廖書偉， 劉 巍

(河南理工大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，河南 焦作 454000)

0 引 言

隨著現(xiàn)代航空航天技術(shù)的飛速發(fā)展，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的實(shí)時(shí)性跟蹤越來越受關(guān)注。對(duì)各式各樣的飛行器的航速和機(jī)動(dòng)性能的要求也越來越高。當(dāng)目標(biāo)突然實(shí)施機(jī)動(dòng)(突然轉(zhuǎn)彎或加、減速等)，只采用一個(gè)模型很難描述目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)情況[1,2]。因此，Blom和Bar-shalom在廣義偽貝葉斯算法[3,4]的基礎(chǔ)上，提出了交互多模型算法(interacting multiple model,IMM)[5,6]。交互多模型算法是目標(biāo)多模型運(yùn)動(dòng)的常用算法之一，可盡可能真實(shí)地反映目標(biāo)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況[7,8]。然而，經(jīng)典的IMM算法沒有考慮受乘性噪聲的影響，因此本文提出受乘性噪聲干擾的IMM算法對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的影響并驗(yàn)證。

IMM算法被廣泛應(yīng)用于許多不同的領(lǐng)域,如文獻(xiàn)[9]運(yùn)用IMM算法跟蹤機(jī)動(dòng)目標(biāo)，研究結(jié)果表明用IMM算法跟蹤機(jī)動(dòng)目標(biāo)模型(特別是加速度較大)有明顯的優(yōu)勢(shì)，文獻(xiàn)[10]研究多通道交互多模型跟蹤人體運(yùn)動(dòng)，進(jìn)一步延展了IMM算法的應(yīng)用。文獻(xiàn)[11]通過IMM算法得到其派生算法，并用于跳躍馬爾可夫線性系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)濾波問題。文獻(xiàn)[12]提出IMM-卡爾曼濾波(Kalman filtering,KF)算法，該算法運(yùn)用于目標(biāo)跟蹤具有較好的跟蹤精度和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[13]結(jié)合粒子濾波和IMM算法，應(yīng)用于高速高機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤，提高了對(duì)非線性系統(tǒng)下不確定情況的濾波性能，從而也優(yōu)化了跟蹤精度。文獻(xiàn)[14]結(jié)合無跡KF和IMM算法，提出了一種自適應(yīng)調(diào)整“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型的計(jì)算方法，提高了運(yùn)動(dòng)模式的匹配概率，改進(jìn)了跟蹤效果。然而，上述文獻(xiàn)仍沒有考慮乘性噪聲的影響。

乘性噪聲一般是由信道不理想引起的，其與信號(hào)是相乘的關(guān)系。如傳輸信號(hào)經(jīng)過電離層信道時(shí)的衰退或反射以及信號(hào)的采樣、選通、調(diào)制等[15]。文獻(xiàn)[16,17]研究的系統(tǒng)中，加性測(cè)量噪聲為有色噪聲，所得遞歸濾波算法較不考慮乘性噪聲有更好的性能。文獻(xiàn)[18]研究了受有色乘性噪聲干擾的線性離散系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)。文獻(xiàn)[19]研究了受乘性噪聲的干擾，馬爾可夫參數(shù)部分未知的線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題，并驗(yàn)證考慮乘性噪聲情況下較不考慮乘性噪聲的性能提高明顯。在實(shí)際應(yīng)用中,因忽略乘性噪聲的影響，而導(dǎo)致性能嚴(yán)重的下降。因此，研究乘性噪聲干擾下的IMM算法很有必要。

在本文中，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的測(cè)量方程中含有乘性噪聲，通過聯(lián)合使用有乘性噪聲的Kalman濾波器[20]和IMM算法，得到一個(gè)針對(duì)乘性噪聲環(huán)境下的IMM算法，并驗(yàn)證考慮乘性噪聲的IMM算法優(yōu)于經(jīng)典的IMM算法，且能較準(zhǔn)確地反映目標(biāo)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況。

1 乘性噪聲干擾下的KF

考慮如下系統(tǒng)

x(k+1)=A(k)x(k)+ω(k)

(1)

(2)

式中x(k)∈Rn為未知的狀態(tài)向量，ω(k)∈Rn為加性過程噪聲，ζμ,k∈Rn×n為乘性噪聲，y(k)∈Rp為輸出向量,v(k)∈Rp為加性測(cè)量噪聲,A(k),C(k),μ,k為適當(dāng)維數(shù)的矩陣。

假設(shè)系統(tǒng)滿足條件如下:

1)關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)噪聲ω(k)和觀測(cè)噪聲v(k)滿足:均值都為零，方差分別為Q(k),R(k) ,且ω(k),v(k)相互獨(dú)立。

因量測(cè)值yi(i=1,2,…,k)含有乘性噪聲ζμ,k,令yk[yT(0),yT(1),yT(2),…,yT(k)]T,令Y=y時(shí)X的線性最小均方誤差估計(jì)與相應(yīng)的最小均方誤差估計(jì)相等，即[X|Y=y]=E[X|Y=y]。

a.預(yù)測(cè)估計(jì)

(3)

b.預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差

P(k|k-1)=A(k-1)P(k-1|k-1)AT(k-1)+

Q(k-1)

(4)

c.新息

(5)

d.卡爾曼增益

N(k)=C(k)P(k|k-1)CT(k)+R(k)+

(6)

(7)

