（河南理工大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，焦作 454000）

0 引言

滾動軸承是機械設(shè)備傳動系統(tǒng)的關(guān)鍵部件，其性能的好壞決定著設(shè)備的工作性能的優(yōu)劣。隨著機械設(shè)備的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，工作要求也越來越精細，一旦關(guān)鍵部件發(fā)生故障，可能破壞整個設(shè)備甚至造成人身安全事故[1]。因此，對機械設(shè)備的關(guān)鍵部件剩余壽命的預(yù)測可以及時制定維修計劃，可以保障設(shè)備工作性能和避免惡性事故發(fā)生，提高經(jīng)濟效益。

傳統(tǒng)的機械設(shè)備的剩余壽命預(yù)測有基于模型的方法、概率統(tǒng)計的方法和數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法。基于模型的方法具有深入對象本質(zhì)的特點，能夠跟蹤系統(tǒng)的變化趨勢。但工程上復(fù)雜的動態(tài)系統(tǒng)難以建立精確的數(shù)學(xué)模型，適用范圍小，成本高[2]。基于概率統(tǒng)計的預(yù)測方法是依據(jù)系統(tǒng)的歷史數(shù)據(jù)建立各參數(shù)變化與故障損失模型的概率模型和知識庫，設(shè)備當(dāng)前多參數(shù)概率狀態(tài)空間與建立的概率模型比較進行壽命預(yù)測，該方法需要大量歷史數(shù)據(jù)。對于復(fù)雜高精度設(shè)備缺少歷史數(shù)據(jù)[3]。

基于數(shù)據(jù)的方法完全從工程現(xiàn)場數(shù)據(jù)出發(fā)，挖掘采集信號的隱含信息，具有廣泛的應(yīng)用價值。該方法應(yīng)用范圍廣、成本較低,是故障診斷的和預(yù)測領(lǐng)域的研究熱點和趨勢[4～6]。

但數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法存在數(shù)據(jù)不足的缺陷[7]，且在不同工況環(huán)境下設(shè)備的失效機理會改變，直接預(yù)測表征對象系統(tǒng)退化程度的健康因子[8]值會有差異。

軸承的剩余壽命預(yù)測是基于其劣化趨勢的預(yù)測，對表征軸承健康狀態(tài)的特征指標(biāo)變化趨勢的預(yù)測是軸承壽命預(yù)測的前提。近幾年，國內(nèi)外學(xué)者對基于數(shù)據(jù)驅(qū)動軸承的趨勢方法進行了大量的研究，提出了能量熵[9,10]表征軸承退化過程預(yù)測，基于數(shù)據(jù)的預(yù)測方法包括灰色預(yù)測[11]、隱馬爾科夫模型、機器學(xué)習(xí)[12]（支持向量機/神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)/極限學(xué)習(xí)機[13]）等。本文構(gòu)建了以基于變分模態(tài)分解的譜熵特征作為描述軸承性能的健康指標(biāo)，具有良好的魯棒性。針對健康指標(biāo)的非平穩(wěn)特征，挖掘了數(shù)據(jù)樣本的深層次隱含信息，提取了時間序列的趨勢項，提出了將變分模態(tài)分解和極限學(xué)習(xí)機結(jié)合的預(yù)測模型，并用實例驗證有良好的預(yù)測效果。

1 ELM和VMD基本原理

1.1 ELM模型

極限學(xué)習(xí)機是黃廣斌依據(jù)廣義逆矩陣?yán)碚撎岢龅囊活愋阅軆?yōu)良的新型單隱含層前向型網(wǎng)絡(luò)[14]。與傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，僅通過一步計算即可解析出網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)值，極大提高了網(wǎng)絡(luò)的泛化能力和學(xué)習(xí)速度，具有較強的非線性擬合能力，計算量和收索空間大大降低。L個隱含層節(jié)點的單隱含層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Single-hidden Layer Feedforward Neural Network，SLFN）回歸模型可表示為：

