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        初探“順反粘數(shù)”

        2018-11-23 04:29:38馬思琪
        新高考·高三數(shù)學(xué) 2018年5期
        關(guān)鍵詞:思維數(shù)學(xué)研究

        馬思琪

        編者按:“數(shù)學(xué)寫作”聯(lián)盟始終堅(jiān)守“常態(tài)閱讀,深度思考,精致表達(dá),共同發(fā)展”的理念,為推動(dòng)數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)的開展,展現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果,鼓勵(lì)學(xué)生深入思考、探究創(chuàng)新、合理表達(dá),“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟開展了第一屆“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟中學(xué)生數(shù)學(xué)寫作競賽活動(dòng),并取得圓滿成功.

        這次數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)得到了多所學(xué)校的支持,其中涌現(xiàn)出許多優(yōu)秀的作品.這些作品有的是對(duì)所讀的文章或圖書的深度思考,有的是對(duì)課堂內(nèi)容在現(xiàn)實(shí)生活中的拓展和應(yīng)用,有的是自己做一道題或一類題的感悟,有的是在使用數(shù)學(xué)工具的過程中的大發(fā)現(xiàn),有的是數(shù)學(xué)相聲、數(shù)學(xué)詩歌……以下?lián)袢∑渲械囊恍┪恼屡c讀者共享.每年高考題中均會(huì)出現(xiàn)“拉分”的新題,這些同齡人文章里的新思路和體現(xiàn)出的理性思維、探究精神,對(duì)你拓寬思維、破解新題一定會(huì)有所助益.

        翻開《新高考(高二版)》2017年第9期,看到刊首《閑人莫入》一文給出了以下一組神奇的等式,引起了我的興趣:

        8^2-4^2 =48;

        68^2-34^2=3468;

        668^2-334^2 =334668;

        6668^2-3334^2=33346668:

        文中說:“這樣的等式,可以一直寫下去,直到無窮大,統(tǒng)統(tǒng)都是成立的”“迄今為止,這樣的一系列無窮等式,除此之處,別的地方再也沒有看到過,真正說得上‘只此一家,別無分店了!”

        我想:這組等式長得這么美,為什么會(huì)那么“孤獨(dú)”呢?是她太“高冷”了嗎?還是“曲高和寡”呢?難道沒有相似的同伴?

        我好想給她找個(gè)伴!

        我找啊找,可就是找不到和它規(guī)律一樣的數(shù),但我找到了她的姐妹花——并蒂蓮,請(qǐng)看:

        14^2-7^2 =147;

        134^2-67^2 =13467;

        1334^2-667^2 =1334667;

        13 334^2-6667^2 =133346667;

        這兩組數(shù),是不是怎么看都有謎一樣的蹊蹺呢?

        我為什么會(huì)發(fā)現(xiàn)這組等式呢?——國慶長假,全國各地到處各種堵,我就宅在家里來了一次有趣的數(shù)字發(fā)現(xiàn)之旅——這是一次奇特的旅游!以下是這一次的“游記”:

        第一站風(fēng)景:原題的證明

        第二站風(fēng)景:原題的推廣

        為方便敘述,對(duì)于這樣的數(shù),我給它取了個(gè)名字,叫“反粘數(shù)”:

        第三站風(fēng)景:原題的類比

        有“反”為什么不能有“順”呢?

        第四站風(fēng)景:全新的發(fā)現(xiàn)

        此外,我還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象.在有些類似的反粘數(shù)中:

        1025^2-640^2=641025:

        1276^2-870^2 =871276.

        有一個(gè)“0”被“吃掉”了!在順粘數(shù)里也有類似的現(xiàn)象:

        30^2-24^2=324:

        280^2-224^2=28224:

        330^2-275^2=33 275.

        終點(diǎn)站:留下一段“碎碎叨”

        我為什么稱之為“順粘數(shù)”和“反粘數(shù)”呢?

        因?yàn)椤绊樥硵?shù)”的平方差是按x,y的前后順著粘在一起的,而“反粘數(shù)”的平方差是按x,y的前后反著粘在一起的.是不是很“Interesting”呀!

        《閑人莫入》一文中說,不出現(xiàn)其他數(shù)字,只出現(xiàn)3,4,6,8四個(gè)數(shù)字.我從“順反粘數(shù)”中也想找到這樣的數(shù).功夫不負(fù)有心人,我也有了新發(fā)現(xiàn),不但找到本文開頭列出的五個(gè)新數(shù)字(1,3,4,6,7),而且還發(fā)現(xiàn)了只出現(xiàn)兩個(gè)數(shù)字(4和8)的數(shù):

        8^2-4^2 =48;

        848^2-484^2 =484848;

        84 848^2-48484^2 =4848484848;

        這等式也可以一直繼續(xù)下去直至無窮.但是如果右邊的“48”成偶數(shù)對(duì)出現(xiàn),它們就國慶撒歡兒去了,消失無影蹤(左邊化歸為0了);只有“48”成奇數(shù)對(duì)出現(xiàn)時(shí),此規(guī)律才會(huì)源遠(yuǎn)流長,永無止境.

        如此神奇的式子,你能證明嗎?

        如果規(guī)定等式兩邊只出現(xiàn)確定的數(shù)字,不規(guī)定是否按原數(shù)的數(shù)字順序“順粘”或“反粘”,又會(huì)有怎樣的一番風(fēng)景呢?我已經(jīng)把這種數(shù)的名字都想好了,叫“排他數(shù)”.你是否愿意和我一起探尋新的風(fēng)景呢?

        點(diǎn)評(píng) 本文所研究的問題,從知識(shí)層面上看,不超過初中數(shù)學(xué)內(nèi)容.但從數(shù)學(xué)思維角度看,已經(jīng)完整地包含了數(shù)學(xué)研究的基本要素:給所研究“新伙伴”命名并下一個(gè)精確的定義,發(fā)現(xiàn)更多的實(shí)例、從中找出規(guī)律并證明之,然后對(duì)其進(jìn)行類比推廣,最后提出進(jìn)一步研究的問題.在這篇數(shù)學(xué)寫作的過程中,作者已經(jīng)完整地經(jīng)歷了一次真實(shí)的“數(shù)學(xué)研究”過程.

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