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        分形集上的廣義調(diào)和s-凸函數(shù)及Hadamard型不等式

        2018-11-28 12:53:08
        關(guān)鍵詞:將式調(diào)和集上

        孫 文 兵

        (邵陽學(xué)院 理學(xué)院, 湖南 邵陽 422000)

        1 引言與預(yù)備知識(shí)

        很多不等式的研究都與函數(shù)凸性有關(guān), 例如Hermite-Hadamard不等式: 令f:I?→是一個(gè)凸函數(shù), 其中a,b∈I,a

        (1)

        如果f是凹的, 則不等式號(hào)相反. 目前, 關(guān)于Hermite-Hadamard型不等式的研究已取得了許多成果[1-14].

        定義1[9]令I(lǐng)?(0,∞)是一個(gè)區(qū)間. 如果對(duì)所有的x,y∈I,t∈[0,1]以及某一固定的s∈(0,1], 均有

        (2)

        則稱函數(shù)f:I→是一個(gè)調(diào)和s-凸(凹)函數(shù).

        定理1[9]令f:I?(0,∞)→是一個(gè)調(diào)和s-凸函數(shù),a,b∈I,a

        (3)

        定義2[14]令I(lǐng)?{0}是一個(gè)區(qū)間. 對(duì)所有的x,y∈I,t∈[0,1], 均有

        (4)

        則稱f:I→α(0<α≤1)是一個(gè)分形集上的廣義調(diào)和凸函數(shù). 如果不等式反號(hào), 則f是一個(gè)分形集上的廣義調(diào)和凹函數(shù).

        本文基于分形集理論及局部分?jǐn)?shù)階微積分理論[15-16], 給出分形集上廣義調(diào)和s-凸函數(shù)的定義及其相關(guān)性質(zhì), 建立廣義調(diào)和s-凸函數(shù)推廣的Hermite-Hadamard不等式以及分形空間上其他與局部分?jǐn)?shù)階積分有關(guān)的Hermite-Hadamard型不等式.

        1)aα+bα∈α,aαbα∈α;

        2)aα+bα=bα+aα=(a+b)α=(b+a)α;

        3)aα+(bα+cα)=(a+b)α+cα;

        4)aαbα=bαaα=(ab)α=(ba)α;

        5)aα(bαcα)=(aαbα)cα;

        6)aα(bα+cα)=aαbα+aαcα;

        7)aα+0α=0α+aα=aα且aα1α=1αaα=aα.

        定義3[17]若對(duì)所有的u,v∈+(+=[0,∞)), 均有

        其中λ1,λ2≥0,λ1+λ2=1, 則稱函數(shù)f:+→α為第二種意義下的廣義s-凸函數(shù)(0

        引理1[15]1) 若f(x)=g(α)(x)∈Cα[a,b], 則

        2) 若f(x),g(x)∈Dα[a,b], 且f(α)(x),g(α)(x)∈Cα[a,b], 則

        引理2[15]

        2 主要結(jié)果

        定義4令函數(shù)f:I?(0,∞)→α(0<α≤1). 如果對(duì)所有的x,y∈I,t∈[0,1]及某一固定的s∈(0,1], 均有

        (5)

        則稱f是一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù). 如果式(5)中不等號(hào)反號(hào), 則稱f是廣義調(diào)和s-凹函數(shù).

        性質(zhì)1如果f:I?(0,∞)→α是一個(gè)廣義s-凸函數(shù)且不減的, 則f是一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù).

        證明: 對(duì)于x,y∈(0,∞)且t∈[0,1], 易證

        因?yàn)閒: (0,∞)→α是一個(gè)廣義s-凸函數(shù)且不減的, 則

        因此f是一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù).

        性質(zhì)2如果f:I?(0,∞)→α是一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù)且不增的, 則f是一個(gè)廣義s-凸函數(shù).

        證明: 對(duì)于x,y∈(0,∞)且t∈[0,1], 易證

        因?yàn)閒: (0,∞)→α是一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù)且不增的, 則

        由定義3知,f是廣義s-凸函數(shù).

        例1令0

        如果bα≥0α且0α≤cα≤aα, 則f是廣義s-凸函數(shù)(第二種意義下), 且f在區(qū)間(0,∞)上是不減的[17]. 根據(jù)性質(zhì)1,f是廣義調(diào)和s-凸函數(shù).

        定理2(廣義調(diào)和s-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式) 令f:I?(0,∞)→α是分形空間上的一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù), 且a,b∈I,a

        (6)

        證明: 因?yàn)閒:I?(0,∞)→α是一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù), 在式(5)中取則對(duì)所有的x,y∈I, 均有

        (7)

        將式(7)兩邊對(duì)t在[0,1]上局部分?jǐn)?shù)階積分, 由引理2和引理4, 可得

        因此

        (8)

        另一方面, 注意到f是一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù), 對(duì)t∈[0,1], 有

        (9)

        (10)

        將式(9),(10)相加, 可得

        (11)

        將式(11)兩邊對(duì)t在[0,1]上局部分?jǐn)?shù)階積分, 由引理2可得

        (12)

        其中

        證畢.

        注1在定理2中, 取α=1, 則由不等式(6)可得不等式(3).

        下面給出分形空間上的兩個(gè)特殊函數(shù):

        1) Beta函數(shù)

        2) 超幾何函數(shù)

        引理5令I(lǐng)?{0}是一個(gè)區(qū)間,f:I°?{0}→α(I°是I的內(nèi)部)使得f∈Dα(I°), 且f(α)∈Cα(a,b),a,b∈I°,a

        證明: 設(shè)

        由局部分?jǐn)?shù)階分部積分, 可得

        換元

        可得

        證畢.

        定理3令I(lǐng)?(0,∞)是一個(gè)區(qū)間,f:I°→α(I°是I的內(nèi)部)使得f∈Dα(I°), 且f(α)∈Cα[a,b],a,b∈I°,a1, 則對(duì)所有的x∈[a,b], 下列不等式均成立:

        其中:

        計(jì)算可得

        類似地, 有

        由式(15)~(19), 可得不等式(14). 證畢.

        注2在定理3中, 取α=1, 可得文獻(xiàn)[10]中定理8.

        定理4令I(lǐng)?(0,∞)是一個(gè)區(qū)間,f:I°→α使得f∈Dα(I°), 且f(α)∈Cα[a,b],a,b∈I°,a1,則對(duì)所有的x∈[a,b], 下列不等式均成立:

        證明: 設(shè)At=ta+(1-t)b. 對(duì)式(13)兩邊取模, 由引理3可得

        計(jì)算可得

        由引理2, 可得

        (25)

        因此, 結(jié)合式(21)~(25)可得結(jié)論. 證畢.

        注3在不等式(20)中, 若取α=1, 則通過簡單計(jì)算可得文獻(xiàn)[10]中定理9.

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