式中：wi∈Rn和bi∈R為SLFN隱含層中的參數(shù)，βi∈Rm為連接第i個隱含層節(jié)點和輸出層節(jié)點的權(quán)值。G（wi, bi, x）表示第i個隱含層節(jié)點關(guān)于輸入x的輸出，當(dāng)隱含層為加性隱節(jié)點時，則：

式中：wi為連接輸入層和隱含層第i個節(jié)點的權(quán)值，bi為隱含層第i個節(jié)點的偏差，g(.)為激活函數(shù)。

將式(3)寫成矩陣形式：

式(4)中：

H為極限學(xué)習(xí)機的隱含層輸出矩陣；Y為期望輸出向量。

ELM模型對參數(shù)和采用隨機賦值方式，βi通過訓(xùn)練樣本集{(xi,yi)}Ni=1可得：

式中：H?表示H的摩爾-彭洛斯（Moore-Penrose）廣義逆。假設(shè)HTH為非奇異矩陣，則H?=(HTH)-HT，β*=(HTH)-1HTY。

ELM算法簡單，只需要確定隱含層節(jié)點數(shù)和激活函數(shù)，隨機設(shè)置輸入層和隱含層連接權(quán)值w和隱含層的閾值b，便可按式(5)求出輸出權(quán)值βi。

1.2 VMD模型

1.2.1 VMD原理

在VMD算法中，本征模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function，IMF）被重新定義為一個調(diào)幅-調(diào)頻信號，VMD算法的目標(biāo)是通過構(gòu)造并求解約束變分問題將原始信號分解為指定個數(shù)的IMF分量[15]。假定欲將一個信號f分解為k個IMF分量，相應(yīng)的變分問題構(gòu)造過程可概述如下：

1）對于每一個IMF分量μk(t)，通過Hilbert變換得到其解析信號，得到單邊頻譜：

2）對各模態(tài)解信號混合一預(yù)估中心頻率e-jωkt，將每模態(tài)的頻譜調(diào)制到相應(yīng)的基頻帶：

3）計算以上解調(diào)信號梯度的平方L2范數(shù)，計出各模態(tài)信號帶寬，約束的變分問題如下：

其中：μk=(μ1,…,μk),代表分解得到的k個IMF分量；表示各分量的中心頻率。

1.2.2 VMD模型求解

1）引入拉格朗日乘法算子λ(t)和二次懲罰因子α，將約束性變分問題變成為非約束變分問題。增廣的拉格朗日表達式如下式：

2）將式(14)從時域變換到頻域，并進行相應(yīng)的極值求解得到模態(tài)分量μk和。

然后，利用乘法算子交替方向法求約束變分模型的最優(yōu)解，將原始信號分解為K個模態(tài)分量。VMD算法的實現(xiàn)步驟如下：

3）更新 ：

2 VMD-ELM模型預(yù)測流程

2.1 狀態(tài)特征提取

對原始信號進行VMD分解，獲得不同尺度的信號分量di(i=1，2，…，n)，計算各尺度下能量值En，可得由此引入VMD形態(tài)分解能譜熵定義：

計算軸承變分模態(tài)能譜熵HMMES組成健康指標(biāo)時間序列：

式中：HMMES(k)是第k組樣本的VMD能譜熵。

2.2 VMD-ELM模型預(yù)測流程

軸承預(yù)測建模過程如下：

1）對軸承振動信號處理，求解原始振動信號變分模態(tài)譜熵，構(gòu)建軸承健康指標(biāo)時間序列。

2）采用VMD算法對軸承歷史健康狀態(tài)指標(biāo)（VMD能譜熵）連續(xù)時間序列分解，得到健康指標(biāo)時間序列的各模態(tài)分量IMF。

3）計算每個IMF相對于原始數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，選擇滿足相關(guān)系數(shù)最大的IMF分量作為時間序列的趨勢項建模預(yù)測。相關(guān)系數(shù)公式如下：

