劉煒

1.（2017年浙江卷）已知多項式（x +1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3 +a3x2 2+a1x+a5，貝a4=____，a5=____.

1-1.（改編）已知多項式（x+1）3（x+ 2）2=x5 +a1x4+a2x3+a3x2 +a4x+a5，則a1+a3+a5=____. a2+a4=_______.

1-2.（改編）已知多項式（x+1）3（x+2）2的導(dǎo)函數(shù)為aOx5+a1x4+a2x3，+a3x2+a4x+a5，則以a0=____，a5=_____.

1-3.（改編）已知多項式（x+1）3（x+2）2的導(dǎo)函數(shù)為a0x5+a1x3+a2x3+a3x22+a4x+a5，則a1 +a3+a5=_____，a0+a2+a=____.

2.（2017年浙江卷）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有_____種不同的選法.（用數(shù)字作答）

2-1.（改編）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求隊長是女生，共有_____種不同的選法.（用數(shù)字作答）

2-2.（改編）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中隊長或者副隊長中至少有1名女生，共有____種不同的選法.（用數(shù)字作答）

2-3.（改編）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中女生甲不能做隊長，女生乙不能做普通隊員，共有____種不同的選法.（用數(shù)字作答）

3.（2017年江蘇卷）已知一個口袋中有m個白球，n個黑球（m，n∈N*，n≥2），這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機地逐個取出，并放人如圖所示的編號為1，2，3，…，m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放人編號為k的抽屜（k=1，2，3，…，m+n）.

（1）試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；

（2）隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E（X）是X的數(shù)學(xué)期望，證明：E（x）

3-1.（改編）甲、乙兩人進行圍棋比賽，共比賽2n（n∈N*）局，根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知道，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為1/2，如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽，記甲贏得比賽的概率為P（n）.

（1）求P（2）與P（3）的值；

（2）試比較P（n）與P（n+1）的大小，并證明你的結(jié)論.

3—2.（改編）已知整數(shù)n≥3，集合M={l，2，3，…，n）的所有含有3個元素的子集記為Ai（i=1，2，…，Ci），記這些集合所有元素之和為Sn例如當(dāng)n=4時，集合M的所有含有3個元素的子集共4個，但M中每個元素出現(xiàn)了C23次，從而S4=C23（1+2+3+4）一30.

（1）求Sn；

（2）證明：S3+S4+S4+…+Sn=6C5 n+2：.

3-3.（改編）當(dāng)n≥3，n∈N時，對于集合M={l，2，3.…，n），集合M的所有含3個元素的子集分別表示為N1，N2，N2，…，NM（n）-1，NM（n），其中M（n）表示集合M的含3個元素的子集的個數(shù).設(shè)p，為集合N，中的最大元素，qi為集合Ni中的最小元素，1≤i≤M（n），記P=p 1+p2+…+pM（（n）-1+pM（n），Q =q1+q2+…+qM（n）-1+qm（n）

（1）當(dāng)n=4時，分別求M（4），P，Q；

（2）求證：P=3Q.

參考答案

1. 16，4.

解析：由二項式定理可知通項公式為：

取r =0，m=l，和r=l，m=0時可得a4=16；

取x=o時，可得a5=4.

1-1. 36， 35.

解析：取x=1時，可得1+a1 +a2 +a3 +a4 +a5=23×31=72，

取x=-1時，可得-1+a1-a2+a3-a4+a5=O，

解得：a1 +a3 +a5=36，1+a2 +a4=36，即a2 +a4=35.

1-2.O，16.

解析：根據(jù)題意，多項式為5次，則導(dǎo)函數(shù)最高四次，從而a0=0.

導(dǎo)函數(shù)的常數(shù)項是原函數(shù)的一次項，即由原題可知a3=l6.

1-3. 78， 78.

解析：根據(jù)題意，（z+1）3（z+2）！的導(dǎo)數(shù)為3（z+1）2×（z+2）2+（z+1）3×2（z+2），

所以3（x+l）2×（x+2）2+（x+1）3×2（x+2）=a0x3+a1x4 +a2x3 +a3x2 +a1x1+a3，

取x=1時，可得a0+a1 +a2 +a3+a4 +a5=3×22×32+23×2×3=156.

取x=-1時，可得-a0 +a1-a2 +a3-a4+a=O，

解得：a1 +a3 +a5=78，a0+a2 +a4=78.

2. 660.

解析：直接法比較難以處理，故采用間接法，總的安排方法為，從8人中選4人，再從中選出隊長與副隊長，即不同的選法數(shù)為C 4 A4，其中不滿足的是C46A24，所以滿足題意的不同選法數(shù)為C48A24-C46A24=660.

2-1. 210

解析：根據(jù)特殊要求優(yōu)先的原則，先確定隊長，再確定副隊長，然后選定隊員，根據(jù)乘法原理可知不同的選法數(shù)為C12C12C26=210.

2-2. 390.

解析：對于甲而言，2n局比賽中甲贏的次數(shù)作為隨機變量，則隨機變量服從二項分布，于是可以求得甲贏得比賽的概率；對于研究類似“數(shù)列”的單調(diào)性，一般采用比較法（作差或者作商）.

解析：根據(jù)題目的范例，我們可以發(fā)現(xiàn)M的所有含有3個元素的子集共C3n個，從而集合M中每個元素出現(xiàn)了C2n-1次，從而可以求得Sn；繼而可以使用組合數(shù)的性質(zhì)求證（2）.

解析：本題與3-2（改編）相似，對于其中最大元素，與最小元素出現(xiàn)的次數(shù)也與前題一致，所以處理的方法基本相似.本題中主要的就是建立P，Q關(guān)于n的表達式，從而利用組合數(shù)性質(zhì)加以證明，