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        深入探究兩類基本不等式問題的解題策略

        2018-11-29 07:19:54陳后萬
        數(shù)理化解題研究 2018年31期
        關(guān)鍵詞:消元正數(shù)元法

        陳后萬

        (浙江省洞頭區(qū)第一中學(xué) 325700)

        基本不等式問題靈活多變、方法多樣,常用方法就有:湊、拆、代換、去和留積、去積留和、消元等.所以對于基本不等式問題,還是要經(jīng)??偨Y(jié)、歸納題型,尋找規(guī)律,探索合適方法.

        類型一:已知Axy+Bx+Cy+D=0 (A≠0),求Ex+Fy或xy的最值問題

        例1 (2016紹一中模擬)若正數(shù)x,y滿足xy+x+2y=6,求x+y的最小值.

        點評對于類型:已知Axy+Bx+Cy+D=0(A≠0),求Ex+Fy的最值問題.一般用消元法可以解決,可謂是通法,但轉(zhuǎn)化過程有時計算量稍大.解法二(待定系數(shù)法)是能夠解決一類問題的,前提是條件能夠轉(zhuǎn)化成(x+a)(y+b)=c(a,b,c>0).它充分體現(xiàn)了基本不等式的優(yōu)點,計算量小,方法絕妙,讓人驚嘆.

        例3 (2012浙江卷)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是( ).

        A. 245 B. 285 C. 5 D. 6

        例4 若正數(shù)x,y滿足2xy+x-y-1=0,則2x+y的最小值為 .

        解法一(消元)略.

        點評解法二中的換元法,技巧性比較強,目的是為了消去常數(shù).這樣,問題顯然可以化歸到例3類型問題處理.

        總結(jié):一般情況下,消元法、待定系數(shù)法、代換法可以解決類型一問題,具體應(yīng)用還要看題目本身的系數(shù)特點.

        例5 (2011浙江高考)設(shè)x,y為實數(shù),若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是 .

        解∵4x2+y2+xy=1,∴(2x+y)2-3xy=1,

        A.2 B.6 C.8 D.9

        總結(jié):基本不等式求函數(shù)最值(或值域)有著很多應(yīng)用,極具簡潔快捷功能.要熟練地求解基本不等式問題,主要靠平時善于總結(jié)、樂于總結(jié),充分運用化歸思想,抓住它的幾條使用原則不放,構(gòu)建基本不等式條件,高屋建瓴地使用基本不等式.

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