樓曉明 黃 慎 韓雪靖 周 平

（1.福州大學(xué)紫金礦業(yè)學(xué)院，福建福州350116；2.福州大學(xué)爆炸技術(shù)研究所，福建福州350116）

礦山采空區(qū)在礦柱流變、分化及剝落等因素的影響下，空區(qū)頂板會(huì)發(fā)生大面積冒落，引發(fā)嚴(yán)重的礦山事故［1-2］。因此建立合理的力學(xué)模型并預(yù)測采空區(qū)頂板穩(wěn)定時(shí)間，對(duì)于指導(dǎo)采空區(qū)進(jìn)行及時(shí)有效的支護(hù)、充填等工作具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。目前，已有很多學(xué)者對(duì)采空區(qū)穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。在采空區(qū)穩(wěn)定時(shí)間方面，來興平［3］等采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法，構(gòu)建出具有多個(gè)自由度的神經(jīng)元，將其耦合成適用于力學(xué)問題的網(wǎng)絡(luò)，對(duì)采空區(qū)圍巖損傷進(jìn)行計(jì)算，得到時(shí)間序列模式下采空區(qū)圍巖環(huán)境損傷破壞的演化趨勢(shì)；李愛兵［4］等以結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化為基礎(chǔ)，采用SVM算法，對(duì)現(xiàn)有工程的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)回歸，確定了采空區(qū)穩(wěn)定時(shí)間；張?jiān)矗?］等利用工業(yè)電子窺視儀對(duì)頂板進(jìn)行攝像觀察，通過統(tǒng)計(jì)分析其攝像數(shù)據(jù)，得出頂板裂隙演化規(guī)律及頂板破壞形式，預(yù)測了頂板的穩(wěn)定時(shí)間。但由于國內(nèi)礦山的數(shù)據(jù)資料存在著不連貫、不及時(shí)、不可靠等問題，所以采用基于數(shù)據(jù)庫的算法確定的采空區(qū)穩(wěn)定時(shí)間存在較大誤差。另外，實(shí)地?cái)z像、監(jiān)測等方法存在實(shí)施過程復(fù)雜，推廣性不強(qiáng)等缺陷。在采空區(qū)頂板—柱體系力學(xué)模型方面，常見的一類模型是將采空區(qū)頂板簡化為巖梁，將礦柱視為Winkler彈性地基基礎(chǔ)［6-7］。巖梁模型雖簡單易算，但存在未考慮頂板空間效應(yīng)及頂板各向異性的缺點(diǎn)。為解決巖梁模型存在的問題，基于彈性薄板理論，J A Wang［8］等將頂板簡化為彈性薄板，礦柱視為均布彈簧建立力學(xué)模型，但其未考慮礦柱本身的流變；孫琦［9］等同樣將頂板簡化為彈性薄板，并將礦柱視為Burgers體建立力學(xué)模型，但在進(jìn)行解析計(jì)算時(shí)，存在未完全求解的缺點(diǎn)；李鐵［10］等在建立力學(xué)模型時(shí)，將礦柱視為廣義Kelvin體，得到了采空區(qū)變形發(fā)展與時(shí)間的關(guān)系，但其模型參數(shù)較少。

為了更好反映巖石特性，得到更具有代表性的采空區(qū)流變方程，選用Hooke-Kelvin-kelvin模型建立礦柱—頂板流變力學(xué)體系，結(jié)合彈性薄板理論，分析頂板流變失穩(wěn)過程，預(yù)測采空區(qū)頂板的穩(wěn)定時(shí)間。

1 流變力學(xué)模型的建立與求解

1.1 模型建立

將采空區(qū)頂板簡化為彈性矩形薄板（如圖1），設(shè)該彈性矩形薄板長為2a，寬為2b（b≤a），厚為h。礦柱視為Hooke-Kelvin-kelvin模型（如圖2），采空區(qū)礦柱—頂板體系簡化模型見圖3。假設(shè)礦柱等間距分布，礦柱總的數(shù)量為n，高度為h，平均面積為A。

則Hooke-Kelvin-kelvin模型的本構(gòu)方程可表示為：

式中，E1，E2，E3為彈性系數(shù)；η1，η2為黏性系數(shù)。令：

則礦柱本構(gòu)關(guān)系可簡化為：

礦柱應(yīng)變與位移關(guān)系為：

1.2 礦柱—頂板體系微分方程的建立

基于彈性薄板理論，采空區(qū)頂板控制方程為：

其中，

式中，D為薄板抗彎剛度；?為拉普拉斯算子；ω為薄板撓度；ξ為將礦柱應(yīng)力等效成均布應(yīng)力系數(shù)；σ為礦柱內(nèi)應(yīng)力；q為頂板所受均荷載；E為彈性模量；H為薄板厚度；μ為泊松比。

求采空區(qū)的頂板變形轉(zhuǎn)化為求式（2），（3），（4）解的問題。將Hooke-Kelvin-kelvin模型本構(gòu)方程，礦柱應(yīng)變與位移關(guān)系式，代入頂板控制方程式可得：

式（7）即為采空區(qū)頂板—礦柱體系的微分方程。其中，ω?，ω?分別為頂板下沉撓度ω對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)。

