張至君

(山東省淄博市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二1班 255086)

1.若一個(gè)圓C1內(nèi)含于另一個(gè)圓C2，則與大圓內(nèi)切與小圓外切的圓的圓心的軌跡為一橢圓，兩圓的圓心為焦點(diǎn)，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為兩圓半徑之和；

2.在一個(gè)圓內(nèi)有一點(diǎn)，則過(guò)該點(diǎn)且與已知圓相切的圓的圓心的軌跡為一橢圓，且其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為已知圓的半徑.

3.將圓的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))拉伸或縮短為原來(lái)的m倍，該圓變成橢圓；

4.連接圓內(nèi)一定點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)的線段的垂直平分線與圓上該點(diǎn)到圓心的連線的交點(diǎn)的軌跡為一橢圓.方橢圓的長(zhǎng)半軸與圓的半徑長(zhǎng)相等；

5.兩個(gè)同心圓較大圓上任一點(diǎn)與圓心的連線與小圓交于一點(diǎn)，從大圓上該點(diǎn)作x軸的垂線， 則過(guò)小圓交點(diǎn)向該垂線作垂線，其垂足的點(diǎn)的軌跡為橢圓.

點(diǎn)評(píng)由已知點(diǎn)A與圓心F的對(duì)稱(chēng)性，可以猜測(cè)是橢圓或雙曲線的兩焦點(diǎn)，同時(shí)奠定了利用定義求軌跡方程的基礎(chǔ)．

例2 已知兩圓C1:(x+4)2+y2=9，C2:(x-4)2+y2=169，動(dòng)圓P與C1外切，與C2內(nèi)切，求圓心P的軌跡．

分析如圖，由平面幾何知識(shí)知，兩圓相切時(shí)常連結(jié)兩圓心，可利用切點(diǎn)在連心線上及圓心距與兩半徑的關(guān)系為突破口，求解此類(lèi)題．

又16>C1C2=8，所以P點(diǎn)的軌跡是橢圓．

點(diǎn)評(píng)利用圓錐曲線的定義解題，是解決軌跡問(wèn)題的基本方法之一．此題先根據(jù)平面幾何知識(shí)，列出外切的條件，內(nèi)切的條件，可發(fā)現(xiàn)利用動(dòng)圓的半徑過(guò)渡，恰好符合橢圓的定義．從而轉(zhuǎn)化問(wèn)題形式，抓住本質(zhì)，充分利用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵．

例3 已知點(diǎn)A1,0、B4,0，動(dòng)點(diǎn)P滿足PB=2PA，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，將曲線C上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，橫坐標(biāo)不變，得到曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)A,B是曲線E上兩點(diǎn)，且AB=2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積的最大值.

當(dāng)斜率不存在時(shí)，△AOB不存在，

綜上所述，可得△AOB面積的最大值為1.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于最值問(wèn)題，一般是利用函數(shù)思想，建立所求量的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題．要特別注意定義域．