沈強(qiáng)， 劉潔瑜,*， 趙乾， 王琪

(1. 火箭軍工程大學(xué)導(dǎo)彈工程學(xué)院， 西安 710025； 2. 火箭軍士官學(xué)校測(cè)試控制系， 青州 262500)

微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)陀螺由于具有體積小、質(zhì)量輕、功耗低、易于集成等優(yōu)勢(shì)，在汽車、電子、醫(yī)療設(shè)備等領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。但是，其精度低，噪聲大，難以滿足如航空航天和高精度武器制導(dǎo)[1-2]等高精度應(yīng)用的需求，且國(guó)內(nèi)的技術(shù)水平相對(duì)滯后。

為充分發(fā)揮MEMS陀螺的優(yōu)勢(shì)，進(jìn)一步擴(kuò)展其應(yīng)用領(lǐng)域，如何在當(dāng)前的工藝和技術(shù)水平條件下提高M(jìn)EMS陀螺使用精度一直是研究的重要方向[3]。MEMS陀螺具有體積小、成本低、易于集成的特點(diǎn)，隨著多傳感器融合技術(shù)的蓬勃發(fā)展，陀螺陣列技術(shù)逐漸受到了人們的重視。該技術(shù)首次由Bayard 和Ploen 提出[4]，他們同時(shí)使用多個(gè)MEMS陀螺測(cè)量同一速率信號(hào)，然后利用信息融合技術(shù)得到載體速率的最優(yōu)估計(jì)值。由于其最終的輸出信號(hào)與單個(gè)真實(shí)陀螺的實(shí)際信號(hào)不同，所以在這種技術(shù)也被稱為“虛擬陀螺”技術(shù)。陀螺陣列技術(shù)是MEMS陀螺的精度得到了有效的提高，且具有良好的可操作性，所以近來成為了慣性技術(shù)的一個(gè)研究熱點(diǎn)。國(guó)內(nèi)外很多科研機(jī)構(gòu)都對(duì)這項(xiàng)技術(shù)進(jìn)行了相關(guān)研究，并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證[5-10]。

陀螺陣列技術(shù)的核心是多傳感器融合估計(jì)方法。上述研究中采用的多是Kalman濾波及其擴(kuò)展算法，這類方法在一定程度上提高了MEMS陀螺的輸出精度。但是這種基于隨機(jī)噪聲假設(shè)的估計(jì)方法要求噪聲的統(tǒng)計(jì)特性已知，噪聲和未建模誤差的概率化模型信息的缺失會(huì)影響其估計(jì)精度。而在MEMS陀螺的實(shí)際應(yīng)用中，由于動(dòng)態(tài)條件、溫度等因素的影響，噪聲的統(tǒng)計(jì)特性會(huì)產(chǎn)生一定的不確定性，甚至噪聲本身可能包含部分難以用統(tǒng)計(jì)方法描述的非白噪聲，這必然會(huì)影響Kalman濾波器的效果，甚至?xí)斐蔀V波發(fā)散。與Kalman濾波不同的是，集員估計(jì)理論只要求噪聲有界且已知，而無需知道噪聲的分布以及均值和方差等統(tǒng)計(jì)特性[11-12]。這在實(shí)際應(yīng)用中是容易實(shí)現(xiàn)的，而超出界限的往往被視作壞值剔除或作為故障診斷的依據(jù)。因此，本文研究了集員估計(jì)在MEMS陀螺陣列信號(hào)中的應(yīng)用。

集員估計(jì)所得結(jié)果是一個(gè)包含狀態(tài)真實(shí)值的可行集，而可行集形狀往往十分復(fù)雜，難以確定，所以一般采用包含可行集的近似可行集來描述，其中最常用的是橢球集合，這種方法被稱作最優(yōu)定界橢球(OBE)算法[13-15]，也是本文的主要研究?jī)?nèi)容。OBE算法通常將橢球中心作為真實(shí)值的點(diǎn)估計(jì)。實(shí)際上橢球中心并沒有理論上的最優(yōu)特性，而Chebyshev中心是使可行集worst-case誤差最優(yōu)的點(diǎn)[16]，更適合作為真實(shí)值的點(diǎn)估計(jì)。但可行集的Cheyshev中心很難確定，所以本文采用松弛Chebyshev中心(RCC)作為真實(shí)值的角速率估計(jì)值。以此為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了新的參數(shù)優(yōu)化準(zhǔn)則，提出了基于RCC的OBE(RCC-OBE)算法，并將該算法用于陀螺陣列數(shù)據(jù)的融合，得到了MEMS陀螺陣列的RCC-OBE估計(jì)融合方法。

