任曉旭，呂良福，崔廣泰

(1.天津大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，天津 300072； 2.河海大學(xué) 理學(xué)院，南京 211100)(*通信作者電子郵箱liangfulv@tju.edu.cn)

0 引言

隨著電子和成像技術(shù)的發(fā)展，針對實際中產(chǎn)生的大量醫(yī)學(xué)[1]、信息遙感等數(shù)字圖像，人們很難找到需要的精確數(shù)據(jù)，而這種局面也促使人們希望可以通過計算機技術(shù)自動分析海量圖像，通過算法快速有效地選擇特征的信息，提高效率。一般情況下，多通道圖像等數(shù)據(jù)本身就具有天然的張量結(jié)構(gòu)，另外由于張量結(jié)構(gòu)具有良好的表達能力和計算特性，所以研究圖像的張量分析是非常有意義的工作，其中張量分解能夠保持原圖像數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特性。針對高光譜圖像，張量分解可以充分利用圖像之間的空間和譜間冗余，快速而高質(zhì)量地對高光譜圖像進行壓縮和提取相關(guān)的特征信息[2]。文獻[2]基于高光譜圖像提出非負張量標準分解(Canonical Polyadic decomposition, CP)算法，并用于解決盲源信號分離問題。Shashua等[3]將CP分解用于圖像壓縮和分類，Bauckhage[4]將判別分析(discriminant analysis)引入到高階數(shù)據(jù)如彩色圖像中進行分類。而對于類似高光譜與多光譜圖像的多源異構(gòu)數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)之間的隱含模型通過它們的變量子集耦合，這里的耦合是指這些變量子集之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，即圖像經(jīng)過張量分解后的因子矩陣之間存在耦合關(guān)系[5]。本文希望利用圖像之間的這種耦合關(guān)系，通過張量分解算法從其中一個數(shù)據(jù)集的信息提高對其他數(shù)據(jù)集估計精度和完善對相關(guān)的潛變量的解釋。

在實際的應(yīng)用中，來自不同數(shù)據(jù)源的數(shù)據(jù)分析需要處理異構(gòu)數(shù)據(jù)集，即矩陣或高階張量[6]。對于一些耦合矩陣和張量的數(shù)據(jù)分析，文獻[7] 中提出了相應(yīng)的耦合矩陣和張量分解優(yōu)化(Coupled Matrix and Tensor Factorization-OPTimization, CMTF-OPT) 方法。而相應(yīng)的實驗結(jié)果表明，在一定的噪聲干擾下，耦合矩陣和張量分解(Coupled Matrix and Tensor Factorization, CMTF)方法比CP算法在數(shù)據(jù)恢復(fù)方面具有更好的性能。類似地，文獻[5]中也研究了高階的耦合張量分解問題，并通過實驗結(jié)果表明,該模型在耦合張量分解方面有更好的性能。文獻[5]中針對不同數(shù)據(jù)之間的耦合關(guān)系及耦合下的數(shù)據(jù)分解算法進行了研究，該算法表明基于耦合數(shù)據(jù)的分解算法比交替最小二乘(Alternating Least Squares, ALS)法具有更好的收斂性，且算法計算的花費時間更少。因此，利用圖像本身之間的耦合關(guān)系進行圖像分解是非常有必要的措施和工作。

本文提出了基于CMTF-OPT算法[7]的耦合圖像分解優(yōu)化(Coupled Image Factorization-OPTimization, CIF-OPT)算法，針對文獻[8]中的改進CMTF(Advanced CMTF, ACMTF)算法，將該算法應(yīng)用到圖像中形成改進耦合圖像分解(Advanced Coupled Image Factorization, ACIF)算法。針對CIF-OPT和ACIF兩種耦合圖像分解算法，通過對比實驗得出，兩種算法對耦合圖像的分解均具有可行性，但是在低噪聲水平下，CIF-OPT比ACIF算法具有更好的融合效果。故基于CIF-OPT算法提出針對缺失圖像的數(shù)據(jù)恢復(fù)方法，即利用耦合圖像分解算法恢復(fù)或者近似還原缺失圖像的數(shù)據(jù)。

