胡獻(xiàn)國,郭夢甜,呂家鳳

(浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 浙江 金華 321004)

0 引 言

Poisson代數(shù)的概念起源于Poisson幾何, 可簡單看作交換代數(shù)與Lie代數(shù)的結(jié)合. 近年來，隨著Poisson代數(shù)的廣泛應(yīng)用, 得到了多種Poisson代數(shù)的推廣形式[1-4]. 特別地, DRINFEL’D[5]定義了Poisson Hopf代數(shù)，詳細(xì)研究了這類代數(shù)在Poisson-Lie群上的應(yīng)用. 此外, 呂家鳳等[6]給出了Poisson Hopf代數(shù)及其泛包絡(luò)代數(shù)的基本性質(zhì). 微分分次代數(shù)起源于代數(shù)拓?fù)渑c表示理論, 在交換代數(shù)與非交換代數(shù)領(lǐng)域有重要作用[7-8]. 作為其推廣, LYU等[9]引入了微分分次Poisson代數(shù), 研究了這類代數(shù)的張量積及相關(guān)性質(zhì)和應(yīng)用. 受此啟發(fā), 本文嘗試將Poisson Hopf代數(shù)的概念推廣到微分分次的情形, 定義了p次微分分次Poisson Hopf代數(shù), 并推廣了文獻(xiàn)[9]的相關(guān)結(jié)果： 證明了任意2個p次微分分次Poisson Hopf代數(shù)的張量積仍為p次微分分次Poisson Hopf代數(shù); 證明了p次微分分次Poisson Hopf代數(shù)構(gòu)成的范疇dg-PHA是對稱monoidal范疇.

本文的主要結(jié)果如下：

定理1(1) 設(shè)(A,uA,ηA,ΔA,εA,SA,{·,·}A,dA)和(B,uB,ηB,ΔB,εB,SB,{·,·}B,dB)是任意2個p次微分分次Poisson Hopf代數(shù)，則

(A?B,u,η,Δ,ε,S,{·,·},d)

也是p次微分分次Poisson Hopf代數(shù).相關(guān)運算定義為：

S(a?b)∶=SA(a)?SB(b),

η(1k)∶=1A?1B,ε(a?b)∶=εA(a)εB(b),

u((a?b)?(a′?b′))∶=(-1)|a′||b|aa′?bb′,

Δ(a?b)∶=(-1)|a(2)||b(1)|a(1)?b(1)?a(2)?b(2),

d(a?b)∶=dA(a)?b+(-1)|a|a?dB(b),

其中,uA(a?a′)∶=aa′,uB(b?b′)∶=bb′,

ΔA(a)∶=a(1)?a(2), ΔB(b)∶=b(1)?b(2), ||表示齊次元的次數(shù),a,a′∈A,b,b′∈B為齊次元.

(2) 記dg-PHA為p次微分分次Poisson Hopf代數(shù)構(gòu)成的范疇, 則dg-PHA是對稱monoidal范疇, 其左單位元與右單位元均為基礎(chǔ)域k.

(3) 設(shè)Aop與Bop分別為A與B的p次微分分次Poisson Hopf反代數(shù). 則

(A?B)op=Aop?Bop.

1 p次微分分次Poisson Hopf代數(shù)

首先，回顧一些后面要用到的概念.

如無特別說明, 文中所有代數(shù)均含有單位元1,k表示特征為0的基域, 所涉及的對象都是域k上的向量空間, 所涉及的分次均為Z-分次. 對任給的分次向量空間V與W, 扭轉(zhuǎn)映射是指

T：V?W→W?V∶T(v?w)=(-1)|v||w|w?v,

其中，v∈V,w∈W.

文中的分次代數(shù)A為Z-非負(fù)分次代數(shù)(A,u,η), 其中A=⊕n≥0An滿足A0=k,u∶A?A→A與η∶k→A分別被稱為A的乘法與單位. 方便起見, 記u(a?b)為ab, ?a,b∈A. 而微分分次代數(shù)是指具有次數(shù)是1的微分d：A→A分次代數(shù), 并且其是一個分次導(dǎo)子.

