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        例談排列問題的求解策略

        2018-11-29 07:16:36張婉瑩
        數(shù)理化解題研究 2018年31期
        關(guān)鍵詞:傳球題意情況

        張婉瑩

        (河北省任丘市第一中學(xué) 062550)

        一、分類策略

        例1 甲、乙、丙、丁四人互相傳球,第一次甲傳給乙、丙、丁三人中任一人,第二次由拿球者再傳給其他三人中任一人,這樣共傳了4次,則第4次球仍回到甲的方法共有( ).

        A.21種 B.42種 C.24種 D.27種

        分析共傳球4次,分四步完成,但應(yīng)注意到第4次球仍回到甲,則第3次球不能傳給甲.故第3次傳球的方法與第2次球在誰的手中有關(guān),又應(yīng)分類處理.

        解分四步完成:第一步由甲傳給乙、丙、丁,有3種方法.第二步應(yīng)分二類考慮:第一類傳給甲,則第三步傳給乙、丙、丁均可,第四步再傳給甲;第二類不傳給甲,則可傳給甲以外的2人,第四步再傳給甲.故共有3×(1×3×1+2×2×1)=21(種)方法,故選A.

        例2 用0,1,2,3,4,5,6這七個(gè)數(shù)字,

        (1)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)?

        (2)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)?

        (3)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比31560大的五位數(shù)?

        分析(1)根據(jù)題意,分3步進(jìn)行分析:①個(gè)位從1,3,5選擇一個(gè),②千位數(shù)字不可選0,從剩下的5個(gè)中選一個(gè),③在剩下的5個(gè)數(shù)字中選出2個(gè),安排在百位、十位數(shù)上,分別求出每一步的情況數(shù)目,由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案;

        (2)分2種情況討論:①個(gè)位數(shù)上的數(shù)字是0,②個(gè)位數(shù)上的數(shù)字是5,分別求出每一種情況的五位數(shù)個(gè)數(shù),由加法原理計(jì)算可得答案;

        (3)分析可得:符合要求的比31560大的五位數(shù)可分為四類分4種情況討論,分別求出每一種情況的五位數(shù)個(gè)數(shù),由加法原理計(jì)算可得答案.

        解(1)根據(jù)題意,分3步進(jìn)行分析:

        (2)分2種情況討論:

        (3)符合要求的比31560大的五位數(shù)可分為四類:

        第四類:形如3156□,共有2個(gè).

        二、倍分法策略

        有些排列應(yīng)用題,可以根據(jù)每個(gè)元素出現(xiàn)的機(jī)會(huì)占整個(gè)問題的比例,直接求得問題的解.

        例3 有5個(gè)人并排站成一排,如果甲必須在乙的右邊,則不同的排法有多少種?

        例4 從6個(gè)運(yùn)動(dòng)員中選4個(gè)參加4×100米接力賽,若甲、乙兩人都不能跑第一棒,則共有多少種不同的參賽方案?

        三、“捆綁”策略

        例5 7人站成一排,求滿足下列條件的不同站法:

        (1)甲、乙兩人相鄰;

        (2)甲、乙之間隔著2人.

        分析兩個(gè)都是元素相鄰的排隊(duì)問題,解決這類問題可先將相鄰元素“捆綁”成整體并看作一個(gè)元素再與其它元素進(jìn)行排列,然后再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列.

        評(píng)注首先把相鄰元素當(dāng)做一個(gè)整體參與運(yùn)算,然后考慮相鄰元素間的排列順序.我們可遵循“先整體,后局部”的原則,即采用“捆綁”法.

        四、定序問題縮倍法

        例6 信號(hào)兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號(hào).現(xiàn)有3面紅旗、2面白旗,把這5面旗都掛上去,可表示不同信號(hào)的種數(shù)是____(用數(shù)字作答).

        評(píng)注在排列問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定順序稱為定序問題.這類問題用縮小倍數(shù)的方法求解比較方便快捷.

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