1 背景知識

1.1 符號說明

為了更好地研究耦合圖像之間的數(shù)據(jù)融合，本文首先引入以下的一些符號與定義。本文用希臘字母表示張量，如：N階張量Φ∈RI1×I2×…×IN。對于大小為I×J的矩陣A,張量的矩陣化是指張量按模展開為矩陣，其主要的目的是對張量進行降維，如張量Φ∈RI1×I2×…×IN以第n模展開記作X(n)。矩陣向量化是將矩陣按列展開形成一個長度為IJ的列向量,即:

給定兩個矩陣A∈RI×K和B∈RJ×K，其Khatri-Rao積記作A⊙B，計算結(jié)果為大小IJ×K的矩陣，即:

其中：“?”表示克羅內(nèi)克積。

給定兩個張量Ψ，Θ∈RI1×I2×…×IN，張量的內(nèi)積記作內(nèi)部元素乘積的和，即:

對于一個張量，用“×n”表示張量的模式積，即對于一個張量Φ∈RI1×I2×…×IN和一個矩陣Y∈RJ×In的n-mode乘積Φ×nY∈RI1×…×In-1×J×In+1×…×IN，其中元素定義為:

給定兩個張量Ψ,Θ∈RI1×I2×…×IN,其Hadamard積記作Ψ*Θ，計算結(jié)果為大小為I×J的矩陣，即：

1.2 張量分解

在實際的應(yīng)用中，一般張量分解模型分為兩類：標準分解(Canonical Decomposition，CP)模型和Tucker分解模型。其中：CP分解模型最初是由Carroll等[9]和Harshman[10]分別單獨提出；Tucker模型是由Tucker[11]在1966年提出的,而CP分解模型是Tucker分解模型的一種特殊情況。當時模型的提出都是為了提取心理學(xué)測試中得到的數(shù)據(jù)特征。對于一般的矩陣模型，可以借助矩陣的奇異值分解、非負矩陣分解等來提取矩陣數(shù)據(jù)的潛在特征信息，例如多光譜數(shù)據(jù)融合、盲源信號分離等問題。同矩陣的低秩逼近的思想類似，人們也想借助張量的分解模型來提取張量模型數(shù)據(jù)中潛在的內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息。

對于一個一般的N階張量Φ∈RI1×I2×…×IN,CP分解表示為：

特別地，對于三階張量Φ∈RI×J×K的CP分解表示為：

其中：對于r=1,2,…,R，ar∈RI,br∈RJ,cr∈RK；因子矩陣A、B、C的列被標準化為1；λr為權(quán)重。如果將權(quán)重分配到因子矩陣中，則CP分解也可表示為：

Φ≈(A′,B′,C′)

現(xiàn)在定義Ωr為R個由λr構(gòu)成的R×R×R階的對角張量，故上式可以轉(zhuǎn)化為：

Φ≈(A,B,C)·Ωr

2 耦合數(shù)據(jù)融合

2.1 耦合數(shù)據(jù)融合的相關(guān)工作

本文考慮來自異構(gòu)數(shù)據(jù)源的耦合數(shù)據(jù)間的融合。Singh等[12]提出的集體矩陣分解(Collection Matrix Factorization, CMF)利用數(shù)據(jù)集之間的相關(guān)性的不同，同時對耦合矩陣進行因式分解。

考慮兩個矩陣X∈RI×M,Y∈RI×L，一般的CMF分解模型通過最小化目標函數(shù)(1)來建立：

f(U,V,W)=‖X-UVT‖2+‖Y-UWT‖2

(1)

其中:矩陣U∈RI×R；V∈RM×R；W∈RL×R是因子矩陣；R是因子的數(shù)量。

在實際生活中，由于存在大量的高階數(shù)據(jù)，故下面討論耦合張量與矩陣之間的數(shù)據(jù)融合。

對于張量Ξ∈RI×J×K,矩陣Y∈RI×M，本文假設(shè)耦合只發(fā)生在第一個因子矩陣中。實際上，一般的耦合矩陣和張量分解模型通過改變目標函數(shù)(2)來建立：

(2)