定義1設(shè)(A,·)是分次k-代數(shù). 若存在k-齊次線性映射：

{·,·}∶A?A→A, |{·,·}|=p,

對于任意的齊次元a,b,c∈A, 滿足

(i) (A,{·,·})是p次分次Lie代數(shù), 即

(ia) {a,b}=-(-1)(|a|+p)(|b|+p){b,a},

(ib) {a,{b,c}}={{a,b},c}+

(-1)(|a|+p)(|b|+p){b,{a,c}}，

(ii) 分次交換性：a·b=(-1)|a||b|b·a,

(iii) 雙導(dǎo)子性質(zhì)： {a,b·c}={a,b}·c+

(-1)(|a|+p)|b|b·{a,c}，

則稱(A,·,{·,·})為p次分次Poisson代數(shù)[10]. 若在此基礎(chǔ)上, 存在1次k-線性映射d：A→A, 滿足d2=0與

(iv)d({a,b})={d(a),b}+(-1)(|a|+p){a,d(b)},

(v)d(a·b)=d(a)·b+(-1)|a|a·d(b),

其中a,b∈A為齊次元, 則稱A為p次微分分次Poisson代數(shù), 可表示為(A,·,{·,·},d). 在不引起混淆的情況下, 可表示為(A,{·,·},d)或A.

文中的分次余代數(shù)(C,Δ,ε)為非負(fù)分次向量空間C, 具有次數(shù)為0的k-齊次線性映射

Δ∶C→C?C與ε∶C→k,

使得通常的圖表可交換[11-12]. 注意到

k?C?C?C?k

是明顯同構(gòu)的, 因此，非負(fù)分次向量空間C是分次余代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)(C,Δ,ε)滿足：

(Δ?I)Δ=(I?Δ)Δ,

(ε?I)Δ=I=(I?ε)Δ,

其中，I∶C→C恒等同態(tài), Δ與ε分別稱為C的余乘法與余單位. 在不引起混淆的情況下, 可將(C,Δ,ε)記為C.

對于任給的c∈C, 參照文獻(xiàn)[12]中的記號, 記Δ(c)∶=∑(c)c(1)?c(2). 在使用過程中, 求和符號經(jīng)常省略，因此, 對任給的齊次元c∈C, 余乘法與余單位可分別表示為

(Δ?I)Δ(c)=(I?Δ)Δ(c)=c(1)?c(2)?c(3)

與

c=ε(c(1))c(2)=c(1)ε(c(2)).

設(shè)(C,ΔC,εC)與(D,ΔD,εD)是2個分次余代數(shù), 如果f滿足條件：

(f?f)°ΔC=ΔD°f,εD°f=εC,

則稱次數(shù)為0的分次線性映射f∶C→D為分次余代數(shù)同態(tài).

定義2設(shè)H是分次k-向量空間. 若存在1次k-線性映射d：H→H, 滿足d2=0與

(i) (H,Δ,ε,d)是微分分次余代數(shù), 即

(ia) (H,Δ,ε)是分次余代數(shù),

(ib)d是次數(shù)為1的分次余導(dǎo)子，即有εd=0 與 Δd=(d?I+T(d?I)T)Δ，

(ii) (H,u,η,d)是微分分次代數(shù),

(iii) Δ與ε是分次代數(shù)同態(tài)，

則稱H為微分分次雙代數(shù). 若在此基礎(chǔ)上, 存在次數(shù)為0的齊次線性映射S∶H→H, 滿足

u(I?S)Δ=u(S?I)Δ=ηε，

則稱(H,u,η,Δ,ε,S,d)為微分分次Hopf代數(shù)[13], 并稱S為H的對極.

注記1在定義2的(ib)中, 若使用文獻(xiàn)[12]中的記號, 對任給的齊次元x∈H, 則有

Δ(d(x))=d(x(1))?x(2)+(-1)|x(1)|x(1)?d(x(2)).

設(shè)(C,ΔC,εC)與(D,ΔD,εD)是2個分次雙代數(shù), 若f既是分次代數(shù)同態(tài), 又是分次余代數(shù)同態(tài)，則稱次數(shù)為0的分次線性映射f：C→D為分次雙代數(shù)同態(tài) . 更進(jìn)一步, 若(C,SC)與(D,SD)都是分次Hopf代數(shù)，則易證f為分次Hopf代數(shù)同態(tài), 即SD°f=f°SC( 參見文獻(xiàn)[12] 引理4.0.4).