1 MEMS陀螺數(shù)學(xué)模型

陀螺的誤差主要由確定性誤差和隨機(jī)誤差構(gòu)成，確定性誤差可通過標(biāo)定補(bǔ)償，這里僅考慮隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差主要包括零偏不穩(wěn)定性、角度隨機(jī)游走(ARW)和角速率隨機(jī)游走(RRW)，因而對(duì)角速率ω的帶噪聲測(cè)量通常采用下面的模型[7]：

y=ω+b+n

(1)

(2)

式中:y為陀螺輸出;n為角度隨機(jī)游走;b為受噪聲w驅(qū)動(dòng)的角速率隨機(jī)游走。但具體模型還要由陀螺真實(shí)誤差特性來決定。

2 MEMS陀螺陣列模型

采用式(1)描述的隨機(jī)誤差模型來建立陀螺陣列的系統(tǒng)模型。靜態(tài)條件下，陀螺的真實(shí)角速率ω理論上等于0，但實(shí)際上由于外界環(huán)境的影響，陀螺的輸入角速率不可能絕對(duì)等于0，而是表現(xiàn)為由噪聲nω驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)游走。選取6個(gè)陀螺組成陣列，則陣列系統(tǒng)的離散方程通?？梢员硎緸閇7]

(3)

式中:xk=[b1(k),b2(k),…,b6(k),ω(k)]為狀態(tài)向量，b1(k)～b6(k)為各陀螺的角速率隨機(jī)游走，ω(k)為真實(shí)角速率；zk=[z1(k),z2(k),…,z6(k)]T為量測(cè)向量，z1(k)～z6(k)為各陀螺的輸出值；狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φk-1=I7，I7為7維單位矩陣；量測(cè)矩陣Γk-1=TI7，T為陀螺采樣周期；量測(cè)矩陣Hk=[I6?16×1]，16×1為所有元素均為1的6×1矩陣；過程噪聲向量wk-1=[w1(k-1),w2(k-1),…,w6(k-1),nω(k-1)]T，w1(k-1)～w6(k-1)為各陀螺角速率隨機(jī)游走的驅(qū)動(dòng)噪聲，nω(k-1)為真實(shí)角速率的驅(qū)動(dòng)噪聲；量測(cè)噪聲向量vk-1=[v1(k-1),v2(k-1),…,v6(k-1)]T，v1(k-1)～v6(k-1)為各陀螺的輸出噪聲。

但是，在實(shí)際應(yīng)用中，陀螺通常工作在動(dòng)態(tài)條件下。此時(shí)，真實(shí)角速率跟被測(cè)對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性相關(guān)，而上述隨機(jī)游走過程難以充分跟蹤對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性。為提高陀螺陣列的動(dòng)態(tài)性能，對(duì)角速率進(jìn)行如下的建模：

(4)

式中：a(k)為角加速度;j(k-1)為角加加速度，可以看作分布未知的噪聲。則狀態(tài)變量、過程噪聲和陣列離散方程中的相關(guān)矩陣修改如下：

xk=[b1(k),b2(k),…,b6(k),ω(k),a(k)]

Hk=[I6?16×1?06×1]

wk-1=[w1(k-1),w2(k-1),…,w6(k-1),

nω(k-1)，j(k-1)]T

而量測(cè)變量和量測(cè)噪聲保持不變。

另外，wk-1和vk分別為過程噪聲和量測(cè)噪聲。為滿足Kalman濾波及其衍生算法的條件，它們通常被假設(shè)為高斯噪聲。但是，這種條件有時(shí)難以滿足。本文將其假設(shè)為一種更為廣泛而且容易滿足的情況，分布未知但有界(UBB)，并假設(shè)其屬于如下橢球：

(5)

(6)

式中：Qk、Rk為已知的正定矩陣。

相應(yīng)的，初始狀態(tài)假設(shè)屬于如下橢球：

(7)

3 RCC-OBE算法

RCC-OBE算法是在OBE算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)而來，以UBB假設(shè)為前提，同樣由時(shí)間更新和量測(cè)更新2個(gè)過程組成。

3.1 時(shí)間更新

(8)

一般情況下，2個(gè)橢球的Minkowski和是凸的但形狀復(fù)雜，難以精確確定。為簡(jiǎn)化計(jì)算，實(shí)現(xiàn)算法的遞推，本節(jié)將通過計(jì)算外包橢球來逼近狀態(tài)預(yù)測(cè)集

(9)

具體過程如下：

(10)

(11)

式中：參數(shù)pk可通過最小化橢球的跡得到

(12)

3.2 量測(cè)更新

(13)