其中：矩陣A∈RI×R,B∈RJ×R,C∈RK×R是張量Ξ經(jīng)過CP分解后的因子矩陣。

將上述建立的模型稱為耦合矩陣和張量分解(CMTF)問題，在文獻[7]中提出了基于耦合矩陣和張量分解的交替最小二乘(CMTF-Alternating Least Squares, CMTF-ALS)算法?；贏LS的算法實現(xiàn)簡單、計算量小且有效，然而，在缺少數(shù)據(jù)的情況下，基于ALS的算法收斂性很差[13]。另一方面，用一次優(yōu)化的算法同時求解所有CP因子矩陣更具有魯棒性，而且更容易推廣到缺失數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集中[14]。因此，對于高階的數(shù)據(jù)集，文獻[7]提出了效果更好的CMTF-OPT算法。本文基于此算法提出針對耦合圖像的CIF-OPT算法，描述了異構(gòu)圖像數(shù)據(jù)集的耦合分析，算法類似文獻[15]， 但具體步驟基于梯度優(yōu)化，能夠同時求解所有因子矩陣。

目標函數(shù)(2)中隱含地假設(shè)矩陣和張量因子矩陣A的所有列，也就是ar對于矩陣和張量是共享的。然而，一般來說，耦合數(shù)據(jù)集中也存在共同的和獨立的因子。因此，文獻[5]將這樣的問題建立了另一種優(yōu)化函數(shù)，即在CMTF中增加共同和獨立的成分，對目標函數(shù)(2)的修改如下：

(3)

s.t.‖ar‖=‖br‖=‖cr‖=‖vr‖=1；r=1,2,…,R

2.2 耦合圖像分解算法

2.2.1 CIF-OPT算法

本文主要針對耦合圖像之間的數(shù)據(jù)融合。一般的，圖像以張量和矩陣的形式進行數(shù)據(jù)存儲。本文基于CMTF-OPT算法[5]提出了基于圖像數(shù)據(jù)融合的CIF-OPT算法?？紤]矩陣和N階張量圖像在一個模式因子矩陣下耦合，其中張量圖像通過CP模型進行分解[16]，矩陣圖像通過矩陣分解進行分解。設(shè)張量圖像Ξ∈RI1×I2×…×IN,矩陣圖像Y∈RI1×M，并在第n個因子矩陣耦合，其中n∈{1,2，…,N}，則這兩個圖像數(shù)據(jù)集之間的耦合分析的目標函數(shù)可表示為：

f(A(1),A(2),…,A(N),V)=

(4)

其中將函數(shù)的第一項記作：

f1(A(1),A(2),…,A(N))=

將函數(shù)的第二項記作：

本文的主要目標是找到因子矩陣A(i)∈RI1×R和矩陣V∈RM×R使得目標函數(shù)(4)最小化。其中，針對上述的優(yōu)化問題，能夠計算其梯度然后使用文獻[17]的任意一階優(yōu)化算法進行求解。下面，本文將討論目標函數(shù)的梯度。

其中：f1對于A(i)的偏導(dǎo)數(shù)已經(jīng)在文獻[18]中進行了相應(yīng)的推導(dǎo)，具體形式如下。

類似地，矩陣A和V是矩陣Y經(jīng)過矩陣分解之后得到的因子矩陣。

A(-i)=A(N)⊙…⊙A(i+1)⊙A(i-1)⊙…⊙A(1)

第二部分函數(shù)相對于A(i)和V的偏導(dǎo)數(shù)如下：

結(jié)合上述計算結(jié)果，能夠計算目標函數(shù)f。

相對于因子矩陣A(i)和V的偏導(dǎo)數(shù)，如下：

對于一些缺失數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集仍然可以進行耦合分析。CIF-OPT算法的實現(xiàn)可以忽略缺失的數(shù)據(jù)，只對已知的數(shù)據(jù)元素進行耦合分析，找出數(shù)據(jù)滿足的張量或者矩陣模型。因此基于上述提出的耦合圖像分解算法，將該算法應(yīng)用于缺失圖像中，通過與其耦合的圖像恢復(fù)出原始的缺失圖像數(shù)據(jù)。