定義3設(shè)A是分次k-向量空間. 若存在k-齊次線性映射：

{·,·}∶A?A→A, |{·,·}|=p;

d∶A→A, |d|=1,

滿足d2=0與

(i) (A,u,η,{·,·},d)是p次微分分次Poisson代數(shù),

(ii) (A,u,η,Δ,ε,d)是微分分次雙代數(shù),

(iii) Δ({a,b}A)={Δ(a),Δ(b)}A?A, ?a,b∈A，

其中{·,·}A?A定義為

(-1)(|a′|+p)|b|(ab?{a′,b′}),

a,b,a′,b′∈A為齊次元，

則稱(A,u,η,Δ,ε,{·,·},d)為p次微分分次Poisson雙代數(shù). 若在此基礎(chǔ)上, 存在次數(shù)為0的k-齊次線性映射S∶A→A, 滿足

u(I?S)Δ=u(S?I)Δ=ηε，

則稱A為p次微分分次Poisson Hopf代數(shù),表示為(A,u,η,Δ,ε,S,{·,·},d).

定義4設(shè)A與B是任意2個p次微分分次Poisson Hopf代數(shù), 若對任給的齊次元a,b∈A, 有fdA=dBf,f({a,b}A)={f(a),f(b)}B，則稱次數(shù)為0的分次雙代數(shù)同態(tài)f∶A→B為微分分次Poisson Hopf代數(shù)同態(tài). 進(jìn)一步, 若微分分次Poisson Hopf代數(shù)同態(tài)f∶A→B是雙射的, 則稱作為微分分次Poisson Hopf代數(shù)的A與B是同構(gòu)的, 記為A?B.

記dg-PHA為p次微分分次Poisson Hopf代數(shù)構(gòu)成的范疇, 其中的態(tài)射為微分分次Poisson Hopf代數(shù)同態(tài).

下面給出具體的例子.

例1設(shè)(A,u,η,Δ,ε,S,{·,·},d)為任給的p次微分分次Poisson Hopf代數(shù). 那么

(Aop,uop,η,Δop,ε,S,{·,·}op,d)

也為p次微分分次Poisson Hopf代數(shù), 其中，

uop(a?b)=(-1)|a||b|b·a=a·b=u(a?b),

{a,b}op=(-1)(|a|+p)(|b|+p){b,a}=-{a,b},

Δop=TΔ,

a,b∈A為齊次元,T∶A?A→A?A為扭轉(zhuǎn)映射, 即T(a?b)=(-1)|a||b|b?a.

d(x)=y,d(y)=0,

且{x,y}=-{y,x}=y2, {x,x}={y,y}=0. 定義分次Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)如下：

Δ(x)=x?1+1?x, Δ(y)=y?1+1?y,

ε(x)=0,ε(y)=0,S(x)=-x,S(y)=-y.

注意到在A中有y2=0. 易證A是1次微分分次Poisson Hopf代數(shù).

2 定理1的證明

簡單起見, 在不引起混淆的情況下, 下文中常省去下標(biāo). 所取的元素都是對應(yīng)代數(shù)中的齊次元.

根據(jù)定義3, 定理1的證明可以分解成以下幾個引理.

引理1由定理1中的定義, 有(A?B,Δ,ε)為分次余代數(shù).

證明因為(A,Δ,ε)是分次余代數(shù), 由分次余代數(shù)的定義, 有

a(11)?a(12)?a(2)=a(1)?a(21)?a(22),

ε(a(1))a(2)=a=a(1)ε(a(2)).

對分次余代數(shù)(B,Δ,ε), 有類似的等式成立. 從而

(Δ?I)Δ(a?b)=

(Δ?I)((-1)|a(2)||b(1)|a(1)?b(1)?a(2)?b(2))=

(-1)|a(2)|(|b(11)|+|b(12)|)+|a(12)||b(11)|a(11)?b(11)?

a(12)?b(12)?a(2)?b(2)=

(-1)|a(2)||b(1)|+|a(3)||b(1)|+|a(3)||b(2)|a(1)?b(1)?

a(2)?b(2)?a(3)?b(3),

(I?Δ)Δ(a?b)=

(I?Δ)((-1)|a(2)||b(1)|a(1)?b(1)?a(2)?b(2))=

(-1)(|a(21)|+|a(22)|)|b(1)|+|a(22)||b(21)|a(1)?b(1)?

a(21)?b(21)?a(22)?b(22)=

(-1)|a(2)||b(1)|+|a(3)||b(1)|+|a(3)||b(2)|a(1)?b(1)?

a(2)?b(2)?a(3)?b(3),

(I?ε)Δ(a?b)=

(I?ε)((-1)|a(2)||b(1)|a(1)?b(1)?a(2)?b(2))=

(-1)|a(2)||b(1)|(a(1)?b(1))·ε(a(2))ε(b(2))=

(-1)|a(2)||b(1)|a(1)ε(a(2))?b(1)ε(b(2))

與

(ε?I)Δ(a?b)=

(ε?I)((-1)|a(2)||b(1)|a(1)?b(1)?a(2)?b(2))=

(-1)|a(2)||b(1)|ε(a(1))ε(b(1))·(a(2)?b(2))=

(-1)|a(2)||b(1)|ε(a(1))a(2)?ε(b(1))b(2).

