陳 芬
(作者單位:江蘇省淮安外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)
勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論,它有著悠久的歷史,在數(shù)學(xué)發(fā)展中起著重要的作用.它揭示了一個(gè)直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系,將數(shù)與形統(tǒng)一起來(lái),在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用.
1.勾股定理:直角三角形兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方.
2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為 a、b、c,且 a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.
3.滿足關(guān)系 a2+b2=c2的 3 個(gè)正整數(shù) a、b、c稱為勾股數(shù).
直角三角形是一個(gè)幾何圖形,而勾股定理反映的是三邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系,是代數(shù)問(wèn)題.其逆定理是從數(shù)量關(guān)系得到圖形的情況.在探索勾股定理時(shí),利用網(wǎng)格圖中的方格得到數(shù)量關(guān)系也是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn).
【例1】如圖1,在矩形ABCD中,AB=8,點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn),有AE=4,BE的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接EF交CD于點(diǎn)G.若G是CD的中點(diǎn),則BC的長(zhǎng)是( ).
A.7 B.8 C.9 D.10
圖1
【分析】先利用ASA證明△DEG和△CFG全等,可得 DE=CF,EG=FG.設(shè) DE=x,用 x表示出BF,再利用勾股定理求EG,再求出EF.然后根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得BF=EF,從而求出AD,再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得BC=AD.
解:∵在矩形ABCD中,G是CD的中點(diǎn),
易證△DEG≌△CFG,∴DE=CF,EG=FG.
設(shè) DE=x,則 BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x.在 Rt△DEG 中 ,
∵FH垂直平分BE,∴BF=EF,
∴AD=AE+DE=4+3=7,
∴BC=AD=7.故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì),熟記各性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.
【例2】如圖 2,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,若點(diǎn) P在 AD邊上,連接BP、PC,△BPC是以PB為腰的等腰三角形,則PB的長(zhǎng)為_____.
圖2
圖3
圖4
【分析】需要分類討論P(yáng)B=PC和PB=BC兩種情況.
解:在矩形ABCD中,AB=CD=4,BC=AD=6.
如圖3,當(dāng)PB=PC時(shí),即點(diǎn)P是BC的中垂線與AD的交點(diǎn),則
在Rt△ABP中,由勾股定理得:
如圖4,當(dāng)BP=BC=6時(shí),△BPC也是以PB為腰的等腰三角形.
綜上所述,PB的長(zhǎng)度是5或6.
故答案為:5或6.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì),等腰三角形的判定和勾股定理.解題時(shí),要分類討論,防止漏解.
解決問(wèn)題時(shí)從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手,通過(guò)已知量與未知量的關(guān)系建立方程(組),使問(wèn)題得到解決,這就是方程思想.
【例3】如圖5,筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距25km,C、D為兩村莊,DA⊥AB于點(diǎn)A,CB⊥AB于點(diǎn)B.已知DA=15km,CB=10km,現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E,使得C、D兩村到收購(gòu)站E的距離相等,則收購(gòu)站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處?
圖5
【分析】根據(jù)C、D兩村到E站的距離相等,可得DE=CE.在Rt△DAE和Rt△CBE中,設(shè)出AE的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理可將DE和CE的長(zhǎng)表示出來(lái),列出等式求解.
解:∵C,D兩村到E站的距離相等,
∴DE=CE.
∵DA⊥AB于點(diǎn)A,CB⊥AB于點(diǎn)B,
∴∠A=∠B=90°.
∴AE2+AD2=DE2,BE2+BC2=EC2.
∴AE2+AD2=BE2+BC2.
設(shè)AE=x,則BE=AB-AE=25-x.
∵DA=15,CB=10,
∴x2+152=(25-x)2+102,
解得:x=10,
∴AE=10.
∴收購(gòu)站E應(yīng)建在離A點(diǎn)10km處.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要是運(yùn)用勾股定理將兩個(gè)直角三角形的斜邊表示出來(lái),再利用等量關(guān)系列方程求解即可.