對于所有的in∈{1,2,…,In}和n∈{1,2,…,N}，引入張量Ξ*∈RI1×I2×…×IN來表示張量Ξ中的缺失的數(shù)據(jù)：

則修改目標函數(shù)(4)為：

fΞ*(A(1),A(2),…,A(N),V)=

同樣地，將函數(shù)的第一項記作：

因為修改過后的函數(shù)第二項保持不變，則目標函數(shù)函數(shù)相對于A(i)和V的偏導(dǎo)數(shù)如下：

2.2.2 ACIF算法

考慮矩陣圖像和3階張量圖像在第一個模式因子矩陣下耦合，其中張量圖像通過CP模型進行分解，矩陣圖像通過矩陣分解進行分解。設(shè)張量圖像Ξ∈RI×J×K，矩陣圖像Y∈RI×M，則這兩個圖像數(shù)據(jù)集之間的耦合分析的目標函數(shù)如(3)表示。為了將上述目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為可微的無約束優(yōu)化問題，文獻[8]將上述優(yōu)化函數(shù)增加了二次懲罰項，對于任意的趨于0的常數(shù)ε>0，β≥0和α>0，如式(5)所示：

(5)

與CIF-OPT算法類似,基于文獻[8]使用梯度優(yōu)化方法最小化上述的目標函數(shù)，并計算目標函數(shù)f的梯度，具體形式是一長度為P=R(I+J+K+M+2) 的向量，是通過對每一個因子矩陣的偏導(dǎo)數(shù)進行向量化而得到的。

3 實驗和結(jié)果分析

3.1 數(shù)據(jù)生成

本文將兩種耦合矩陣和張量分解方法運用到多幅多光譜和全色圖像中，原圖如圖1所示。圖像為位于中國北京某地的低空間分辨率的多光譜圖像和對應(yīng)地區(qū)的高空間分辨率的全色圖像。實驗數(shù)據(jù)來源于機載可見光/紅外成像光譜儀(Airborne Visible Infrared Imaging Spectrometer, AVIRIS)拍攝的北京兩個地區(qū)的數(shù)據(jù)。AVIRIS數(shù)據(jù)可提供224個譜段,有20 m的空間分辨率，覆蓋光譜范圍是0.2～2.4 μm，光譜分辨率為10 nm。選取多光譜圖像的數(shù)據(jù)大小分別為300×300×3和256×256×3像素，全色圖像大小為300×300和256×256像素，如圖1所示。

針對CIF-OPT算法，在數(shù)據(jù)生成方面，本文從多光譜圖像和全色圖像采樣出原始數(shù)據(jù)，運用交替極小算法對兩種圖像進行分解，得到初始的因子矩陣，對得到的因子矩陣作張量積和矩陣乘法運算得到無噪聲的初始張量和矩陣。其中，張量和矩陣有一耦合的因子矩陣。不失一般性,本文將其設(shè)為A。為了更好地研究該算法的性能，本文在不同的噪聲水平下對算法進行實驗。

例如，本文讀取其中一個地區(qū)的多光譜和全色圖像，經(jīng)過初始化后生成原始的三階張量Ξ∈R300×300×3和矩陣Y∈R300×300。然后對張量增加高斯噪聲，即:

其中:Ξ1∈R300×300×3為產(chǎn)生的隨機高斯噪聲張量；η用于控制噪聲水平。類似地，對于矩陣Y添加高斯噪聲，即:

其中：F∈R300×3為產(chǎn)生的隨機高斯噪聲矩陣；η用于控制噪聲水平。為了研究不同噪聲水平下耦合圖像分解的效果，在本文的實驗中設(shè)置了三種不同的噪聲水平，即η為0.10、0.25和0.35。作為CIF-OPT算法的終止條件，需滿足:

▽f=|fk+1-fk|/fk≤10-8

其中f為目標函數(shù)。此外，對于CIF-OPT算法，為了保證算法的可行性，函數(shù)值的最大數(shù)設(shè)置為104，最大迭代次數(shù)設(shè)置為103。在實驗的過程中，算法的終止條件取決于函數(shù)值迭代前后的變化。