進(jìn)而有

(Δ?IA?B)Δ=(IA?B?Δ)Δ.

注意到εA與εB均為次數(shù)為0的齊次線性映射, 且k為次數(shù)聚集在0處的分次向量空間, 所以對任意i>0, 有εA(Ai)=0與εB(Bi)=0, 其中A=⊕i≥0Ai，B=⊕i≥0Bi. 同理可得, Δ(An)?⊕i+j=nAi?Aj, 其中n≥0. 因此, 只有在a(2)∈A0時, 才有εA(a(2))≠0, 此時(-1)|a(2)||b(1)|=1. 故

(I?ε)Δ(a?b)=(-1)|a(2)||b(1)|a(1)ε(a(2))?

b(1)ε(b(2))=a(1)ε(a(2))?b(1)ε(b(2))=a?b.

類似地, 有 (ε?I)Δ(a?b)=a?b.

由此可得, (A?B,Δ,ε)為分次余代數(shù).

引理2由定理1中的定義, 有εd=0, 且

Δd=(d?IA?B+T(d?IA?B)T)Δ.

證明注意到εAdA=0與εBdB=0. 因此

εd(a?b)=ε(d(a)?b+(-1)|a|a?d(b))=

εd(a)ε(b)+(-1)|a|ε(a)εd(b)=0.

下面證明Δ與微分的交換性. 根據(jù)Δ與d的結(jié)構(gòu), 可得

Δd(a?b)=Δ(d(a)?b+(-1)|a|a?d(b))=

(-1)|d(a)(2)||b(1)|d(a)(1)?b(1)?d(a)(2)?b(2)+

(-1)|a(1)|+|a(2)|+|a(2)||d(b)(1)|a(1)?d(b)(1)?a(2)?

d(b)(2)=(-1)|a(2)||b(1)|+|a(1)|+|b(1)|a(1)?b(1)?

d(a(2))?b(2)+(-1)|a(2)||b(1)|d(a(1))?b(1)?

a(2)?b(2)+(-1)|a(1)|+|a(2)||b(1)|a(1)?d(b(1))?

a(2)?b(2)+(-1)|a(1)|+|a(2)|+|b(1)|+|a(2)||b(1)|a(1)?b(1)?

a(2)?d(b(2))，

(d?I+T(d?I)T)Δ(a?b)=(d?I+T(d?

I)T)((-1)|a(2)||b(1)|a(1)?b(1)?a(2)?b(2))=

(-1)|a(2)||b(1)|d(a(1)?b(1))?a(2)?b(2)+

(-1)|a(2)||b(1)|+|a(1)?b(1)|a(1)?b(1)?d(a(2)?b(2))=

(-1)|a(2)||b(1)|[(d(a(1))?b(1)+(-1)|a(1)|a(1)?

d(b(1)))?a(2)?b(2)+(-1)|a(1)|+|b(1)|a(1)?

b(1)?(d(a(2))?b(2)+(-1)|a(2)|a(2)?d(b(2)))].

故

Δd=(d?IA?B+T(d?IA?B)T)Δ.

引理3由定理1中的定義, 有Δ與ε為分次代數(shù)同態(tài).

證明先證Δ為分次代數(shù)同態(tài). 注意到對任給的齊次元a,a′∈A, 有

Δ(aa′)=Δ(a)Δ(a′)=

同理, 由ΔB為分次代數(shù)同態(tài), 可推出

其中b,b′∈B為齊次元.

從而有

Δ((a?b)(a′?b′))=Δ((-1)|a′||b|aa′?bb′)=

Δ(a?b)Δ(a′?b′)=(-1)|a(2)||b(1)|a(1)?b(1)?

因此

Δ((a?b)(a′?b′))=Δ(a?b)Δ(a′?b′).

接下來證ε為分次代數(shù)同態(tài).

