梁振文

近些年初中階段比較側(cè)重幾何方面的學(xué)習(xí)，但從學(xué)生后續(xù)高中學(xué)習(xí)的連續(xù)發(fā)展要求來看，就急需教師轉(zhuǎn)變觀念，加強(qiáng)學(xué)生在代數(shù)方面能力的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模是中學(xué)生應(yīng)具有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三個(gè)重要內(nèi)容，也是高中階段相對(duì)更為重視的能力要求，本文以廈門2018年九年級(jí)數(shù)學(xué)質(zhì)檢的一道以二次函數(shù)為背景的壓軸題為例，探討學(xué)生代數(shù)方面能力的考查、培養(yǎng)，

例在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A在拋物線y= X2+bX+C（6>0）上，且A（1，-1）.

（1）若b-c=4，求b，c的值;

（2）若拋物線與y軸交于點(diǎn)B，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，則命題“對(duì)于任意的一個(gè)k（0

（3）將拋物線平移，平移后的拋物線仍經(jīng)過（1，一1），點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1為（1-m，2b—1），當(dāng)m≥-3/2時(shí)，求平移后拋物線的頂點(diǎn)能達(dá)到最高點(diǎn)的坐標(biāo)。

第（1）問由于拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（l，-1），將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式可得b+c=-2，又根據(jù)第（1）問中單獨(dú)添加的條件b-c=4，可組成關(guān)于b，c二元一次方程組，即可求出b=1， c=-3.

此設(shè)問易入手，但內(nèi)涵、作用卻不簡(jiǎn)單，既考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式之間的關(guān)系，又考查解方程組的方法，消元法是解多元方程組的重要指導(dǎo)思想，也是函數(shù)問題中含有多個(gè)參數(shù)時(shí)的處理方法，此設(shè)問為后續(xù)解題做了很好的鋪墊。

第（2）問真假命題的判斷、證明，突出了對(duì)學(xué)生代數(shù)邏輯推理能力的要求，如果沒有對(duì)命題做比較深入的分析，難以判斷命題的真假，因此對(duì)命題的分析、轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，由于拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（l，-1），可得b+c= -2.因此利用代入消元法，函數(shù)解析式中的參數(shù)統(tǒng)一為6，即y= X2 +bx-b-2.由題意易得B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)為B（O，-b-2），c（-b/2，0）.又b>0，所以線段OC=b/2，OB=2+b.坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與相關(guān)線段之間的轉(zhuǎn)化是較為常見的考查內(nèi)容，條件“OC=k·OB”可轉(zhuǎn)化為“b/2=k·（2+b）”，這些分析是學(xué)生容易解決的部分，也是命題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)。

另外，因?yàn)闂l件“OC=k·OB”可看作K=OC/OB，再者線段OC，OB的比值能用含有b的式子表示，所以從函數(shù)的角度來看命題，即“函數(shù)k=2/（2+b）=1/（4/b+2）的自變量取值范圍b>0與函數(shù)值取值范圍O

函數(shù)k=1/（4/b+2）并不屬于初中所學(xué)的函數(shù)類型，應(yīng)屬于高中的復(fù)合函數(shù)，學(xué)生要計(jì)算其自變量取值范圍或函數(shù)值取值范圍是比較困難的，對(duì)運(yùn)算能力要求較高，需要抓住式子的結(jié)構(gòu)，利用換元法轉(zhuǎn)化為已學(xué)的、熟悉的函數(shù)類型，設(shè)n=4/b，當(dāng)b>0時(shí)，顯然n>0.再設(shè)h=n+2，當(dāng)n>0時(shí)，h>2.原函數(shù)k=1/（4/b+2）則化為k=1/h且h>2，易得O0與函數(shù)值取值范圍O

此設(shè)問形式新穎，突出了對(duì)學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建?！比N核心素養(yǎng)的考查，要求學(xué)生具備較高的數(shù)學(xué)能力以及熟悉知識(shí)的縱向發(fā)展、橫向聯(lián)系，對(duì)命題真假的判定過程，是一個(gè)數(shù)學(xué)建模、解模的過程，可以建立方程模型，也可以建立函數(shù)模型，整個(gè)過程以方程、函數(shù)、不等式為載體，考查了邏輯推理能力、運(yùn)算能力，巧妙地滲透了轉(zhuǎn)化思想、方程與函數(shù)思想，對(duì)方程的解的判斷或是函數(shù)自變量取值范圍與函數(shù)值取值范圍的匹配問題，無不體現(xiàn)了代數(shù)的本質(zhì)一式的變形與結(jié)構(gòu)分析，學(xué)生具備一定的代數(shù)推理能力，無疑對(duì)高中的學(xué)習(xí)助力匪淺。

第（3）問要研究平移后拋物線的頂點(diǎn)所能達(dá)到的最高點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上是要研究平移后的拋物線的頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，因此第（3）問其實(shí)也是一個(gè)建模的過程，通過建立的函數(shù)模型反應(yīng)頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)函數(shù)模型的性質(zhì)求得最高點(diǎn)的坐標(biāo)，

此設(shè)問著重考查函數(shù)方面的知識(shí)與能力，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，函數(shù)本質(zhì)上是兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與什么變量相關(guān)？關(guān)系如何？這是我們解決問題的關(guān)鍵，自變量的選擇不是一蹴而就的，而是在不斷地分析過程中逐一剔除，當(dāng)然能作為自變量的變量不一定是唯一的，上述問題亦可選擇m，b作為自變量，整個(gè)過程實(shí)質(zhì)上也是數(shù)學(xué)建模解模的過程，主要的方法是消元法，建模過程中，代數(shù)推理貫穿始終，平移的變化規(guī)律應(yīng)用、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式之間的關(guān)系、函數(shù)的最值，集中展現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力。

類似這種能夠突出代數(shù)特色的壓軸題在全國(guó)各地市的中考試題中，還是較為少見的，它往往合方程、不等式、函數(shù)為一體，能夠體現(xiàn)學(xué)生的代數(shù)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，又蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求比較高，常用的“消元法”、“換元法”等代數(shù)方法始終是式子變形與結(jié)構(gòu)變化的基本方法，能夠展現(xiàn)學(xué)生對(duì)技能疊加、整合的熟練程度，通過此類問題的學(xué)習(xí)、訓(xùn)練、考查，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生后續(xù)高中的學(xué)習(xí)，有極其重要的意義.