其中，HkMMES(i)為第k個IMF分量i點。

4）初始化ELM模型參數(shù)，對選擇后模態(tài)分量預(yù)測趨勢。預(yù)測模型流程圖如圖1所示。

3 實例驗證

圖1 VMD-ELM模型預(yù)測流程圖

為驗證本文所提方法在預(yù)測軸承劣化過程的有效性，數(shù)據(jù)采用了IEEE PHM 2012 Prognostic Challenge中的Bearing1-1全壽命數(shù)據(jù)集合。主軸轉(zhuǎn)速為1400r/min，外加載荷為4.0kN。軸承啟動運行直到振動信號幅值超過20g，停機實驗，認為壽命結(jié)束。軸承的采樣頻率為25.6kHz，采樣間隔時間10s，獲得全壽命周期振動信號，數(shù)據(jù)長度為2560，共2188組。根據(jù)實驗分析，從第813組數(shù)據(jù)對應(yīng)時刻起，軸承進入劣化階段，所以選取第813組到2188組數(shù)據(jù)作為研究對象，共1376組數(shù)據(jù)。提取出原始振動信號的變分模態(tài)譜熵HMMES，組成表征軸承狀態(tài)變化趨勢的時間序列。ELM對前488組時間序列點擬合，訓(xùn)練樣本為{(ti, HMMES(i))}488i=1，求出ELM模型的參數(shù)，建立預(yù)測模型，其中ti=i。當(dāng)健康指標(biāo)達到設(shè)定閾值0.55時，計算預(yù)測步數(shù)n或達到軸承實際壽命步數(shù)時，停止運算并輸出相應(yīng)的健康指標(biāo)數(shù)。對每組振動信號進行VMD分解，參數(shù)K=7，激勵函數(shù)類型為sigmoid。

3.1 預(yù)測步驟

變分模態(tài)譜熵的VMD-ELM模型預(yù)測步驟如下：

1）等時間間隔采集待測軸承的原始振動信號，時間間隔為t=10s。

2）對每次采樣的原始振動信號進行VMD分解，獲得不同尺度的信號分量μk=(μ1,…, μk)，并計算各尺度下能量值E=[E1,E2,…,Ek]。按式(13)計算變分模態(tài)能譜熵HMMES組成健康指標(biāo)時間序列

3）對歷史數(shù)據(jù)健康指標(biāo)序列VMD分解，得到健康指數(shù)時間序列的低頻趨勢項[16]，分解結(jié)果如圖2所示。

4）采用相關(guān)系數(shù)法對IMF進行篩選，不滿足相關(guān)系數(shù)要求的剔除。

5）以選擇后的歷史健康指標(biāo)序列趨勢項訓(xùn)練樣本訓(xùn)練預(yù)測模型ELM，并預(yù)測趨勢項時間序列。

圖2 健康指標(biāo)時間序列的模態(tài)分量圖

3.2 預(yù)測結(jié)果

采用ELM和VMD-ELM模型預(yù)測結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3 ELM模型預(yù)測結(jié)果

圖 4 VMD-ELM模型預(yù)測結(jié)果

ELM預(yù)測模型直接以原始健康指標(biāo)時間序列作為訓(xùn)練樣本，無法較好地預(yù)測軸承的劣化逐漸加速趨勢。壽命結(jié)束時，ELM模型的預(yù)測閾值為0.65，無法準(zhǔn)確預(yù)測該時刻的軸承健康指數(shù)。

表1 VMD-ELM預(yù)測結(jié)果

4 結(jié)論

1）基于變分模態(tài)分解的能譜熵能有效的表征軸承劣化趨勢，可以作為表征軸承狀態(tài)的健康因子。

2）表征軸承狀態(tài)的健康因子的時間序列，其激勵源包含了劣化過程的趨勢項和高頻的周期項。對非線性復(fù)雜時間序列的變分模態(tài)分解能有效地提取趨勢項，實例表明VMD-ELM模型對軸承的健康指數(shù)趨勢預(yù)測，有效果地預(yù)測了軸承的剩余壽命。