楊鑫 李子軒 張振軍

摘 要：齒輪傳動是動力學(xué)研究領(lǐng)域中的重要組成部分，同時也被運用于各種機械設(shè)備中，系統(tǒng)的使用精度由于齒輪的廣泛應(yīng)用而大幅提升。齒輪傳動系統(tǒng)的主要特點是系統(tǒng)高轉(zhuǎn)速、建模難度大和求精確解困難。當(dāng)今精密機械設(shè)備以及高精尖儀器等均對齒輪的精度提出了更嚴(yán)苛的需求，這對齒輪非線性動力學(xué)的研究提出了更深入的要求。

關(guān)鍵詞：非線性動力學(xué)；非線性方法；齒輪傳動系統(tǒng)

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.20.013

設(shè)備中極為關(guān)鍵的齒輪的傳動系統(tǒng)應(yīng)用的十分廣泛，其高轉(zhuǎn)速下的振動問題、內(nèi)部結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和各種非線性的因素存在，不僅給齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)分析更給設(shè)計帶來了極大的困難。齒輪傳動系統(tǒng)的主要特點是系統(tǒng)高轉(zhuǎn)速、建模難度大和求精確解困難。在齒輪的傳動系統(tǒng)動力學(xué)研究中，系統(tǒng)輸入、系統(tǒng)模型、系統(tǒng)輸出這3方面為主要研究過程[1]。本文根據(jù)近年來相關(guān)的研究情況，對于非線性動力學(xué)的研究現(xiàn)狀和成果進行概述。并提出未來相關(guān)研究的熱點和方向，在宏觀上為齒輪非線性系統(tǒng)的動力學(xué)分析提供了今后研究的重點。

1 齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)的發(fā)展

加工齒輪的時候，存在一些變化因素，比如裝配以及齒合剛度等，齒輪會存在震動等一些有害的變化，從而給傳動系統(tǒng)精度造成較大的影響[2]。現(xiàn)在對于齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)的相關(guān)研究已經(jīng)從之前的線性轉(zhuǎn)變成為了非線性，齒輪傳動系統(tǒng)的升級也給社會更好的發(fā)展做出了自己的貢獻。在考慮間隙為非線性時非線性問題可劃分為兩種模型：非線性時不變模型沒有考慮到嚙合剛度的時變性，而非線性時變模型考慮到了該時變性，因此可以把齒輪系統(tǒng)當(dāng)作非線性的參數(shù)振動問題從而進行研究。近30年來，融匯了許多先進的理論學(xué)說、研究方法的非線性動力學(xué)的高速發(fā)展并且不斷優(yōu)化齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)分析思路，將線性方法無法解決的分岔、跳躍、極限環(huán)、混沌等現(xiàn)象進行科學(xué)合理的解釋和處理[3]。

2 齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)的研究現(xiàn)狀

至今，有關(guān)齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)研究主要有以下3種方法：近似解析法、數(shù)值法和實驗法，現(xiàn)將部分學(xué)者近期具有代表性的研究成果列舉如下。

2.1 解析法

傳統(tǒng)的齒輪動力學(xué)模型存在時變嚙合剛度和間隙等因素，一般的攝動法和平均法對這類系統(tǒng)進行最優(yōu)求解束手無策。20世紀(jì)末，諧波平衡法和結(jié)合了分段技術(shù)的多尺度法的發(fā)展對分析這類響應(yīng)問題取得了一定進展。

2.1.1 增量諧波平衡法（IHB）

IHB克服了系統(tǒng)精度受制于諧波項數(shù)量的弊端，對于傳統(tǒng)非線性系統(tǒng)可以便捷地求出任意階數(shù)的近似解。

楊紹普等[4]利用IHB，計算出了直齒輪副的非線性模型的統(tǒng)一形式解，同時研究了外激勵幅值和系統(tǒng)的分岔特性對幅頻曲線的影響。Andersson等人建立了關(guān)于斜齒輪動力學(xué)的新模型，這一模型能更精確地研究斜齒輪所受動載荷，模型分析與實驗結(jié)果更加吻合。目前改進的增量諧波平衡法也普遍被學(xué)者接受。

