王 輝， 李有明， 毛雁明

(1.寧波大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，浙江 寧波 315211； 2.寧德師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)系，福建 寧德 352100)

0 引 言

近年來(lái)，關(guān)于水聲傳感器網(wǎng)絡(luò)(underwater acoustic sensor network,UASN)的研究受到各國(guó)政府和研究機(jī)構(gòu)的高度重視，且在軍事和民用方面得到廣泛應(yīng)用，對(duì)于大部分的應(yīng)用而言，水下定位是關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一[1]。然而，由于水聲環(huán)境的復(fù)雜性，如傳輸時(shí)延大、噪聲高、載波頻率低等特點(diǎn)，與陸地上相比，節(jié)點(diǎn)定位精度具有更高的要求。這些因素給UASN中傳感器節(jié)點(diǎn)定位帶來(lái)了巨大的挑戰(zhàn)。

常見的UASN節(jié)點(diǎn)定位算法可分為基于測(cè)距和非測(cè)距的算法兩類[2]，其中基于測(cè)距的算法主要依賴于節(jié)點(diǎn)間的距離信息，如到達(dá)時(shí)間(time of arrival,TOA)、到達(dá)時(shí)間差(time difference of arrival,TDOA)、到達(dá)角度(angle of arrival,AOA)以及接收信號(hào)強(qiáng)度指示(received signal strength indication,RSSI)。TOA廣泛應(yīng)用于UASN的測(cè)距[3]，但兩節(jié)點(diǎn)間的精確同步具有挑戰(zhàn)性。TDOA可使用不同的傳輸介質(zhì)(如無(wú)線電波和聲波)或采用參考節(jié)點(diǎn)來(lái)估計(jì)距離，但無(wú)線電波不適合水下環(huán)境，且聲波的水下速度具有不可預(yù)測(cè)性[2]。AOA依賴于直線視距聲線傳輸路徑，其在地面無(wú)線電波中可能存在，而水聲信道中存在典型的多徑分量，這會(huì)導(dǎo)致AOA測(cè)量時(shí)出現(xiàn)較大的誤差[4]?；诮邮招盘?hào)強(qiáng)度(received signal strength,RSS)的水下定位方案作為衡量距離的另一種替代方案，由于多徑傳播和聲線傳輸損失(transmission loss,TL)現(xiàn)象使得精確測(cè)距難以實(shí)現(xiàn)[5]。然而，當(dāng)水深達(dá)到一定程度后，水聲信道會(huì)表現(xiàn)出良好的傳輸特性，可建立聲線傳輸損耗模型，因此，在這種情況下，基于RSS的定位方案最適合。

對(duì)于描述水聲信道的聲線傳輸損耗特征，Urick傳播模型[5]能夠衍生出一些統(tǒng)計(jì)特性。當(dāng)然，還有其他水聲聲線傳輸損耗建模方法，如Lambert W函數(shù)[6]。目前，UASN中基于RSS的定位算法的文獻(xiàn)相對(duì)較少，如文獻(xiàn)[6]利用Lambert W函數(shù)建立水聲傳播損耗模型，并結(jié)合三邊測(cè)量定位算法計(jì)算未知節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)；文獻(xiàn)[7]提出一種基于TOA和RSS的混合定位算法，其中基于RSS的測(cè)量作為已知信息；文獻(xiàn)[8]采用地面聲波傳播模型來(lái)研究基于RSS的水下定位。由于水聲環(huán)境的特殊性，在基于RSS測(cè)量系統(tǒng)中，陰影是不可忽略的因素。上述文獻(xiàn)僅簡(jiǎn)單假設(shè)任意兩個(gè)不同位置的陰影相互獨(dú)立，不具有相關(guān)性。為此，本文以空間陰影相關(guān)性為背景，在上述工作的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)和分析水聲信號(hào)傳播模型，提出一種基于RSS的定位的優(yōu)化求解方案。