因文獻[8]中提出的改進后耦合數(shù)據(jù)分解算法基于參數(shù)β=0.001，α=1進行數(shù)據(jù)實驗，并將其應(yīng)用于代謝組學(xué)中獲得了很好的實驗結(jié)果。故本文采取相同參數(shù)數(shù)值進行類似耦合圖像的實驗，即針對ACIF算法，基于β=0.001，α=1來進行兩種耦合圖像算法之間的比較。在ACIF算法的數(shù)據(jù)生成方面，首先從多光譜圖像和全色圖像讀取出原始數(shù)據(jù)，運用交替極小算法對圖像進行分解，得到初始的因子矩陣，對得到的因子矩陣作相應(yīng)運算得到無噪聲的初始張量和矩陣，即Ξ=(λ;A,B,C)和與其耦合的矩陣Y=AEVT，其中λ和對角矩陣E的對角元素σ分別對應(yīng)秩一張量和矩陣的權(quán)重，其中元素個數(shù)為R。類似地，對初始張量和矩陣增加噪聲來檢測算法的魯棒性。本文旨在尋找融合效果更好、有效且準確的耦合圖像分解算法，故對針對兩種耦合圖像分解算法從算法最優(yōu)值、迭代次數(shù)、誤差等方面設(shè)計對比實驗，多角度地分析了兩種算法的有效性。

圖1 不同地區(qū)的多光譜圖像與全色圖像Fig. 1 Multispectral and panchromatic images in different regions

3.2 實驗結(jié)果

本文主要思想是將耦合數(shù)據(jù)分解算法應(yīng)用到具體的耦合多光譜圖像和全色圖像中。針對耦合數(shù)據(jù)分解算法，生成與地區(qū)一和地區(qū)二相同維數(shù)的隨機數(shù)據(jù)，并應(yīng)用耦合數(shù)據(jù)分解中的CMTF-OPT算法對耦合數(shù)據(jù)進行分解。針對具體的耦合圖像，通過CIF-OPT優(yōu)化算法對耦合多光譜圖像和全色圖像進行數(shù)據(jù)融合，即將CMTF-OPT算法的應(yīng)用范圍轉(zhuǎn)化到耦合圖像中進行分解，得到的具體結(jié)果如表1所示。

表1 基于不同算法不同噪聲水平下的圖像融合效果Tab. 1 Image fusion effect based on different algorithms with different noise

從耦合數(shù)據(jù)到耦合圖像分解算法的數(shù)據(jù)變化可以看出，耦合圖像算法比耦合數(shù)據(jù)算法收斂所需的迭代次數(shù)更多，收斂所需達到的函數(shù)最大數(shù)也越大。上述結(jié)果是必然的，因為在對耦合圖像進行分解融合時需對耦合圖像初始化，將圖像轉(zhuǎn)為耦合數(shù)據(jù)進而實現(xiàn)算法，因此收斂需要更多的迭代次數(shù)。相應(yīng)地，通過觀察對耦合圖像添加噪聲的實驗可以得出，在噪聲水平一定的條件下，本文提出的CIF-OPT算法可以實現(xiàn)耦合圖像的分解，且算法的結(jié)果與耦合數(shù)據(jù)分解算法的結(jié)果接近，同時在一定的噪聲水平下的分解效果要優(yōu)于CMTF-OPT算法。而CIF-OPT算法對不同圖像的融合效果一致，因此具有一定的魯棒性，而且融合效果并不會因為圖像階數(shù)和數(shù)據(jù)元素的改變而發(fā)生變化，算法的迭代次數(shù)也并不隨階數(shù)的增加而劇增。通過比較，發(fā)現(xiàn)CIF-OPT算法效果好，故算法是可行的。

針對耦合數(shù)據(jù)分解的另一種ACTMF(Advanced Coupled Matrix and Tensor Factorization)算法[8]針對地區(qū)一進行了相同的噪聲水平實驗，并與CMTF-OPT算法進行了比較，結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同噪聲水平下耦合數(shù)據(jù)分解算法的目標函數(shù)值比較Fig. 2 Object function values comparison of coupled data decomposition algorithms with different noise level

