孫麗萍 劉文德

摘 要：在單模李代數(shù)的分類中，限制李代數(shù)理論起到了重要作用。為了給單模李超代數(shù)的分類提供理論依據(jù)，豐富限制李超代數(shù)基本理論，研究了可限制李超代數(shù)及李超代數(shù)的限制包絡(luò)和泛限制包絡(luò)。 證明了可限制李超代數(shù)是限制李超代數(shù)，給出了限制包絡(luò)、泛限制包絡(luò)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：限制；李超代數(shù)；包絡(luò)

DOI：10.15938/j.jhust.2018.04.027

中圖分類號： O152.5

文獻標(biāo)志碼： A

文章編號： 1007-2683（2018）04-0145-03

Abstract：The notion of restricted Lie algebras has played an important role in the modular Lie algebra theory， especially in the classification of the simple modular Lie algebras. It is necessary to develop restrictedness theory for the classification of the simple modular Lie superalgebras. In this paper， the restrictable Lie superalgebras， the restricted envelopes and universal restrictedenvelope are studied. A restrictable Lie superalgebras is proved to be restricted Lie superalgebras. The structures and some properties of the restricted envelopes and universal penvelope are obtained.

Keywords：restricted； Lie superalgebra； envelope

0 引 言

李代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)前沿領(lǐng)域中具有重要地位的學(xué)科之一。 根據(jù)基域的不同，李代數(shù)分為模李代數(shù)（素特征域上的李代數(shù)）和非模李代數(shù)（特征零域上的李代數(shù)）。 限制李代數(shù)在模李代數(shù)理論中起到了重要作用，有限維單模李代數(shù)的分類和表示首先是建立在限制李代數(shù)上的[1-2]。

由于物理學(xué)中超對稱性問題研究的需要，李代數(shù)被推廣到李超代數(shù)[3-5]，并成為一個活躍的研究領(lǐng)域。 至今，單模李超代數(shù)的分類仍是開放性課題。 所以，建立起限制李超代數(shù)的一般理論是很有意義和必要的工作。 但是，由于基域和代數(shù)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性帶來的問題，使得限制李超代數(shù)的研究難度很大，進展很慢。 現(xiàn)只有少量基礎(chǔ)性工作和若干具體問題被研究[3-11]，一般理論還沒有建立起來。 本文將在文[6]限制李超代數(shù)基本理論的基礎(chǔ)上，根據(jù)模李代數(shù)的研究方法[12]，進一步研究李超代數(shù)的限制包絡(luò)和泛限制包絡(luò)的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)。 希望對單模李超代數(shù)的分類起到促進作用。

參 考 文 獻：

[1] STRADE H. Simple Lie Algebras over Fields of Characteristics I. Structure Theory[M]. New York： Walter de Gruyter， 2004.

[2] PREMET A， STRADE H. Classification of Finite Dimensional Simple Lie Algebras in Prime Characteristics[J]. Contemporary Mathematics， 2006， 413：185-214.

[3] ChEN L Y， MEND D J and Zhang Y Z. The Frattini Subalgebra of Restricted Lie Superalgebras[J]. Acta Math. Sin.， English Ser.， 2006， 22（5） ：1343-1356.

[4] KOCHETKOV YU ， LEITES D. Simple Lie algebras in Characteristic 2 Recovered from Superalgebras and on the Notion of a Simple Finite Group[J]. Contemp. Math.，1992， 131（2）：59-67.

[5] PETROGRADSKI V M. Identities in the Enveloping Algebras for Modular Lie Superalgebras[J]. J. Algebra，1992， 145：1-21.

[6] SUN L P， LIU W D and GAO X C. Restrictered Envelopes of Lie Superalgebras[J]. Algebra Colloquium， 2015， 22（2）：309-320.

[7] LIU W D. Induced Modules of Restricted Lie Superalgebras[J]. Northeastern Mathematical Journal， 2005，21（1）：54-60.

[8] SHU B， ZHANG C W. Representations of the Restricted Cartan Type Lie Superalgebra W（m，n，1）[J]. Algebras and Representations Theory， 2011， 14（3）：463-481.

[9] 孫麗萍，劉文德，姚艷. Cartan 型模李超代數(shù)H作為osp-模的分解與零維上同調(diào)[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報， 2014， 19（4）：91-94.

[10]常遠，劉文德. 特征為3的奇Hamillton李超代數(shù)偶部的導(dǎo)子[J]. 哈爾濱理工大學(xué)報，2013， 18（4）：121-124.

[11]華秀英，劉文德. 奇Hamiltonian李超代數(shù)偶部的非負(fù)Z-齊次導(dǎo)子空間[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報， 2013， 18（1）：76-79.

[12]STRADE H， FARNSTEINER R. Modular Lie Algebras and Their Representations[M]. New York：Monographys and Texbooks in Pure and Applied Mathematics， 1988.

（編輯：關(guān) 毅）