文 /鄧革周
二次函數(shù)在生活中的應(yīng)用,主要涉及到商品利潤、幾何圖形的最值和判斷說理等方面.下面舉數(shù)例加以說明,供你學(xué)習(xí)時參考.
例1某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池,噴水池的周邊有一圈噴頭,噴出的水柱為拋物線,在距水池中心3米處達到最高,高度為5米,且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合.如圖1所示,以水平方向為x軸、噴水池中心為原點建立直角坐標系.
(1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式;
(2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間,噴水管意外噴水,為了不被淋濕,身高1.8米的王師傅必須站在離水池中心多少米以內(nèi)?
(3)經(jīng)檢修評估,游樂園決定對噴水設(shè)施做如下改進:在噴出水柱的形狀不變的前提下,把水池的直徑擴大到32米,各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合,請?zhí)骄繑U建改造后噴水池水柱的最大高度.
解:(1)設(shè)水柱所在拋物線(第一象限部分)的解析式為y=a(x-3)2+5(a≠0),
將(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得
圖1
25a+5=0,
(2)當y=1.8時,有
解得x1=-1(舍去),x2=7,
∴王師傅必須站在離水池中心7米以內(nèi).
(3)當x=0時
∵ 該函數(shù)圖象過點(16,0),
解得b=3,
點評:利用二次函數(shù)解決拋物線形的噴泉、隧道、大橋和拱門等實際問題時,要把實際問題中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為拋物線上的點,從而確定解析式,通過解析式去解決問題.
例2“揚州漆器”名揚天下,某網(wǎng)店專門銷售某種品牌的漆器筆筒,成本為30元/件,每天銷售y(件)與銷售單價x(元)之間存在一次函數(shù)關(guān)系,如圖2所示.
圖2
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件,當銷售單價為多少元時,每天獲取的利潤最大,最大利潤是多少?
圖3
(3)該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè),決定從每天的銷售利潤中捐出150元給希望工程,為了保證捐款后每天剩余利潤不低于3600元,試確定該漆器筆筒銷售單價的范圍.
分析:(1)可用待定系數(shù)法確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)“利潤=銷售量×單件的利潤”,結(jié)合(1)中的函數(shù)關(guān)系式,求出利潤和銷售單價之間的關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)來求最大利潤;
(3)建立利潤w與x的函數(shù)關(guān)系式,進而利用所獲利潤等于3600元時,求出對應(yīng)x的值,根據(jù)增減性,求出x的取值范圍.
解:(1)設(shè)y=kx+b.
∴y=-10x+700.
(2)由題意,得
-10x+700≥240,
解得x≤46.
設(shè)利潤為w,則w=(x-30)·y=(x-30)(-10x+700),
w=-10x2+1000x-21 000=-10(x-50)2+4000,
∵-10<0,
∴當x<50時,w隨x的增大而增大,
∴ 當x=46時,w最大=-10(46-50)2+4000=3840.
答:當銷售單價為46元時,每天的利潤最大,最大利潤是3840元.
(3)w-150=-10x2+1000x-21 000-150=3600,
-10(x-50)2=-250,
x-50=±5,
x1=55,x2=45,
如圖3所示,由圖象得
當45≤x≤55時,捐款后每天剩余利潤不低于3600元.
點評:在生產(chǎn)經(jīng)營活動中,經(jīng)常會遇到求最大利潤、最大銷量等問題.解此類題的關(guān)鍵是確定二次函數(shù)的解析式,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)確定其最大值.自變量x的取值要使實際問題有意義.如本題第(2)題,如果不注意自變量的取值范圍,將x=50代入求最值就錯了.
例3某農(nóng)場擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室,飼養(yǎng)室的一面靠墻(墻足夠長),已知建筑材料可建圍墻50m.設(shè)飼養(yǎng)室長為x(m),占地面積為y(m2).
(1)如圖4,問飼養(yǎng)室長x為多少時,占地面積y最大?
(2)如圖5,現(xiàn)要求在圖中所示位置留2m寬的門,且仍使飼養(yǎng)室的占地面積最大.小敏說:“只要飼養(yǎng)室長比(1)中的長多2m就行了.”請你通過計算,判斷小敏的說法是否正確.
圖4
圖5
解析:(1)∵飼養(yǎng)室長xm,
∴當x=25時,占地面積最大.
飼養(yǎng)室長為25m時,占地面積y最大.
(2)∵飼養(yǎng)室長xm,中間位置留2m寬的門,
∴當x=26時,占地面積最大.
飼養(yǎng)室長為26m時,占地面積y最大.
∵26-25=1≠2,
∴小敏的說法不正確.
點評:解一邊靠墻圍矩形場地的面積問題,用自變量表示矩形的長和寬,根據(jù)矩形的面積公式得出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.在幾何圖形中,二次函數(shù)問題常見的有:面積的最值、用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值.