從圖2可以看出，改進后的耦合數(shù)據(jù)分解算法即ACMTF算法在不同的噪聲水平下均優(yōu)于CMTF-OPT算法。故本文基于相同的參數(shù)和噪聲條件，針對耦合圖像的另一種ACIF算法進行了相同的噪聲水平實驗，并對兩種耦合圖像算法之間的目標函數(shù)值、迭代次數(shù)、誤差等參數(shù)結(jié)果進行了比較，在不同噪聲水平下的融合效果如圖3所示。

圖3 不同噪聲水平下耦合圖像分解算法的目標函數(shù)值比較Fig. 3 Object function values comparison of coupled image decomposition algorithms with different noise level

實驗結(jié)果表明，在添加的噪聲小于0.2時，CIF-OPT算法比ACIF算法更加有效。這與兩種算法在耦合數(shù)據(jù)中對數(shù)據(jù)的融合效果不同，且隨著噪聲水平的增加，兩種算法在融合效果方面的表現(xiàn)幾乎無異，這表明改進后的圖像分解算法并不具有比CIF-OPT算法更好的優(yōu)勢。接著針對算法收斂所需的迭代次數(shù)進行了對比，結(jié)果如圖4所示。可以看出，ACIF算法收斂所需迭代的次數(shù)在大多數(shù)情況下比CIF-OPT算法的迭代次數(shù)多，在算法運行時，它達到收斂條件至算法終止花費的運行的時間也更長。為了綜合考慮各方面因素，本文計算4種算法的融合誤差來全面地比較算法對數(shù)據(jù)分解的準確性，具體結(jié)果詳見圖5。

圖4 不同噪聲水平下耦合圖像分解算法的迭代次數(shù)比較Fig. 4 Iteration times comparison of coupled image decomposition algorithm with different noise level

從圖5可以看出，在一定程度上，雖然耦合圖像的分解效果要比耦合數(shù)據(jù)的效果好，但是耦合數(shù)據(jù)分解算法的誤差具有一定的穩(wěn)定性，且誤差值低于耦合圖像分解算法。對于耦合圖像分解的兩種算法來說，在噪聲水平低于0.25時，兩種算法的誤差值不穩(wěn)定，圖5誤差值量級小，因此隨著噪聲水平的增加， CIF-OPT算法的誤差與ACIF算法的誤差值十分接近。故對于耦合圖像分解算法，在低噪聲水平下CIF-OPT算法表現(xiàn)出更出色的融合效果，且誤差值和算法收斂所需迭代次數(shù)更少。上述算法主要基于地區(qū)一進行結(jié)果比較，下面基于CIF-OPT算法，針對兩個不同的地區(qū)從算法的迭代次數(shù)方面、目標函數(shù)值的差距等方面進行對比，結(jié)果如圖6～7所示?？梢钥闯鏊惴ㄊ諗康牡螖?shù)與圖像大小并沒有明顯的線性關(guān)系。因圖7量級很小，故兩個地區(qū)的目標函數(shù)值非常接近，即CIF-OPT算法的函數(shù)最優(yōu)值并不會因為圖像大小和像素的不同而產(chǎn)生顯著的變化。

圖5 不同噪聲水平下4種耦合分解算法的誤差值比較Fig. 5 Error values comparison of 4 coupled decomposition algorithms with different noise level

圖6 不同地區(qū)下耦合分解算法的迭代次數(shù)比較Fig. 6 Iteration times comparison of coupled image decomposition algorithms in different regions

圖7 不同地區(qū)下的目標函數(shù)值比較Fig. 7 Object function values comparison in different regions

另外，通過所提出的CIF-OPT的優(yōu)化算法，本文對缺失數(shù)據(jù)的耦合多光譜圖像和全色圖像進行了缺失數(shù)據(jù)的恢復(fù)，本實驗的缺失數(shù)據(jù)發(fā)生在地區(qū)二的多光譜圖像中，其中全色的圖像的數(shù)據(jù)都是已知的，算法的具體結(jié)果如圖8～9所示。通過觀察經(jīng)CIF-OPT算法恢復(fù)后的數(shù)據(jù)曲線可知，缺失數(shù)據(jù)為30%的耦合圖像的數(shù)據(jù)恢復(fù)效果比缺失數(shù)據(jù)50%的恢復(fù)效果更好，即真實值與估計值之間的關(guān)系在缺失數(shù)據(jù)為30%時表現(xiàn)出更強的相關(guān)性，且線性斜率更接近于1。