K(k)=P(k|k-1)CT(k)×N-1(k)

(8)

e.濾波

(9)

f.濾波協(xié)方差

P(k|k-1)=(I-K(k)C(k))P(k|k-1)

(10)

將上述含有乘性噪聲的卡爾曼濾波算法應(yīng)用于經(jīng)典的IMM算法。

2 乘性噪聲干擾下的IMM算法

通過利用帶有乘性噪聲的KF及經(jīng)典的IMM算法[6]，得到乘性噪聲干擾下的IMM算法，具體如下：

1)輸入交互:設(shè)模型i轉(zhuǎn)移到模型j的轉(zhuǎn)移概率為pij，則馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣如下

(11)

(12)

(13)

2)乘性噪聲干擾下的IMM算法

對(duì)應(yīng)第j個(gè)模型，0j(k-1|k-1),P0j(k-1|k-1)以及觀測(cè)值Z(k)作為輸出進(jìn)行卡爾曼濾波，過程如下

(14)

預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差

(15)

卡爾曼增益

Kj(k)=Pj(k|k-1)CT×[CPj(k|k-1)CT+

(16)

(17)

濾波

Kj(k)[y(k)-Cj(k|k-1)]

(18)

濾波協(xié)方差

Pj(k|k)=(I-Kj(k)C)Pj(k|k-1)

(19)

式中I為單位陣。

3)模型概率更新

由似然函數(shù)更新模型概率μj(k)，模型j的似然函數(shù)為

(20)

式中vj(k)=Z(k)-Cj(k|k-1),Sj(k)=CPj(k|k-1)CT=R(k)

所以,模型j的概率為

(21)

4)交互輸出

總的狀態(tài)估計(jì)

(22)

總的協(xié)方差估計(jì)

(23)

由于經(jīng)典的IMM算法沒有考慮乘性噪聲的影響，當(dāng)實(shí)際系統(tǒng)受乘性噪聲干擾時(shí)，性能下降嚴(yán)重，且現(xiàn)有的基于多模型的目標(biāo)跟蹤的算法[4,5,21,22]很少考慮乘性噪聲的影響。因此，為了提高實(shí)際系統(tǒng)目標(biāo)跟蹤的估計(jì)性能，本文提出了一個(gè)受乘性噪聲干擾的IMM算法。

3 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型及仿真分析

3.1 狀態(tài)方程和量測(cè)方程

設(shè)狀態(tài)向量為

則狀態(tài)方程為

Xk=AiXk-1+BiWk-1,i=1,2,3

(24)

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的測(cè)量方程

(25)

對(duì)于上述問題，采用三個(gè)模型，第一個(gè)模型是非機(jī)動(dòng)模型；第二、三模型為機(jī)動(dòng)模型?？刂颇Ｐ偷鸟R爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為

且各模型的概率為μ1=0.8,μ2=0.1,μ3=0.1。

3.2 恒速模型(非機(jī)動(dòng)模型)

當(dāng)非機(jī)動(dòng)目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，狀態(tài)方程為

Xk=A1Xk-1+B1W

(26)

其中,系統(tǒng)的擾動(dòng)噪聲均為零均值、方差為Q=0.001I4×4，T=2 s為采樣周期，總的采樣點(diǎn)數(shù)為N=800/T

(27)

3.3 恒加速模型(機(jī)動(dòng)模型)

Xk=A2Xk-1+B2W,

(28)

Xk=A3Xk-1+B3W

A3=

(29)

定義濾波誤差的均值

(30)

定義濾波誤差的標(biāo)準(zhǔn)差

(31)

式中M=50為蒙特卡洛仿真次數(shù)。

采用兩點(diǎn)起始法，求得初始狀態(tài)為

(32)

3.4 仿真分析

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的真實(shí)軌跡如圖1所示。圖2～圖4分別給出了所提出的乘性噪聲干擾下的IMM算法與經(jīng)典的IMM算法這兩種方法的仿真比較結(jié)果。

圖1 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的真實(shí)軌跡

圖2 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的濾波軌跡

圖3 x方向?yàn)V波誤差的均值

圖4 x方向?yàn)V波誤差標(biāo)準(zhǔn)差

圖2可以看出，前者濾波軌跡比后者濾波軌跡要更接近真實(shí)軌跡，且在轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)時(shí)使用聯(lián)合乘性噪聲的IMM算法比經(jīng)典的IMM算法的實(shí)時(shí)跟蹤更精確，效果更好。

圖3、圖4分別為由蒙特卡洛仿真計(jì)算得到的濾波誤差均值曲線和標(biāo)準(zhǔn)差曲線，可以看出，由于有兩次轉(zhuǎn)彎，在轉(zhuǎn)彎的前后誤差的均值有較大的波動(dòng)。隨后在目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的軌跡變?yōu)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著時(shí)間的推移，誤差均值再次在零值附近有較小的波動(dòng)。

由于x方向和y方向相同，仿真結(jié)果相類似，因此在結(jié)果分析中只分析了x方向的結(jié)果。

4 結(jié) 論

本文得到在乘性噪聲環(huán)境下的IMM算法，通過對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的建模及仿真分析，可以看出針對(duì)乘性噪聲環(huán)境的IMM算法較經(jīng)典的IMM算法能更有效地提高目標(biāo)的穩(wěn)定性和定位的準(zhǔn)確性。仿真結(jié)果表明了考慮乘性噪聲干擾下IMM算法的必要性。