李繼梅, 李輝來

(吉林大學 數(shù)學學院, 長春 130012)

1 引言與預(yù)備知識

分數(shù)階微分方程在經(jīng)濟學、 物理、 化學和工程等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-4]. 目前, 利用一些不動點定理(如Schauder不動點定理、 Guo-Krasnosel’skii不動點定理、 Leggett-Williams不動點定理)和上下解的方法, 研究非線性分數(shù)階微分方程邊值問題正解的存在性與多解性已有很多結(jié)果[5-12].

本文考慮如下非線性分數(shù)階微分方程:

(1)

定義1[3]連續(xù)函數(shù)y: (0,+∞)→的α>0階Riemann-Liouville分數(shù)階積分定義為

其中等式右端在(0,+∞)內(nèi)有定義.

定義2[3]連續(xù)函數(shù)y: (0,+∞)→的α>0階Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中n是大于或等于α的最小整數(shù).

引理1[3]設(shè)α>0, 假設(shè)μ∈Cn[0,1], 則

其中n是大于或等于α的最小整數(shù).

引理2[11]設(shè)y∈C[0,1], 2<α≤3, 則分數(shù)階微分方程邊值問題:

有唯一解

其中

(2)

引理3設(shè)y∈C[0,1], 2<α≤3, 1<β≤2, 則分數(shù)階微分方程邊值問題:

有唯一解

(5)

其中:G(t,s)由式(2)定義;

(6)

則

由邊值條件(4), 得

因此,

從而

于是, 分數(shù)階微分方程邊值問題(3)-(4)等價于下列問題:

由引理2可知, 分數(shù)階微分方程邊值問題(3)-(4)有唯一解式(5). 證畢.

引理4由式(2),(6)所定義的函數(shù)G(t,s),H(t,s)滿足如下性質(zhì):

1) 對任意的t,s∈[0,1],G(t,s)≥0,H(t,s)≥0;

2) 對任意的t,s∈[0,1],G(t,s)≤G(1,s),H(t,s)≤H(s,s);

3) 對任意的t,s∈(0,1),G(t,s)≥tα-1G(1,s);

4) 存在兩個正函數(shù)δ1,δ2∈C[0,1], 滿足

證明: 由文獻[11]中引理2.10可知G(t,s)滿足性質(zhì)1)～3).

下面證明函數(shù)G(t,s)的性質(zhì)4)和函數(shù)H(t,s)的性質(zhì). 由簡單計算可知, 函數(shù)G(t,s)當s≤t時關(guān)于t是遞增的, 當t≤s時關(guān)于t也是遞增的. 于是, 令

則有

其中:

由函數(shù)G(t,s)的單調(diào)性, 有

于是, 設(shè)

則式(7)成立.

由H(t,s)的表達式可知, 對任意的t,s∈[0,1],H(t,s)≥0成立. 當s≤t時,H(t,s)關(guān)于t是遞減的, 因此

從而式(8)成立. 證畢.

定義3[5]若θ:P→[0,∞)是連續(xù)的, 且對任意的x,y∈P, 0

1) ‖Ax‖≤‖x‖,x∈P∩?Ω1, 且‖Ax‖≥‖x‖,x∈P∩?Ω2;

2) ‖Ax‖≥‖x‖,x∈P∩?Ω1, 且‖Ax‖≤‖x‖,x∈P∩?Ω2.

P(θ,b,d)={x∈P|b≤θ(x), ‖x‖≤d}.

1) 當x∈P(θ,b,d)時, 集合{x∈P(θ,b,d)|θ(x)>b}非空且θ(Ax)>b;

2) 當‖x‖≤a時, ‖Ax‖

3) 當x∈P(θ,b,c)且‖Ax‖>d時, 有θ(Ax)>b.

則A至少有3個不動點x1,x2,x3, 滿足:

‖x1‖

注1[5]如果d=c, 則由引理6中條件1)可推出條件3), 即只需證明條件1),2)即可得到算子A至少有3個不動點x1,x2,x3.

2 存在性和多解性

引理7A:P→P是全連續(xù)算子.

證明: 首先, 對μ∈P, 由函數(shù)G(t,s),H(t,s)和f(t,μ(t))的連續(xù)性和非負性, 可知A:P→P是連續(xù)的.

因此A(Ω)是一致有界的.

另一方面, 由于G(t,s)在[0,1]×[0,1]上是一致連續(xù)的, 因此對固定的s∈[0,1]及任意的ε>0, 存在δ>0, 使得當t1,t2∈[0,1], |t2-t1|<δ時, 有

于是

即A(Ω)是等度連續(xù)的. 由Arzel-Ascoli定理可知,A:P→P是全連續(xù)的. 證畢.

記

定理1假設(shè)f(t,μ)為C[0,1]×[0,∞)上的連續(xù)函數(shù), 且存在兩個不同的正常數(shù)r1,r2, 滿足下列假設(shè)條件:

1) 當(t,μ)∈[0,1]×[0,r1]時,f(t,μ)≤φp(Mr1);

2) 當(t,μ)∈[1/4,3/4]×[0,r2]時,f(t,μ)≥φp(Nr2).

則邊值問題(1)至少有一個正解μ, 使得min{r1,r2}≤‖μ‖≤max{r1,r2}.

證明: 由引理7可知A:P→P是全連續(xù)算子. 不失一般性, 不妨設(shè)0

首先, 令Ω1∶={μ∈P|‖μ‖

因而‖Aμ‖≤‖μ‖,μ∈?Ω1.

其次, 令Ω2∶={μ∈P|‖μ‖

因而‖Aμ‖≥‖μ‖,μ∈?Ω2.

由引理5可知, 算子A至少有一個不動點μ, 即邊值問題(1)至少有一個正解且滿足r1<‖μ‖

定理2假設(shè)f(t,μ)為C[0,1]×[0,∞)上的連續(xù)函數(shù), 若存在正常數(shù)0

1) 當(t,μ)∈[0,1]×[0,a]時,f(t,μ)≤φp(Ma);

2) 當(t,μ)∈[1/4,3/4]×[b,c]時,f(t,μ)≥φp(Nb);

3) 當(t,μ)∈[0,1]×[0,c]時,f(t,μ)≤φp(Mc).

則邊值問題(1)至少有3個正解μ1,μ2,μ3, 滿足

(9)

證明: 由于A:P→P全連續(xù), 因此邊值問題(1)有解μ=μ(t)當且僅當μ滿足算子方程μ=Aμ(t). 即只需證明引理6的所有條件均滿足即可.

因而{μ∈P(θ,b,c)|θ(μ)>b}≠?.

若μ∈P(θ,b,c), 則有b≤μ(t)≤c. 從而當t∈[1/4,3/4]時, 由假設(shè)條件2), 有

即對μ∈p(θ,b,c),θ(Aμ)>b. 表明引理6中的條件1)成立.

由引理6和注1可知, 邊值問題(1)至少有3個正解μ1,μ2,μ3滿足式(9). 證畢.