式中：量測(cè)橢球可描述為

(14)

同樣的，筆者通過計(jì)算外包橢球來逼近這個(gè)交集：

(15)

橢球中心和形狀矩陣可按式(16)和式(17)計(jì)算：

(16)

Pk=βk[(I-LkHk)Pk|k-1(I-LkHk)T+

(17)

式中：qk為用來優(yōu)化橢球的參數(shù)。

(18)

(19)

(20)

假設(shè)x位于l個(gè)橢球的交集Q中

Q={x:fi(x)

(21)

(22)

不過，求解一個(gè)凸集的Chebyshev中心極其困難，因?yàn)槭?22)中內(nèi)部的極大化過程是一個(gè)非凸二次優(yōu)化問題。為此，將式(22)內(nèi)部的非凸最大化過程用其半定松弛(SDR)代替，并解決由此導(dǎo)致的凸凹極大極小問題，從而得到RCC。

式(22)中的極大化過程可以描述為

(23)

令Δ=xxT，則式(23)等價(jià)于

(24)

式中：

G={(Δ,x):fi(Δ,x)≤0，0≤i≤l,Δ=xxT}

(25)

并定義

(26)

式(24)描述的目標(biāo)函數(shù)對(duì)于(Δ,x)是凹的，但集合是非凸的。為實(shí)現(xiàn)式(24)的松弛，采用如下的凸集T來代替集合G，T的定義為

T={(Δ,x):fi(Δ,x)≤0，0≤i≤l,Δ≥xxT}

(27)

式中：Δ≥xxT表示Δ-xxT半正定。

所以RCC可以通過求解式(28)的極大極小問題解決

(28)

(29)

(30)

這是一個(gè)帶有線性矩陣不等式約束和凹目標(biāo)的凸優(yōu)化問題，式(30)的解即為可行集的RCC。另外，由于Q?T，所以RCC本質(zhì)上是式(22)中極大極小問題最優(yōu)解的上界。

(31)

經(jīng)過式(27)～式(30)的松弛和轉(zhuǎn)化過程，最終狀態(tài)可行集的RCC可通過如下過程求得：

(32)

(33)

則k時(shí)刻狀態(tài)可行集的RCC為

α2,kb2,k)

(34)

式中：參數(shù)(α1,k,α2,k) 可通過求解半定規(guī)劃(SDP)問題得到：

(35)

對(duì)于量測(cè)更新中參數(shù)的優(yōu)化,通常從外包橢球的大小考慮，通過最小容積或最小跡準(zhǔn)則來選擇最優(yōu)參數(shù)。這有利于在更新中減小狀態(tài)估計(jì)值的不確定范圍，但并不能顯著減小點(diǎn)估計(jì)的估計(jì)誤差。為進(jìn)一步提高本方法實(shí)際應(yīng)用中的估計(jì)精度，本文提出了一種新的優(yōu)化準(zhǔn)則：

(36)

那么，RCC-OBE算法的具體步驟可以總結(jié)如下：

步驟4令k=k+1，并回到步驟 2。

4 試驗(yàn)與分析

本文試驗(yàn)采用六陀螺方案，將6個(gè)ADXRS300微機(jī)械振動(dòng)陀螺焊接在同一電路板上，并對(duì)周圍電路進(jìn)行了設(shè)計(jì)。通過PXI4070 DMM板卡和PXI6502繼電器板卡建立高精度測(cè)量系統(tǒng)，對(duì)同一軸向進(jìn)行角速度測(cè)量。陀螺陣列系統(tǒng)如圖1所示。

試驗(yàn)中所用陀螺設(shè)定的帶寬為40 Hz，為滿足奈奎斯特定律，以200 Hz的頻率進(jìn)行陀螺輸出數(shù)據(jù)的測(cè)量。試驗(yàn)過程中將陀螺陣列置于安裝在隔離地基上的溫控轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)精度完全能夠滿足MEMS陀螺測(cè)試的要求。

為驗(yàn)證陀螺陣列和融合方法的性能，進(jìn)行了陀螺陣列的搖擺試驗(yàn)。將陀螺陣列上電預(yù)熱10min，然后設(shè)置轉(zhuǎn)臺(tái)參數(shù)使其做幅度為10°，周期為2 s的搖擺運(yùn)動(dòng)，所以陀螺的輸入速率為ω=10π·sin(πt)(°)/s。然后按照以上要求采集10 s的陀螺陣列數(shù)據(jù)，單個(gè)陀螺(以陀螺5為例)的輸出及輸出誤差如圖2所示。

