■河南省許昌高級(jí)中學(xué) 何曉亞

一、選擇題

1.如圖1，y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線l：y=kx+2是曲線y=f(x)在x =3 處的切線，令g(x)=xf(x)，g "(x)是g (x )的導(dǎo)函數(shù)，則g "(3)=( )。

A.—1 B.0C.2 D.4

圖1

2.若函數(shù)f(x)=2 sinx(x∈[0，π))的圖像在切點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g(x)=的圖像在切點(diǎn)Q處的切線，則直線P Q的斜率為( )。

3.已知函數(shù)f(x)=a x3—3x2+1，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，則a的取值范圍是( )。

A.(2，+∞) B.(1，+∞)

C.(—∞，—2) D.(—∞，—1)

4.定義在區(qū)間(0，+∞)上的函數(shù)y=f(x)使不等式2f(x)＜x f "(x)＜3f(x)恒成立，其中y=f "(x)為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則( )。

5.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)滿足f(1)=1，且 2f "(x)＞1，當(dāng)x∈時(shí)，不等式f(2 c o sx)＞的解集為( )。

6.若 函 數(shù)f(x)=的最大值為f(—1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。

A.[0，2 e2] B.[0，2 e3]

C.(0，2 e2] D.(0，2 e3]

7.已知函數(shù)若x=2是函數(shù)f(x)的唯一的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( )。

A.(—∞，e] B.[0，e]

C.(—∞，e) D.[0，e)

8.若定義域?yàn)镽的單調(diào)遞增函數(shù)y=f(x)對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)m，n都有成立，y=f "(x)為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(a+1)—f(a)，f "(a)，f "(a+1)的大小關(guān)系為( )。

9.對(duì)于三次函數(shù)f(x)=a x3+b x2+c x+d(a≠0)，給出定義：設(shè)y=f "(x)為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是f "(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)(x0，f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”。經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心。設(shè)函數(shù)，則

1 0.已知函數(shù)f(x)=a x2—4a x—l nx，則f(x)在（1，3）上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是( )。

1 1.已知函數(shù)f(x)=(x∈R)，若關(guān)于x的方程f(x)—m+1=0恰好有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )。

1 2.設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)=圖像上點(diǎn) ， 處的切P1P2線，l1，l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△P A B的面積的取值范圍是( )。

A.(0，1) B.(0，2)

C.(0，+∞) D.(1，+∞)

二、填空題

1 3.若函數(shù)f(x)=x2—ex—a x在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____。

1 4.若函數(shù)a x+b)的圖像關(guān)于直線x=—1對(duì)稱，則f(x)的最大值為____。

1 5.已知函數(shù)其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。若f(a—1)+f(2a2)≤0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____。

1 6.若對(duì)任意的x∈D，均有g(shù)(x)≤f(x)≤h(x)成立，則稱函數(shù)f(x)為函數(shù)g(x)到函數(shù)h(x)在區(qū)間D上的“任性函數(shù)”。已知函數(shù)f(x)=k x，g(x)=x2—2x，h(x)=(x+1)(l nx+1)，且f(x)是g(x)到h(x)在區(qū)間[1，e]上的“任性函數(shù)”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____。

三、解答題

1 7.已知函數(shù)f(x)=l nx+a(1—x)，a∈R。

(1)討論f(x)的單調(diào)性。

(2)當(dāng)a=—時(shí)，令g(x)=x2—1—2f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為g "(x)，設(shè)x1，x2是函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，判斷是否為g "(x)的零點(diǎn)，并說(shuō)明理由。

1 8.已知函數(shù)f(x)=

(1)求曲線y=f(x)在x=0處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=—R)，試討論函數(shù)f(x)與g(x)的圖像在(0，+∞)上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

1 9.已知函數(shù)f(x)=x2+a x—l nx，a∈R。

(1)若函數(shù)f(x)在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

(2)令g(x)=f(x)—x2，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈(0，e](e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值是3?若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由。

(3)當(dāng)x∈(0，e]時(shí)，證明：e2x2—(x+1)l nx。

2 0.設(shè)函數(shù)f(x)=(1—x2)ex。

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤a x+1，求a的取值范圍。

2 1.已知函數(shù)f(x)=ex—a x—1(a為常數(shù))，曲線y=f(x)在與y軸的交點(diǎn)A處的切線斜率為—1。

(1)求a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若x1＜l n2，x2＞l n2，且f(x1)=f(x2)，試證明：x1+x2＜2 l n2。

2 2.已知函數(shù)f(x)=其中常數(shù)k＞0。

(1)討論f(x)在(0，2)上的單調(diào)性。

(2)若k∈[4，+∞)，曲線y=f(x)上總存在相異兩點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，使得曲線y=f(x)在M，N兩點(diǎn)處的切線互相平行，求x1+x2的取值范圍。