1.3 礦柱-頂板體系微分方程的求解

采用Galerkin法求解式（7），設(shè)撓度有如下解析解的形式：

式中，ω0（t）為采空區(qū)頂板中心點(diǎn)的下沉位移，亦即采空區(qū)頂板最大下沉位移。則有

則有：

式（11）為一個(gè)二階非齊次線性微分方程，其通解為：

式中，C1，C2為積分常數(shù)；r1，r2表達(dá)式如下：

1.4 積分常數(shù)的求解

空區(qū)頂板的變形破壞過程：初始狀態(tài)，空區(qū)頂板四周邊界固支，此時(shí)空區(qū)頂板變形沉降導(dǎo)致邊界破壞，隨后長短邊發(fā)生破壞，邊界狀態(tài)由固支轉(zhuǎn)為簡支。具體見圖4。

（1）當(dāng)采空區(qū)頂板未發(fā)生破壞時(shí)，其邊界為固定邊界，邊界條件為：

設(shè)頂板撓度的解析解的形式為:

顯然f（x，y）滿足所有邊界條件，將f（x，y）代入式（10）可得：

礦柱在初始狀態(tài)受壓時(shí)會(huì)產(chǎn)生瞬時(shí)彈性變形，此時(shí)的礦柱有效剛度為k2，其位移量［11］為：

隨著時(shí)間的推移，頂板位移逐漸增加，其破壞條件［12］為：

（2）內(nèi)部破裂邊界條件為：

假設(shè)頂板的撓度解析解形式為：

則可解得：

此時(shí)的破壞條件［12-13］為：

式中，σxmax為頂板中點(diǎn)x方向最大拉應(yīng)力；σymax為頂板中點(diǎn)y方向最大拉應(yīng)力。

2 工程實(shí)例分析

福建省龍巖地區(qū)某礦于2008年2月對(duì)其礦山礦產(chǎn)資源運(yùn)用房柱式采礦方法進(jìn)行開采，采空區(qū)平面尺寸為2a×2b=162×143 m，礦柱高為6 m，礦柱總的橫截面面積與采空區(qū)頂板的面積比值為35.7%。采空區(qū)頂板上覆巖層厚度134 m，容重為22 kN/m3，采空區(qū)頂板厚度為H=34 m，容重為25 kN/m3，采空區(qū)頂板巖石平均彈性模量值為E=48 GPa，泊松比為μ=0.26，采空區(qū)頂板巖石頂板平均抗拉強(qiáng)度值為［σT］=3.6 MPa，礦柱流變參數(shù)為E1=13.4 GPa/m，E2=87 GPa/m，E3=296 GPa/m，η1=32 GPa·h，η2=5.4×105GPa·h。

由以上參數(shù)可得，采空區(qū)頂板上覆巖層及采空區(qū)頂板自重總的均布載荷為：

采空區(qū)頂板巖石的抗彎剛度為：

初始時(shí)刻采空區(qū)頂板撓度為：

采空區(qū)頂板初始下沉速度為：

由式（15）可知，固定邊界變?yōu)楹喼н吔珥敯迤茐臈l件如下。

對(duì)于采空區(qū)頂板長邊：

對(duì)于采空區(qū)頂板短邊：

將C1，C2，ω0a，ω0b代入式（12）可求得t1≈34月。

當(dāng)?shù)诙A段發(fā)生破壞時(shí)，根據(jù)式（17）可求得t2≈47月。

由此可求得該采空區(qū)總的穩(wěn)定時(shí)間t為81月，預(yù)測該銅礦采空區(qū)將在2014年11月發(fā)生采空區(qū)大面積頂板冒落?，F(xiàn)場監(jiān)測數(shù)據(jù)表明，在2014年9月，該銅礦采空區(qū)發(fā)生了采空區(qū)頂板局部冒落現(xiàn)象。該采空區(qū)的現(xiàn)場監(jiān)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該流體力學(xué)模型的可靠性。

3 結(jié)論

（1）和以往研究者采用的Burgers體、Kelvin體、廣義Kelvin體建立模型相比，本研究建立模型采用的Hooke-Kelvin-kelvin模型能更好地反映巖石的蠕變特性，不僅考慮了巖石的初始彈性及流變特性，且參數(shù)適中，較好地兼顧了理論計(jì)算與工程實(shí)際的需要。

（2）基于Hooke-Kelvin-kelvin模型建立的采空區(qū)流變力學(xué)模型對(duì)采空區(qū)的穩(wěn)定時(shí)間進(jìn)行了預(yù)測，并將其與現(xiàn)場實(shí)際的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比和分析，實(shí)踐結(jié)果驗(yàn)證了建立的采空區(qū)流變力學(xué)模型的合理性與可靠性。

（3）利用Hooke-Kelvin-kelvin模型建立空區(qū)模型進(jìn)行計(jì)算時(shí)，沒有考慮礦柱及頂板受節(jié)理、地下水、分化作用等外界因素的影響，如果要對(duì)這類外界因素對(duì)采空區(qū)頂板穩(wěn)定性的影響進(jìn)行研究，可通過對(duì)一些相關(guān)的系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼蹨p。