圖1 陀螺陣列系統(tǒng)Fig.1 System of gyro array

得到陀螺陣列的輸出數(shù)據(jù)之后，采用第2節(jié)所述的方法對(duì)陀螺陣列進(jìn)行建模，在此基礎(chǔ)上，利用第3節(jié)推導(dǎo)的RCC-OBE算法對(duì)陣列數(shù)據(jù)進(jìn)行融合。同時(shí)，采用了Kalman濾波和OBE算法作為對(duì)比融合方法。融合輸出及輸出誤差見圖3。

為了定量分析幾種方法的性能，選擇均方根誤差(RMSE)和信噪比(SNR)2項(xiàng)指標(biāo)來衡量其去噪效果。由均方根誤差和信噪比的定義可知，同一信號(hào)去噪處理后，均方根誤差越小，信噪比越大則去噪效果越好。

同時(shí)，為檢驗(yàn)算法的有效性，筆者進(jìn)行了多次試驗(yàn)，不同搖擺幅度(A)和周期(T)下的處理結(jié)果見表1～表3。

從圖2、圖3和表1～表3可以看出，試驗(yàn)中的3種方法均有效提高了MEMS陀螺的精度，這首先驗(yàn)證了陀螺陣列技術(shù)的有效性。

從計(jì)算結(jié)果來看，無論是信噪比還是均方根誤差，RCC-OBE算法融合的效果都優(yōu)于其他2種方法，特別是與同類型的OBE算法相比優(yōu)勢(shì)比較明顯。另外，Kalman濾波等傳統(tǒng)的融合方法只能得到一個(gè)估計(jì)值，而本文所提出的算法不僅可以實(shí)現(xiàn)高精度的點(diǎn)估計(jì)，同時(shí)能夠得到估計(jì)的上邊界值和下邊界值，如圖4所示，圖中虛線和點(diǎn)劃線指的是算法估計(jì)邊界?？梢钥吹?，當(dāng)設(shè)定的噪聲邊界值不小于實(shí)際噪聲邊界時(shí)，陀螺輸出的角速率的估計(jì)值也在一個(gè)硬邊界內(nèi)，這對(duì)于載體的姿態(tài)控制和制導(dǎo)都具有重要的意義。

圖2 單個(gè)陀螺的輸出及輸出誤差Fig.2 Output and output error of single gyro

圖3 陀螺陣列的融合輸出及輸出誤差Fig.3 Fusion output and output error of gyro array

指 標(biāo)單個(gè)陀螺Kalman濾波OBERCC-OBESNR/dB31.903442.008740.953443.6904RMSE/((°)·s-1)0.56420.17630.19910.1453

表2 A=10°，T=4 s 條件下處理結(jié)果

表3 A=20°，T=2 s 條件下處理結(jié)果

圖4 算法的邊界估計(jì)結(jié)果Fig.4 Estimated bounds by different algorithms

同時(shí)，需要指出的是，在邊界估計(jì)方面，RCC-OBE與OBE相比并無優(yōu)勢(shì)，這是由它們的優(yōu)化準(zhǔn)則決定的。RCC-OBE的主要特點(diǎn)是在保證邊界估計(jì)的基礎(chǔ)上提高點(diǎn)估計(jì)性能。

5 結(jié) 論

為降低MEMS陀螺的輸出噪聲，本文提出了一種基于RCC-OBE算法的陀螺陣列信號(hào)融合方法：

1) 在對(duì)陀螺陣列系統(tǒng)進(jìn)行靜態(tài)和動(dòng)態(tài)建模的基礎(chǔ)上，引入橢球定界算法對(duì)陀螺陣列信號(hào)進(jìn)行融合。

2) 以O(shè)BE算法為代表的集員估計(jì)方法的優(yōu)勢(shì)是可以得到包含真實(shí)值的狀態(tài)可行集，從而實(shí)現(xiàn)狀態(tài)的保證邊界估計(jì)，但是試驗(yàn)表明其在點(diǎn)估計(jì)方面表現(xiàn)偏弱。因此本文利用松弛的Chebyshev中心來改善估計(jì)精度，提出RCC-OBE算法，在保持集員估計(jì)優(yōu)勢(shì)，得到保證邊界的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高了點(diǎn)估計(jì)方面的性能。

3) 將6個(gè)MEMS陀螺芯片焊接在同一PCB板上，并設(shè)計(jì)了周圍電路和測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行陀螺陣列的融合試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果表明，該建模方法和融合方法能夠有效地提高M(jìn)EMS陀螺的使用精度。

另外，集員估計(jì)方法的特點(diǎn)決定了其具有檢測(cè)傳感器故障的能力，這一點(diǎn)筆者將在下一步的工作中深入研究。