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        探尋數(shù)學本質(zhì),揚帆數(shù)學思想

        2018-11-29 07:24:48林文柱
        福建中學數(shù)學 2018年5期
        關(guān)鍵詞:思想數(shù)學

        林文柱

        一道經(jīng)典的數(shù)學試題,主要考查的是數(shù)學本質(zhì),體現(xiàn)的是數(shù)學思想,提煉的是數(shù)學方法,為此,在分析與講解時,必須透過表象抓本質(zhì),盡力究其因,探其果,變其式,尋其源,讓學生真正理解數(shù)學本質(zhì),領(lǐng)悟思想方法,促進學生在解題中反思,在反思中總結(jié),在總結(jié)中提高數(shù)學的核心素養(yǎng).

        試題 動點P在函數(shù)f(x)=-4/(x+2)的圖象上,定點M (-4, -2),則線段PM長度的最小值為一 本質(zhì)1改變式子結(jié)構(gòu)特征,不改變其賦值的意義.

        思想1 拆分重組、配方換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.

        評價1 有較大的難度,觀察變形與整體代換讓問題迎刃而解.

        本質(zhì)2 改變圖象特殊位置,不改變其數(shù)量的關(guān)系.

        解析2 同時將函數(shù)f(x)圖象與定點M向右平移2個單位轉(zhuǎn)化為:動點P'在函數(shù)f(x)=-4/x的圖象上,定點M(-2,-2),求線段P'M'長度的最小值.

        思想2數(shù)形結(jié)合、分組換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)簡單問題.

        評價2 有較高的思維,透過表象與看清本質(zhì)讓問題避繁少算.

        本質(zhì)3 改變圖象解析關(guān)系,不改變其內(nèi)在的聯(lián)系.

        解析3 同時將函數(shù)f(x)圖象與定點M向右平移2個單位后,再繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)π/4轉(zhuǎn)化為:動點P'在雙曲線x2-y2=8圖象上,定點M'(0,-2√2),求線段P'M'長度的最小值,此時,直接設(shè)點P'(x,y),則P'M'2=x2+(y+2√2)2=x2+y2+4√2y+8,由X2-y2 =8代入消元,轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次函數(shù)的最值問題,這是解析此題的最佳思路.

        思想3雙重數(shù)形、直接配方轉(zhuǎn)化為簡單幾何問題.

        評價3有高端的素養(yǎng),合理轉(zhuǎn)化與思想滲透讓問題柳暗花明.

        本質(zhì)4改變函數(shù)研究方法,不改變其幾何的意義.

        解析4函數(shù)f(x)在滿足條件的點P處的切線必定垂直直線PM,利用導數(shù)工具求解點P坐標即得PM最小值.

        思想4無限逼近、有限歸納轉(zhuǎn)化為導數(shù)最值問題.

        評價4有大膽的猜想,動中尋靜與數(shù)形結(jié)合讓問題思維閃現(xiàn).

        通過以上分析和求解,我們有理由作如下變式.

        變式1改變函數(shù)圖象和定點的位置即同時向上平移1個單位.

        試題1動點P在函數(shù)f(x)=(x-2)/(x+2)的圖象上,定點M (-4,-1),則線段PM長度的最小值為____.

        點評1 根據(jù)公式代入求解,利用本質(zhì)1與4計算,將會出現(xiàn)繁雜的運算與化簡,利用分離常數(shù)法得f(x)=1-4/(x+2),然后,同時將函數(shù)f(x)=1-4/(x+2)與定點M (一4,-1)向下平移1個單位,即化為原題,這樣就大大的提高解題的效度,充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.

        變式2改變函數(shù)的解析式和定點的坐標即引入分段函數(shù)的解析式.

        總之,數(shù)學教學盡可能將問題的本質(zhì)揭示給學生,使學生看清本質(zhì),深刻領(lǐng)會,同時,更應(yīng)把問題所蘊涵的數(shù)學思想方法及內(nèi)在的知識關(guān)聯(lián)進行有效的追溯,從而讓學生看清題目的來龍去脈,分辨出題目的“源”與“流”,實現(xiàn)教與學的雙贏.

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