺傳算法對插值時間進行優(yōu)化。從對比實驗的結(jié)果來看，該算法在后期的迭代收斂速度得到提升，機器人各關節(jié)的運行時間也明顯縮短。在后期的研究中，將對能量、沖擊等目標進行綜合優(yōu)化，以進一步提高機器人運行效率。