吳 鍔

(蘇州市教育科學研究院215004 )

伴隨《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》的發(fā)布，培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”成為教育教學改革的行動綱領和終極目標．《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》將高中數(shù)學核心素養(yǎng)明確定義為：具有數(shù)學基本特征的、適應個人終身發(fā)展需要的人的思維品質與關鍵能力，數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學模型、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析被確認為高中學生的六大數(shù)學核心素養(yǎng)．數(shù)學教育從關注“基礎知識”、“基本技能”和“基本思想方法”的“三基”，已經走向了 “四基”，我們開始重視學生學習數(shù)學的“基本活動經驗積累”；從關注提升學生數(shù)學學習中的“分析問題和解決問題能力”的“兩能”，我們開始重視培養(yǎng)學生具有“發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力”的“四能”，這無疑是一項革命性的進步．

數(shù)學核心素養(yǎng)如何通過重構課程內容與形態(tài)進而有效落實，在平時的課堂教學中生根開花，是廣大數(shù)學教師們關注的熱點和難點問題．為此我們面向多所學校進行了有益的探索，下面是筆者所執(zhí)教的一節(jié)高三數(shù)學微專題研究課“一個三角形面積問題的激活與串講”的實錄與反思，以期為同仁提供借鑒和幫助．

1 背景與意圖

1.1 授課對象

本課授課對象為重點高中高三理科班，學生基礎好，有較強的自學能力、推理能力及運算能力．本課曾是2017年蘇州市對口貴州銅仁市支教示范課、江蘇省蘇州中學2017年對外公開展示活動示范課．

1.2 設計意圖

本課是高三二輪復習課，以微專題的形式設計和組織教學，其設計的核心理念是“聯(lián)想·激活·串講”，本課從不同的視角去審視與探究如何解決一個三角形面積最大值的問題，著力培養(yǎng)學生的觀察分析，抽象概括，轉化化歸，拓展延伸，發(fā)現(xiàn)新結論與新方法的能力，并能利用三角形的有關性質優(yōu)化解題過程．通過方法串講，達到激活思想，有效培育“四能”，提升數(shù)學核心素養(yǎng)的目的．

2 實錄與啟示

2.1 提出數(shù)學問題，引導數(shù)學探究

師：同學們，本節(jié)課我們就下面的三角形面積問題展開討論，希望大家仔細審題，開動腦筋，積極思考，從不同的視角去觀察與分析問題，尋求解決問題的方法．(投影數(shù)學問題)

問題已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，D是AC的中點，且BD=3，求△ABC面積的最大值．

學生開始思考與互動討論．

教學啟示在落實數(shù)學核心素養(yǎng)過程中，無論是教學設計還是課堂教學，學生始終是主體，只有充分調動學生積極參與，尤其是學生思維的參與，方能得到有效落實．教學中提出富有思考與探究價值的數(shù)學問題供學生研究與討論，學生結合自身數(shù)學學習的基本活動經驗積累，獲得解決問題的思路與方法，通過互動交流，思維碰撞，開拓視野，有利于學生“四能”的發(fā)展．

2.2 突出數(shù)學本質，開拓解題視野

師：與三角形邊角有關的問題，我們總是會聯(lián)想到正余弦定理，在問題所給的圖中，我們抓住其中某個三角形建立邊角的聯(lián)系，都能解決△ABC面積最大值的的問題．同學們有哪些想法呢？

生1：在△ABD中，設∠BAD=θ，AB=2x，則AD=x，由余弦定理可得：5x2-4x2cosθ=9，消去θ即得

學生互動討論，結合三角形的性質，很容易得出x的取值范圍為1

師：生1的解法，在消去θ過程中，運算量是很大的．利用關系式“5x2-4x2cosθ=9”，能否有其它想法呢？

學生繼續(xù)互動討論……

生4：運用輔助角公式，轉化為兩角和與差的正弦來確定函數(shù)的最大值，即sinθ+4ycosθ=5y，

師：同學們運用轉化與化歸、數(shù)形結合的思想，聯(lián)想學過的知識與方法，有效解決了這一問題．其本質是抓住了對關系式“5x2-4x2cosθ=9”的研究視角，消元減參(利用等式消去x或θ)，即選擇什么樣的參數(shù)就會得到什么樣的解法，這是不同學習能力的體現(xiàn)．