2.1.2 基于分段技術(shù)的解析法

把齒輪非線性系統(tǒng)依據(jù)不同區(qū)間的分塊，保證任意區(qū)間都形成時變線性系統(tǒng)進而求解的方法稱為分段技術(shù)。

王雷構(gòu)建出一組動力學(xué)微分方程組，可以解決在考慮時變剛度和慣量下非圓齒輪扭轉(zhuǎn)振動問題，隨后提出了可以通過采用方程的解析解去逐段線性近似求解的方法來代替數(shù)值的解法。Natsiavas等人采用分段技術(shù)并根據(jù)初始條件利用多尺度法確定了由橫截條件得到穩(wěn)態(tài)振幅和相位的二階近似解。在對數(shù)值仿真的過程中發(fā)現(xiàn)這兩個系統(tǒng)內(nèi)均出現(xiàn)間歇混沌、邊界激變和周期二、三倍化現(xiàn)象等眾多復(fù)雜行為。

2.2 數(shù)值法

歸為強非線性系統(tǒng)的齒輪系統(tǒng)具有時變剛度和間隙等不利因素難以分析，在研究這類問題時數(shù)值法是一個很好的工具。

陳會濤等人運用Lagrange方程、齒輪動力學(xué)理論和數(shù)值仿真的技術(shù)研究了載荷和齒輪副間動態(tài)嚙合力和參數(shù)隨機變化時系統(tǒng)各響應(yīng)量的統(tǒng)計特征。Padmanabhan優(yōu)化了一種數(shù)值方法，稱作參數(shù)連續(xù)技術(shù)（Parametric Continuation Technique），利用這一技術(shù)以得到任意參數(shù)的諧波解?；贒uffing系統(tǒng)他采用該方法求解到了高階共振，通常方法不能對該情況研究，并進一步對齒輪系統(tǒng)建立單自由度的動力學(xué)這一更為復(fù)雜的模型。

2.3 實驗法

實驗法一般用于驗證理論的研究是否正確、修正理論分析的模型，其目的是使齒輪系統(tǒng)動態(tài)分析和設(shè)計的過程更為有效。

韓志武等人以工程仿生學(xué)為基礎(chǔ)進行了有限元理論分析，采用激光雕刻技術(shù)加工齒面使之到仿生表面形態(tài)，并進行了實際的臺架試驗。Kahraman利用設(shè)計的齒輪實驗臺觀察到了數(shù)種非線性現(xiàn)象，同時對變化的物理參數(shù)進行研究，如運動的系統(tǒng)各異的接觸比和加載變化力矩所造成的影響，并借此試驗臺觀察到了周期倍化時通向混沌現(xiàn)象的途徑。

3 齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)的研究展望

非線性動力學(xué)不斷深入的研究，以下4個方面將成為齒輪動力學(xué)研究的熱點問題：

（1）齒輪動態(tài)性能的全面分析。利用實驗分析技術(shù)和有限元分析法來優(yōu)化設(shè)計結(jié)構(gòu)和建模，從而對系統(tǒng)本身的動力性能進行比較有效的評估。（2）齒輪系統(tǒng)振動的控制研究。利用對振動機理進行比較深入的研究，努力的減弱運行過程中的噪聲和振動，能夠有效避免一些故障的出現(xiàn)，從而讓齒輪系統(tǒng)工作的壽命更長。（3）齒輪系統(tǒng)故障診斷的問題。將其和非線性動力學(xué)理論結(jié)合在一起，對已經(jīng)出現(xiàn)故障的齒輪系統(tǒng)進行研究，能夠給故障判斷技術(shù)更好的發(fā)展提供一定的指導(dǎo)，這項技術(shù)在理論研究以及工程應(yīng)用上面都有著重要作用。（4）齒輪系統(tǒng)有關(guān)可靠性的問題?？山⑤S承系統(tǒng)、齒輪傳動系統(tǒng)，在可靠性計算模型的基礎(chǔ)上開展可靠性研究。確定復(fù)雜零件受力概率分布的函數(shù)、建立考慮系統(tǒng)重復(fù)載荷和強度退化的可靠性模型等都是可靠性分析待解決的問題。

參考文獻：

[1]王建軍，李其漢，李潤方.齒輪系統(tǒng)非線性振動研究進展[J].力學(xué)進展，2005，35（01）：37-51.

[2]李潤方，王建軍.齒輪系統(tǒng)動力學(xué)――振動、沖擊與噪聲[M].北京：科學(xué)出版社，1997.

[3]譚秀峰，張國偉等.齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)研究與展望綜述[J].機電工程，2014，31（05）：559-562.

[4]申永軍，楊紹普，潘存治等.參外聯(lián)合激勵下直齒輪副的非線性動力學(xué)[J].北京交通大學(xué)學(xué)報，2005，29（01）：69-73.

資助項目：西安石油大學(xué)2016年大學(xué)生科研訓(xùn)練項目