渠慎情

教材中的流程框圖與偽代碼都是算法的外在體現(xiàn)形式，而算法的本質(zhì)就是對一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法.在我們的高中數(shù)學(xué)必修一與必修二教材里，處處閃耀著算法思想的光輝，

函數(shù)解題循套路

函數(shù)的學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)的重中之重.會學(xué)，妙不可言；不會學(xué)，玄之又玄.其實，學(xué)習(xí)函數(shù)也有機(jī)械的、統(tǒng)一的學(xué)法.

我曾這樣說過：函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性及周期性像朵朵花兒，靜靜地生長在函數(shù)這條枝蔓上，因此，要想學(xué)好函數(shù)，就要一一學(xué)好函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性及周期性.各個擊破，融會貫通，你的函數(shù)也就學(xué)好了.

下面找些與函數(shù)有關(guān)，且很有算法風(fēng)格的問題與大家共同探討.

一、證函數(shù)單調(diào)性

證明或是判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性時，大家常會看到一個個很好的套路或步驟，如“一取二比三定論”：取值，作差（商），比較，下結(jié)論（或設(shè)量，作差（商），判號，比較，下結(jié)論）.雖然，學(xué)無定法，但是證明函數(shù)是否單調(diào)的機(jī)械性與統(tǒng)一性在這里還是體現(xiàn)得淋漓盡致，當(dāng)然，上面的任何一個具體的套路，都能很好地解決函數(shù)的單調(diào)性問題，

可以用流程圖來表達(dá)上面的某些步驟，如圖1所示：

二、判函數(shù)奇偶性

判斷函數(shù)的奇偶性，也是有章可循的。

一般地，先求定義域，再判斷定義域是否關(guān)于數(shù)零對稱，若不對稱，則函數(shù)非奇非偶，否則繼續(xù)判斷函數(shù)f（-x）與f（x）是相等還是相反關(guān)系.

若f（-x）與f（x）是相等關(guān)系，則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；若f（-x）與f（x）是相反關(guān)系，則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；若.f（-x）與f（x）既相等又相反，則函數(shù)f （x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若f（-x）與f（x）既不相等也不相反，則函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，如圖2所示：

三、定函數(shù)零點區(qū)間

在判定圖象不間斷的函數(shù)的某一零點是否在某區(qū)間內(nèi)時，結(jié)合二分法，找尋零點所在區(qū)間的過程顯得十分機(jī)械化.

一般地，要先結(jié)合函數(shù)圖象，定下函數(shù)某一零點大致所在區(qū)間（a，b）（在此區(qū)間上有唯一零點），即對端點a與b求函數(shù)值f（a）與f（b），判斷f（a）.f（b）的正負(fù).若負(fù)，則零點在該區(qū)間內(nèi)；若正，則不符合我們的要求，找到符合要求的區(qū)間（a，6）后，結(jié)合區(qū)間中點二分該區(qū)間，得區(qū)間（a，a+b/2）與（a+b/2，b），然后對這兩個區(qū)間繼續(xù)求端點值，判斷端點值乘積的正負(fù)，依此類推……

除了函數(shù)到處體現(xiàn)著算法的思想，立體幾何、解析幾何中算法的思想也是無處不在，

“立幾”、“解幾”有算法

高中立體幾何（有時簡稱“立幾”）的問題中，證明線面平行與線面垂直是最常見的.而這里也有機(jī)械統(tǒng)一的解決問題的思想方法.

一、環(huán)環(huán)相扣論線面

如圖3，看看證明線面平行的一般步驟：先找線線平行，再說明一條直線在面內(nèi)，一條直線在面外.如此三步，線面平行證得，

如圖4，再看看線面垂直：證線線垂直，再證線線垂直，弄清線線相交，最后說明兩線在面內(nèi).此乃證明線面垂直之五步.

四個公理、三個推論、八個定理構(gòu)建起高中立體幾何證明的依據(jù)平臺，再加上一定的邏輯表達(dá)，即可證明直線與平面之間的平行和垂直關(guān)系.

