戴曉燕 樊翠霞

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)茅麓中學(xué)，江蘇省常州市金壇區(qū)西崗中學(xué)）

勾股定理及其逆定理在近幾年的中考中是熱點(diǎn)問(wèn)題，以下老師就以部分中考試題為例進(jìn)行評(píng)述，希望為大家?guī)?lái)一些思考和借鑒.

一、弦圖的應(yīng)用

【例1】（2017·長(zhǎng)春）圖 1是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.此圖案的示意圖如圖2，其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，△ABF，△BCG，△CDH，△DAE是四個(gè)全等的直角三角形.若EF=2，DE=8，則AB 的長(zhǎng)為 .

圖1

圖2

解：AF=DE=8，EF=2，AE=6，由勾股定理求得AD=10，故AB=AD=10.

【例2】（2017·石家莊一模）圖甲是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.若AC=6，BC=5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（ ）.

A.52 B.42 C.76 D.72

圖甲

圖乙

圖3

解：如圖3，由AC=6，得DC=12.在直角△DBC中，由BC=5、DC=12得BD=13，所以BD+AD=19，故周長(zhǎng)為19×4=76.

【評(píng)析】教材中應(yīng)用“趙爽弦圖”證明勾股定理.“趙爽弦圖”是初中數(shù)學(xué)的重要基本圖形之一，近年來(lái)在全國(guó)各地的中考試題里也常有出現(xiàn).

二、折疊問(wèn)題

【例3】（2017·武威）如圖4，一張三角形紙片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.現(xiàn)將紙片折疊：使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，那么折痕長(zhǎng)等于 cm.

圖4

圖5

解：如圖5，作AB的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E，在Rt△BEC中，由勾股定理得（8-BE）2+62=BE2，解得，進(jìn)一步算得

【例4】（2017·嘉興）一張矩形紙片 ABCD，已知AB=3，AD=2.小明按下圖步驟折疊紙片，則線段DG長(zhǎng)為（ ）.

解：由翻折得到△A′DE，△B′GE是等腰直角

【評(píng)析】統(tǒng)觀近年各省市的中考試題，不難發(fā)現(xiàn)“折疊”問(wèn)題在中考試題里頻頻出現(xiàn)，而利用勾股定理建立方程是解決問(wèn)題的重要方法.命題者通常以直角三角形為載體，以數(shù)形結(jié)合、方程思想等重要的數(shù)學(xué)思想為依托，實(shí)現(xiàn)綜合考查.

三、逆定理的應(yīng)用

【例5】（2017·益陽(yáng)）如圖6，△ABC 中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB邊上的中線，則CD=

.

圖6

解：由AC=5，BC=12，AB=13知△ABC是直角三角形，故CD=6.5.

【例6】（2017·南京）“直角”在初中幾何學(xué)習(xí)中無(wú)處不在.如圖7，已知∠AOB.請(qǐng)仿照小麗的方式，再用兩種不同的方法判斷∠AOB是否為直角（僅限用直尺和圓規(guī)）.

小麗的方法：如圖8，在OA、OB上分別取點(diǎn)C、D，以C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交OB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若OE=OD，則∠AOB=90°.

圖7

圖8

圖9

圖10

解：方法 1.如圖9，在 OA、OB上分別截取OC=4，OD=3.若 CD=5，則 ∠AOB=90°.

方法 2.如圖10，在 OA、OB 上分別取點(diǎn) C、D，以CD為直徑畫圓.若點(diǎn)O在圓上，則∠AOB=90°.

【評(píng)析】勾股定理的逆定理主要是由數(shù)量關(guān)系確定三角形是否為直角三角形，然后在直角三角形的背景下解決有關(guān)問(wèn)題.勾股定理的逆定理體現(xiàn)了由數(shù)到形的重要數(shù)學(xué)思想，在近年來(lái)各地的中考題中常有出現(xiàn)，但往往考查定理本身，故難度不是太大.

四、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

【例7】（2013·包頭）如圖11，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C= °.

圖11

圖12

解：本題采用分割的方式.如圖12，通過(guò)連接EE′將∠BE′C轉(zhuǎn)化為∠BE′E與∠EE′C的和.首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，那么，在Rt△EBE′中，由等腰直角三角形可得∠BE′E=45°，由勾股定理可得EE′=22.此時(shí)△EE′C的三邊長(zhǎng)都已知了.又因?yàn)镋′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9，即E′E2+E′C2=EC2，所以由勾股定理的逆定理知△EE′C是直角三角形，則∠EE′C=90°.故∠BE′C=135°.

【評(píng)析】根據(jù)已知得出△EE′B是等腰直角三角形比較容易，但想到利用勾股定理的逆定理找出△EE′C是直角三角形才是解題關(guān)鍵.勾股定理常用，同學(xué)們也比較容易想到，而勾股定理的逆定理，也是將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系的常用方法，同學(xué)們可要用心哦！