ε((a?b)(a′?b′))=ε((-1)|a′||b|aa′?bb′)=

(-1)|a′||b|ε(aa′)ε(bb′)=

(-1)|a′||b|ε(a)ε(a′)ε(b)ε(b′)=

ε(a)ε(b)ε(a′)ε(b′)=ε(a?b)ε(a′?b′).

引理4由定理1中的定義, 有

Δ({a?b,a′?b′})={Δ(a?b),Δ(a′?b′)}.

證明注意到對任給的齊次元a,a′∈A, 有

Δ({a,a′})={Δ(a),Δ(a′)}=

同理, 有

其中b,b′∈B為齊次元.

從而有

{Δ(a?b),Δ(a′?b′)}={(-1)|a(2)||b(1)|a(1)?

與

Δ({a?b,a′?b′})=Δ((-1)(|a′|+p)|b|{a,a′}?

bb′+(-1)(|b|+p)|a′|aa′?{b,b′})=

(-1)(|a′|+p)|b|Δ({a,a′}?bb′)+

(-1)(|b|+p)|a′|Δ(aa′?{b,b′})=

分別比較各項系數(shù), 可得

Δ({a?b,a′?b′})={Δ(a?b),Δ(a′?b′)}.

引理5由定理1中的定義, 有S為A?B的對極, 即

u(I?S)Δ=u(S?I)Δ=ηε.

證明注意到

u(I?S)Δ(a?b)=

u(I?S)((-1)|a(2)||b(1)|a(1)?b(1)?a(2)?b(2))=

(-1)|a(2)||b(1)|(a(1)?b(1))S(a(2)?b(2))=

(-1)|a(2)||b(1)|(a(1)?b(1))(S(a(2))?S(b(2)))=

a(1)S(a(2))?b(1)S(b(2))=ε(a)ε(b)1A?B,

從而

ηε(a?b)=η(ε(a)ε(b))=ε(a)ε(b)1A?B=

u(I?S)(a?b).

類似地, 有

u(S?I)Δ=ηε.

定理1的證明(1) 由文獻(xiàn)[9]可知, (A?B,u,η,d,{·,·})是p次微分分次Poisson代數(shù). 再由引理1～引理5可得, (A?B,u,η,Δ,ε,S, {·,·},d)是p次微分分次 Poisson Hopf代數(shù). 故(1)成立.

(2) 定義映射

φ：A?B→B?A，

φ(a?b)=(-1)|a||b|b?a,

其中，a∈A,b∈B為齊次元. 要證dg-PHA為對稱monoidal范疇, 只須證φ是同構(gòu)映射. 由于φ°φ=1, 故只需證φ是微分分次Poisson Hopf代數(shù)同態(tài). 注意到εA與εB都是次數(shù)為0的齊次線性映射, 所以有

ΔB?Aφ(a?b)=ΔB?A((-1)|a||b|b?a)=

(-1)|a||b|+|a(1)||b(2)|b(1)?a(1)?b(2)?a(2),

(φ?φ)ΔA?B(a?b)=

(φ?φ)((-1)|a(2)||b(1)|a(1)?b(1)?a(2)?b(2))=

(-1)|a||b(1)|+|a(2)||b(2)|b(1)?a(1)?b(2)?a(2)

與

εB?Aφ(a?b)=εB?A((-1)|a||b|b?a)=

(-1)|a||b|ε(b)ε(a)=ε(a)ε(b)=εA?B(a?b).

因此,φ是分次余代數(shù)同態(tài). 注意到φ是微分分次Poisson代數(shù)同態(tài),k是p次微分分次Poisson Hopf代數(shù), 故結(jié)論成立.

(3) 由例1可知,Aop,Bop與(A?B)op都是p次微分分次Poisson Hopf代數(shù). 注意到(A?B)op與Aop?Bop的代數(shù)結(jié)構(gòu)均由(uop,η,Δop,ε,S,{·,·}op,d)所決定, 其中，

η(1k)： =1A?1B,
ε(a?b)： =εA(a)εB(b),
S(a?b)： =SA(a)?SB(b),
d(a?b)： =dA(a)?b+(-1)|a|a?dB(b),
uop((a?b)?(a′?b′))： =(-1)|a′||b|aa′?bb′,

Δop(a?b)： =(-1)|a(1)||a(2)|+|a(1)||b(2)|+|b(1)||b(2)|×

a(2)?b(2)?a(1)?b(1),

a,a′∈A,b,b′∈B為齊次元. 故

(A?B)op=Aop?Bop.

證畢！