立體幾何如此，解析幾何（有時簡稱“解幾”）亦如此.

二、步步嚴(yán)謹(jǐn)求切線

在直線與圓的位置關(guān)系中還是有些值得探討的問題，下面就來看看在直線與圓之間有何問題能機(jī)械統(tǒng)一地求解，

若已知點的坐標(biāo)，如何求過該已知點的圓的切線方程呢？

第一步要做什么呢？設(shè)切線的斜率嗎？不是！

第一步是要判斷已知點與圓的位置關(guān)系，即點在圓外，圓內(nèi)，還是圓上.這樣，如果點在圓外，則必有兩條切線；如果點在圓上，則僅有一條切線；如果點在圓內(nèi)，則過點的直線必與圓相交，絕不相切.若點在圓外，且僅求得一條切線的方程，則要看看你是否少了一條斜率不存在的切線，

第二步，又要怎么做呢？設(shè)切線的斜率嗎？還不是！

看切線的斜率是否存在，結(jié)合圖形，若斜率不存在滿足與圓相切，則得一切線；若切線的斜率都存在，則可執(zhí)行第三步，

第三步，設(shè)切線的斜率為k，根據(jù)直線與圓的相切的關(guān)系，由“圓心到直線的距離d等于圓的半徑r”構(gòu)造關(guān)于參數(shù)k的方程，繼而解之，得k.

第四步，由已知點與所求k確定直線的方程，

簡言之，判定點與圓的位置關(guān)系，確定切線斜率存在與否，設(shè)直線斜率并求之，最后得方程.如圖5所示：

依據(jù)上面四步，可求圓的切線方程.此法可機(jī)械且統(tǒng)一地解決如此一類問題，算法思想便再次得以體現(xiàn)，當(dāng)然，算法并不唯一，上面的四步自然也不是求圓切線方程的唯一方法.

三、點點明確定未知

曾無數(shù)次在課堂上向?qū)W生們夸下?？凇灰o我三角形的三個頂點的坐標(biāo)，你讓我求啥，我就能求啥！其實，只要掌握了解決問題的關(guān)鍵方案，你也能輕松解決問題，

學(xué)生們最喜歡問的一個問題是：已知三角形的三個頂點的坐標(biāo)，如何求它的內(nèi)切圓方程.

我們分析一下：

求內(nèi)切圓的方程，就是求圓的方程；要求圓的方程，就要求該圓圓心坐標(biāo)與半徑大??；求三角形內(nèi)切圓的圓心，就是求該三角形的內(nèi)心，即角平分線的交點；要求角平分線的交點，要先求角平分線的方程，而求角平分線的方程才是大家認(rèn)為內(nèi)切圓難求的主要原因，

如何求角平分線的方程呢？

有一種方法是這樣的：設(shè)角平分線上任意一點的坐標(biāo)為（x，y），則該點到相應(yīng)兩邊的距離相等，根據(jù)該條件構(gòu)造關(guān)系式，簡化關(guān)系式后得到的方程就是角平分線的方程，簡言之，設(shè)點，構(gòu)造方程，化簡.

如此，再求另一條角平分線的方程，繼而求兩角平分線的交點，即為三角形的內(nèi)心，也就是該三角形內(nèi)切圓的圓心，

如何求半徑呢？圓心到任意一邊的距離就是圓的半徑.那么，邊所在直線的方程怎么求呢？呵呵，你懂的，

上面說得看似有點復(fù)雜，畫個簡單的流程圖就容易看懂：

算法，未必是一個框圖、一個偽代碼.有時，它更是一種思想.按部就班的套路.機(jī)械統(tǒng)一的解決問題的方案，就是算法.無論是函數(shù)，還是立體幾何，解析幾何，探索數(shù)學(xué)未知的路還很長.借助算法的原則性，您可以不斷地總結(jié)出一些有用的經(jīng)驗，再加上您思維的靈活性，以不變應(yīng)萬變，也許，您在這條學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的路上能走得更順一些！