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        一道高考試題的多解、多思與多變

        2018-11-29 07:24:48虞懿
        福建中學數(shù)學 2018年5期
        關鍵詞:拋物線思維數(shù)學

        虞懿

        2017年高考已經(jīng)落下帷幕,筆者特別關注了全國卷I理科第10題,這是一道集拋物線的方程、直線與拋物線的位置關系、焦點弦長之和的最值問題等知識于一體的綜合性客觀題,此題看似平淡,卻精彩紛呈;看似常規(guī),卻彰顯能力,本文擬從一題多解、一題多思與一題多變等角度作一探析,供讀者參考.

        1題目再現(xiàn)

        例(2017年高考全國新課標卷I.理10)已知F為拋物線C:y2= 4x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線f2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為

        A.16

        B.14

        C.12

        D.10

        2立意解讀

        本題題面簡潔、意境幽深、內涵豐富,可以從多個角度思考求解,細細賞玩,感覺韻味十足,本題主要考查了拋物線的定義、直線和拋物線的位置關系、焦點弦及其應用,旨在考查學生的邏輯推理,數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

        3解法探究

        3.1一題多解

        一題多解就是利用不同的思路,不同的知識,不同的方法達到解題的目的,它不僅改變了以往學生單一的思維模式,而且還可以有效地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和分析問題、解決問題的能力,

        評注 直線與拋物線聯(lián)立,求判別式、利用韋達定理是通法,需要重點掌握,涉及到最值問題,要能想到用函數(shù)方法解決或利用基本不等式解決,

        評注 對于拋物線弦長問題,重點要抓住拋物線定義,可將拋物線上的點到焦點的距離轉化為該點到準線的距離,

        評注 凡涉及圓錐曲線的焦點弦、焦半徑問題,選用極坐標系,常常會使解題步驟簡潔、方便,本題中要求的問題與焦點弦有關,應當建立以焦點F為極點,對稱軸為極軸的極坐標系,不能受直角坐標方程的束縛而把極點選在原點,靈活合理地建立極坐標系十分重要,

        評注 運用直線的參數(shù)方程,利用參數(shù)t的幾何意義直接求解,運算更為簡潔、明了.

        3.2一題多思

        本題載體為直線與拋物線,考察的是解析幾何的通性通法,解析幾何的本質是用坐標法研究幾何性質(量),我們在解題時一定要從數(shù)與形兩個角度入手,不可偏頗一方,既要弄清圖形的幾何特征,又要熟練應用各種代數(shù)工具(解方程組、弦長公式等),多方聯(lián)想,選擇適當?shù)姆椒ń忸},

        題目豐富的內涵是展開“一題多解”的基礎,這要求教師在試題講評之前認真研究試題,對試題的內涵及其考查情況要了然于胸,選擇內涵豐富、學生易錯、思維價值高的試題做重點講評,本道試題不僅問題典型,解法豐富,而且有助于提高學生對解析幾何本質的深度理解,因此,對這樣一種一題多解,又有一定教學意義的題目進行重點講評,做到講深講透,可以有效摒棄“題海戰(zhàn)術”,提高解題教學的有效性,

        體會其思想是展開“一題多解”活動的靈魂,數(shù)學萬變不離其宗,不管高考怎么考,都離不開考查數(shù)學的最基本的思想方法,

        高中數(shù)學思想盡管不少,但總的看來主要也就四大數(shù)學思想,即函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想,這些都是高中數(shù)學的精髓,但這些“思想”有時只能意會,教學中教師往往也只能是“滲透”,這就要求教師在復習中要貫穿始終不離主線,也要培養(yǎng)學生在實踐中實現(xiàn)自我領悟,在反思中重構自己的經(jīng)驗,形成自己的行動策略和方式,使得只能意會的知識變成可能.

        3.3一題多變

        新課標指出:“數(shù)學教學活動應激發(fā)學生興趣,調動學生積極性,引發(fā)學生的數(shù)學思考,鼓勵學生的創(chuàng)造性思維,”眾所周知,數(shù)學是思維的體操,要使學生學好數(shù)學,還是要從提高學生的數(shù)學思維能力和學習興趣上下功夫,在數(shù)學教學中,利用教材中的例習題和經(jīng)典的高考試題進行一題多變,把一個題目反復變化為多個與原題內容不同,但解法相同或相近的題目,有利于深化知識,舉一反三,觸類旁通,使學生主動探討、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,真正“學會學習”,這是發(fā)展學生思維的深刻性、靈活性、創(chuàng)造性的一條有效途徑,

        變式1已知橢圓c:X2/8+Y2/4=1,過左焦點F1(-2,0)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于點A B和D,E,求|AB|+|DE|的最小值,

        變式2 F是拋物線G:x2 =4y的焦點,設A,B為拋物線G上異于原點的兩點,且滿足FA·FB=0,延長AF, BF分別交拋物線G于點C,D,求四邊形ABCD面積的最小值,

        變式3 已知AC,B為圓O:x2+y2 =4的兩條相互垂直的弦,垂足為M(1,√2),則四邊形ABCD面積的最大值為____.

        變式4 設圓X2+y2 +2x-15=o的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過點B作AC的平行線交AD于點E.

        (I)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程;

        (II)設點E的軌跡為曲線C1,直線,交Cl于M,N兩點,過點B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍,

        變式5 已知橢圓c:x2/4+y2/3=1,過右焦點F作兩條斜率之積為-2的直線分別交橢圓C于點P,Q和M,N,則四邊形PMQN的面積S的最小值為___-,

        變式6 已知AC,B為圓O:x2+y2 =4的兩條相互垂直的弦,垂足為M(1,√2),當四邊形ABCD為等腰梯形時,試求四邊形ABCD周長的最大值,

        在習題教學中適當?shù)夭捎谩耙活}多變”,可以對高考題進行大膽的組合與拓展,但要由易到難,體現(xiàn)數(shù)學的層遞性,使學生的思維得到自然發(fā)散,而不感到突然,通過題目間相近或相似的聯(lián)系培養(yǎng)學生的觀察能力,用不同的思路去分析思考,能夠極大地鍛煉學生類推能力和歸納能力,有助于啟發(fā)學生分析思考,逐步把學生引入勝境,從而開拓學生視野,增強分析問題的能力,發(fā)展創(chuàng)造性思維,

        總之,題目是做不盡、探不完的,《莊子·養(yǎng)生主》中說:“吾生而有涯,而知也無涯,”通過對2017年高考全國卷I理科第10題的探析,筆者有一種感觸:學生在考場上的思路探尋,教師在考后的解法探究,命題者在命題時的頂層設計,儼然構成了一幅李白筆下的“舉杯邀明月,對影成三人”的精彩且具有濃厚新課標風味的美妙畫卷.

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