通過圖10可以看出，目標函數(shù)值并沒有隨著缺失數(shù)據(jù)百分比的增加而增加，即算法的最優(yōu)值并沒有隨著缺失數(shù)據(jù)的增加而逐步變差。在缺失數(shù)據(jù)為15%和40%時，目標函數(shù)值更大一些；相反在缺失數(shù)據(jù)為40%以上，最優(yōu)值反而降低。說明CIF-OPT算法對丟失數(shù)據(jù)方面具有強的恢復(fù)性，也體現(xiàn)了耦合圖像對圖像恢復(fù)算法的重要性。通過最優(yōu)值的數(shù)值比較，也表明經(jīng)過CIF-OPT算法后圖像恢復(fù)效果并無太大的差別，但是存在個別奇異值。

圖8 缺失數(shù)據(jù)為30%的耦合圖像的數(shù)據(jù)估計Fig. 8 Data estimation of coupled image with 30% missing data

圖9 缺失數(shù)據(jù)為50%的耦合圖像的數(shù)據(jù)估計Fig. 9 Data estimation of coupled image with 50% missing data

圖10 不同缺失數(shù)據(jù)下的估計目標函數(shù)值Fig. 10 Estimation of function values with different missing data

本文分析不同缺失數(shù)據(jù)百分比下的估計誤差，如圖11所示，結(jié)果表明缺失值估計誤差大致上呈現(xiàn)上升的趨勢，即丟失的數(shù)據(jù)越少，經(jīng)過恢復(fù)后的精確度越高，但是在缺失數(shù)據(jù)為20%和30%時出現(xiàn)了局部峰值，之后的誤差隨著缺失數(shù)據(jù)百分比而單調(diào)增加。因CIF-OPT算法主要通過耦合圖像恢復(fù)原始缺失數(shù)據(jù)的圖像，而耦合圖像數(shù)據(jù)已知，故缺失數(shù)據(jù)百分比和估計誤差在函數(shù)關(guān)系上并沒有表現(xiàn)出強的相關(guān)性，而這也表明了CIF-OPT算法較強的數(shù)據(jù)恢復(fù)能力。

圖11 不同缺失數(shù)據(jù)下的估計誤差Fig. 11 Estimation error with different missing data

4 結(jié)語

本文提出針對耦合圖像分解的CIF-OPT算法，主要利用耦合數(shù)據(jù)融合中的CMTF-OPT算法。相應(yīng)的實驗結(jié)果表明，不同噪聲影響下耦合圖像融合后的效果具有很強的魯棒性，且融合效果優(yōu)于CMTF-OPT算法，這說明該算法對耦合圖像的分解具有可行性；同時，將耦合數(shù)據(jù)融合中改進后的CMTF算法(即ACMTF算法)應(yīng)用到耦合圖像中形成ACIF算法。

通過實驗結(jié)果的對比發(fā)現(xiàn)，在噪聲水平低的條件下，CIF-OPT比ACIF算法具有更好的融合效果，且算法收斂次數(shù)、估計誤差均低于ACIF算法。針對其中缺失數(shù)據(jù)的圖像，CIF-OPT算法可以通過與其耦合的圖像在一定概率下對缺失數(shù)據(jù)的圖像進行精確的恢復(fù)，圖像恢復(fù)效果并不因缺失百分比的增加產(chǎn)生較大的差別，且估計誤差也比較穩(wěn)定。當然，雖然本文算法對圖像數(shù)據(jù)能夠進行較好的融合，但是在算法的過程中存在個別非正數(shù)據(jù)噪聲，使得圖像數(shù)據(jù)的顯示存在一定的誤差，因此，將來要將重點放在研究非負耦合張量之間的數(shù)據(jù)融合工作。