教學啟示著名數(shù)學教育家G.波利亞有句名言：“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要”，這句話啟發(fā)我們：要想學會數(shù)學，就需要觀察，發(fā)現(xiàn)問題，探索問題的規(guī)律性東西，要有一雙敏銳的眼睛．作為教師，就是要在學生迷茫的時候幫他們擦亮眼睛，給予有效的引導，進行從知識本質到問題本質的探尋，這是數(shù)學思維的核心，是理解知識、發(fā)現(xiàn)問題、理解問題和解決問題的關鍵所在．如以上的探索過程，就是教師引導學生從不同視角去關注關系式“5x2-4x2cosθ=9”所蘊含的數(shù)學本質，通過構建△ABC面積的不同函數(shù)模型，再借助學生已有的基本活動經驗，發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，激活了知識與方法，點燃了數(shù)學思維的火花．

師：前面我們的探索，相對來說更多的關注了“數(shù)”(二元關系式)，由于我們研究的三角形是等腰三角形，能否從“形”的視角重新觀察和審視我們所研究的問題？

學生繼續(xù)互動討論……

生7：由于△ABC是等腰三角形，我考慮通過建立平面直角坐標系的方法來研究，以下是我的解法．

投影學生的解法如下：

生8：在生7研究的基礎上，我改進了解法，可以利用基本不等式來解決．我的解法是：

生9：老師，我也是建系處理的，但我認為我的坐標系位置確定的更好．我的解法是：

同學們?yōu)榇它c贊！

師：這位同學的解法彰顯了數(shù)學文化與數(shù)學的理性精神，聯(lián)想到了課本中經典的阿波羅尼斯圓，發(fā)現(xiàn)了“隱形圓”，運用軌跡的思想使解法進一步得到了優(yōu)化．

教室里出現(xiàn)長時間的掌聲，同學們?yōu)橹d奮，為這一創(chuàng)造性的解答喝彩，同時也感悟到了數(shù)學的樂趣和魅力！

師：這位同學的解法源于他的觀察和思考，發(fā)現(xiàn)“y2+z2=4”是聯(lián)想運用基本不等式模型來解決問題的關鍵，正是由于發(fā)現(xiàn)了此規(guī)律，才產生了這一創(chuàng)造性的解法．

教學啟示發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的教學是“四能”全面發(fā)展的必要條件，也是創(chuàng)新意識和科學精神的重要表現(xiàn)．G.波利亞說過：“觀察可能導致發(fā)現(xiàn)，觀察將揭示某種規(guī)律、模式或定律．”教師在教學中要充分發(fā)揮引領作用，如在以上的探索中，教師更多的關注“形”對解決問題的影響，引導學生添加輔助線AE，有意識的讓學生發(fā)現(xiàn)O為△ABC的重心，由此產生建系的想法，發(fā)現(xiàn)AB=2AD，聯(lián)想到這里有一個隱形的阿波羅尼斯圓；與此同時還發(fā)現(xiàn)△OBE是直角三角形，于是得到y(tǒng)2+z2=4，產生了運用基本不等式的方法，讓學生感悟到了數(shù)學運算中化繁為簡的魅力．這些思路在教師的引導下有序展開，讓學生逐漸從淺層次的數(shù)學思考走向深層次的數(shù)學思維活動，這種從不同視角去觀察與審視問題、思考與解決問題的探究方法有助于學生“四能”的發(fā)展以及對數(shù)學本質的理解，對提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)具有良好的促進作用．

2.3 聯(lián)想促進溝通，串講激活思維

師：觀察客觀事物，必須從不同角度、不同的方位審視它才能認識事物的本質，解決數(shù)學問題也是如此．本課所研究的問題解決，從形態(tài)上來說是一題多解，其實質是從不同角度去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的一個過程，不同的視角，產生了不同的解題效果．整個研究過程可以用下列思維導圖加以總結．

教學啟示數(shù)學問題往往具有復雜性、多變性的特點，許多數(shù)學問題可謂“橫看成嶺側成峰”，一個數(shù)學問題，有時看起來困難重重，無從下手，如果能變換一個角度審視它卻能一目了然．回顧以上探究問題解決的全過程，教師恰到好處地引導學生從不同視角去探索解決問題的方法，使得數(shù)學的問題背景得以彰顯，數(shù)學知識得以相互聯(lián)系，轉化與化歸的數(shù)學思想不斷地深入人心．聯(lián)想促進了知識的溝通，串講激活了學生的思維，數(shù)學思想的引領，拓展了學生的解題視野，提升了學生的核心素養(yǎng)．