1 基于接收信號(hào)的定位算法

1.1 傳播損耗模型

根據(jù)水聲傳輸損耗的表現(xiàn)形式和原因，將水聲傳輸損耗分為擴(kuò)散損耗和衰減損耗。擴(kuò)散損耗表示波前展開而產(chǎn)生的聲能擴(kuò)散，主要包括球面和柱面兩種形式。衰減損耗由介質(zhì)吸收、多徑傳播、散射和衍射組成，其衰減參數(shù)與介質(zhì)(鹽度，酸度，壓力和溫度)和環(huán)境(氣泡，沉積物吸收，表面反射和散射)有關(guān)[5]。以頻率f為中心的聲窄帶信號(hào)經(jīng)過(guò)距離d(d>0)傳播的傳播損失φTL可由Urick傳播模型

φTL(f,d)=10βlgd+α(f)d+ξ(f,d)

(1)

1.2 系統(tǒng)模型

(2)

(3)

式中δdB為常數(shù)值，值的大小取決于傳播環(huán)境；若以dB為單位，通常為4～12 dB之間；pij為第i條與第j條鏈路之間的相關(guān)系數(shù)。與大多數(shù)假設(shè)pij為零不同，一對(duì)節(jié)點(diǎn)之間的相關(guān)性取決于兩者的相對(duì)角度和距離[14]研究表明，相關(guān)系數(shù)的值通常取在0.2～0.8之間。

1.3 最大似然求解

克拉美羅下界(Cramer-Rao lower bound,CRLB)定義了任何無(wú)偏估計(jì)器性能的下限。當(dāng)測(cè)量次數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí)，最大似然(maximum likelihood,ML)估計(jì)可以漸近地達(dá)到CRLB。為方便起見，本文選擇d0=1。若路徑損耗指數(shù)β和吸收系數(shù)α(f)為已知，式(2)估計(jì)問題可轉(zhuǎn)換為

(4)

2 半正定松弛定位算法

針對(duì)上述問題，本節(jié)提出了一種基于半正定松弛(semi-definite relaxation,SDR)的求解算法。首先通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開，將原最大似然估計(jì)問題作為代價(jià)函數(shù)轉(zhuǎn)換成非線性最小二乘(nonlinear least squares,NLS)問題。重新排列式(2)，并兩邊除以10β得到

(5)

(6)

(7)

同時(shí)，引入di=‖x-si‖2>0和松弛變量ti≥0，本文將優(yōu)化問題式(7)轉(zhuǎn)換成

(8)

進(jìn)一步將式(8)的約束項(xiàng)轉(zhuǎn)換為

[D]i,i=tr[XSi]

(9)

最后，最小化問題(9)可轉(zhuǎn)換為半正定優(yōu)化問題，即

(10)

3 仿真分析

通過(guò)仿真驗(yàn)證空間陰影相關(guān)對(duì)基于RSS的定位精度的影響，并比較基于SDR算法，ML定位算法和線性最小二乘算法(linear least-squares,LLS)的3種定位方案的性能，驗(yàn)證本文所提出算法的有效性。在100 m×100 m的矩形區(qū)域內(nèi)，采用蒙特卡羅(Monte Carlo)法進(jìn)行了1 000次仿真測(cè)試，其中每次測(cè)試隨機(jī)部署6個(gè)錨節(jié)點(diǎn)和1個(gè)未知節(jié)點(diǎn)。另外，通過(guò)式(2)獲得RSS測(cè)量值，其中水聲信號(hào)傳輸頻率f為9 kHz，路徑損耗指數(shù)β和參考功率P0分別設(shè)置為4,-40 dB。對(duì)于相關(guān)系數(shù)pij和標(biāo)準(zhǔn)差δdB的取值，則在分組測(cè)試時(shí)分別設(shè)置。式(3)描述的協(xié)方差矩陣Q是一個(gè)對(duì)稱的半正定矩陣，通過(guò)Cholesky分解，Q可表示為[9]Q=BBT,B為下三角矩陣。若n=[n1,n2,…,nN]是式(2)中RSS測(cè)量時(shí)各條鏈路之間相關(guān)噪聲，且服從均值為零，協(xié)方差為Q的高斯隨機(jī)變量。那么n=Bw,w為一個(gè)向量，服從均值為零，方差為1的正態(tài)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量。