3 感悟與反思

3.1 轉換問題視角的教學感悟

現(xiàn)代研究表明，知識以問題為載體，知識是教與學之間的媒體，問題是數(shù)學的心臟，一切思維都是從問題開始的．在教學中教師需要精心設計具有研究價值的問題供學生參與研究，但在很多時候，當教師把問題拋給學生的時候，往往收不到積極回應，很可能問題超出了學生的認知水平．此時教師應搭建研究平臺，放手讓學生展開討論，從學生的最近發(fā)展區(qū)，引導學生從不同視角去觀察和分析，降低問題的認知難度，創(chuàng)造機會讓學生拾級而上，從中發(fā)現(xiàn)新問題，提出新思考．這顯然有益于學生對數(shù)學本質的理解，有助于對問題的解決．如本課的研究也是從低層次思考到更高層次思維的一個過程，由于本課學習的對象是高三學生，他們已經初步掌握了高中所學的數(shù)學知識，積累了一定的數(shù)學學習經驗，采用微專題的形式對問題展開深度討論，對學生數(shù)學能力提升具有良好的示范效應．本課的研究主要分為兩條線索，一是以“數(shù)”為主，通過余弦定理得到關系式5x2-4x2cosθ=9，由此發(fā)現(xiàn)解決面積問題的兩種方案；二是以“形”為主，從AB=2AD發(fā)現(xiàn)隱形的阿波羅尼斯圓，從y2+z2=4構建基本不等式模型．研究問題的過程彰顯了數(shù)與形的完美結合，不同的視角轉化為不同的模型，轉化與化歸的思想貫穿于始終，把看似不相關的內容，通過知識聯(lián)想，方法串講有機結合在一起，充分激活了數(shù)學思想，有效培育了數(shù)學的理性精神和創(chuàng)新意識．本課問題的解決，看似一題多解，實為提升學生數(shù)學關鍵能力和核心素養(yǎng)的思維大餐．高三教學中引入微專題的深度教學，對提高數(shù)學教學質量，培養(yǎng)學生素養(yǎng)具有革命性的意義．

英國著名課程理論家勞倫斯·斯滕豪斯認為：知識的重要特點在于它構成了人們進行思維的原料，教學是通過作為思維系統(tǒng)的知識來增進人的自由、發(fā)掘人的創(chuàng)造力的．數(shù)學教育的目的是通過最大限度激發(fā)人的思維能力，挖掘人的潛能，學會用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維分析世界以及用數(shù)學的語言表達世界．

3.2 轉換問題視角的教學價值

轉換視角研究問題，是通過學生參與解決數(shù)學問題的全過程，培養(yǎng)學生研究問題的學習態(tài)度和學習方法，是把解決問題的過程視為不斷發(fā)現(xiàn)新問題、提出新問題的一個數(shù)學思維過程，在這個過程中教師播種了培養(yǎng)學生“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”的行為．印度著名哲學家菩德曼說：“播種言行，收獲行為；播種行為，收獲習慣；播種習慣，收獲性格；播種性格，收獲命運．”如何讓學生收獲“有更多的問題視角，能提出更好的問題”？ 實踐證明：教師在課堂教學中有效創(chuàng)設問題情境，堅持有意識地培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，多留給學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的機會，多留給學生表達自己的想法和見解的時間和空間，善于示范引導，長期地加以方法指導，耐心地鼓勵，學生問題意識加強了，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題能力就會得到提升．學生通過長期的訓練，擁有了更多的問題視角，突破思維定勢，從容自如地應對各種新問題，成為一個善于思考、獨具個性的學習者，而不是知識的容器，這就是教育成功的最大收獲，也是轉換問題視角的教育價值所在．

4 結語

數(shù)學問題解決如何靈活自如、不失時機地調整視角，不但可以曲徑通幽，使“難”題不難，而且能獨辟蹊徑，達奇思妙解之效果．對同一數(shù)學表達用不同的“眼光”去觀察，用不同的觀點去分析，從不同的角度理解它，聯(lián)想它在不同背景中的含義，就能迅速找到解決問題的“入口”，得到各種解法．因此尋找恰當?shù)囊暯?，可以使?shù)學問題潛在的價值得以更充分的發(fā)掘，數(shù)學解題的視野由此而變得越來越開闊．同時我們深深地感受到，對數(shù)學本質理解的深度和數(shù)學思想掌握的高度是開闊數(shù)學解題眼界和視野的基石，其中等價轉化的思想是解決問題的靈魂，只有站在數(shù)學思想鑄就的平臺上，才能發(fā)現(xiàn)更多的視角與視點，真正實現(xiàn)“會當凌絕頂，一覽眾山小”的意境，達到有效培育“四能”，提升數(shù)學核心素養(yǎng)的目的.