1)假定水聲環(huán)境中任意2個(gè)節(jié)點(diǎn)所處位置的陰影相互獨(dú)立，且不具有相關(guān)性，此時(shí)，設(shè)置pij=0，δdB=4 dB。圖1采用累積分布函數(shù)(cumulative distribution function,CDF)曲線對(duì)比了3種算法的估計(jì)定位誤差。與其他估計(jì)算法相比，最大似然定位算法的精度最高，其90 %的定位誤差小于23 m，具有良好的性能，主要是因?yàn)槠涑跏蓟等檎鎸?shí)解。當(dāng)然，本文所提出的半定松弛定位算法同樣具有良好精度，其性能非常接近最大似然。而最小二乘算法在3種定位算法中的表現(xiàn)最差，其90 %的定位誤差小于25 m。

圖1 定位誤差的CDF比較(δdB=4 dB，p=0)

從圖2可以看出，與圖1中的不相關(guān)的情況相比，陰影相關(guān)性的最大似然在90 %的CDF處定位誤差減少到12 m，整體性能有所提升。同樣，本文提出的半定松弛定位算法也表現(xiàn)出了良好的精度，其性能仍非常接近最大似然。

圖2 定位誤差的CDF比較(δdB=4 dB,p=0.8)

3)比較了所考慮的估計(jì)量的平均運(yùn)行時(shí)間。本文考慮與圖2相同的網(wǎng)絡(luò)配置，陰影的標(biāo)準(zhǔn)差為4 dB，相關(guān)系數(shù)為0.8。可知，LLS具有最快的運(yùn)行時(shí)間[4](0.28 ms)，因?yàn)楣烙?jì)器需要簡(jiǎn)單的計(jì)算，所有這些都在一次迭代中完成。ML(16.54 ms)和ML-NC(15.13 ms)運(yùn)行速度比SDP(42.16 ms)估計(jì)量快。然而，應(yīng)該注意的是，ML和ML-NC初始值為真值，隨著求解器在一些迭代后收斂，明顯減少了運(yùn)行時(shí)間[5]。ML需要更多的迭代次數(shù)，且運(yùn)行速度比ML-NC高，主要是ML成本函數(shù)復(fù)雜度高的原因。由此可知，以上3種算法存在各自的問題，不適合推廣，而本文提出的SDR定位算法雖然運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)，但在可接受范圍內(nèi)，最重要的其表現(xiàn)出了良好適應(yīng)性和精度。

4)考察變量δ對(duì)定位誤差均方差根誤差(root mean square error,RMSE)的影響。圖3描述了相關(guān)系數(shù)p設(shè)定為0.8，陰影的標(biāo)準(zhǔn)差δdB為1～6 dB時(shí)，三種定位算法表現(xiàn)出來(lái)的RMSE的變化曲線。通過(guò)對(duì)所有源節(jié)點(diǎn)位置和隨機(jī)噪聲實(shí)現(xiàn)進(jìn)行平均來(lái)計(jì)算每個(gè)定位算法的RMSE。由圖3可知，ML與ML-NC之間的差異隨著陰影標(biāo)準(zhǔn)差δdB的增大而增大，因此，在測(cè)量中考慮重度陰影的關(guān)系更有利。與此同時(shí)，本文提出的半正定松弛定位算法表現(xiàn)出很好的性能，與最大似然性能非常接近。

圖3 RMSE隨δ的變化關(guān)系(p=0.8)

4 結(jié) 論

本文所提出算法的性能非常接近最大似然估計(jì)的精度，且在不相關(guān)或相關(guān)的陰影環(huán)境下均表現(xiàn)出較強(qiáng)的適應(yīng)性和較高的精度，因而更適合推廣。