吳 洋, 楊平先, 陳明舉

(四川理工學院自動化與信息工程學院， 四川 自貢 643000)

引 言

圖像去噪就是將受噪聲污染的圖像恢復成原始無噪聲干擾的圖像。圖像去噪實際上是一個不可逆的病態(tài)過程，圖像在去除噪聲過程中，其重要信息(如邊緣和輪廓)不可避免地產(chǎn)生模糊，這就使得保持圖像特征與去噪相互矛盾。在過去的20多年里，變分法和偏微分方程方法在消除噪聲和保護邊緣之間的平衡中已經(jīng)被證明是非常成功的?！俺叨瓤臻g”的概念最早是由Iijima提出的，并在80年代由Witkin[1]、Koenderink[2]和Hummel[3]等首先指出該多尺度描述從理論上可視作各向同性的線性偏微分方程。線性偏微分方程是對整個圖像進行均勻濾波，這等價于一個帶有高斯內核的平滑過程。然而，這個過程被發(fā)現(xiàn)是有問題的，因為在線性擴散的幾次迭代之后，所有邊緣特征都被抹去了。為了彌補在線性空間理論中遇到的困難，Perona和Malik于1990年提出了非線性各向異性擴散方程(PM模型)[4]來解決這個問題。PM模型是利用梯度算子來辨別由噪聲引起的圖像梯度變化和由邊緣引起的圖像梯度變化，然后用鄰域加權平均去除由噪聲引起的小梯度變化，同時保留由邊緣引起的大梯度變化從而消除噪聲。但該模型不能有效區(qū)分噪聲和邊緣，并且在圖像平滑區(qū)域會過度擴散，導致去噪后圖像出現(xiàn)分片灰度常數(shù)區(qū)域，即“塊效應”現(xiàn)象。隨后，一些學者提出了一些改進算法[5-9]，如基于差分特征值的自適應PM模型[5]、基于PM模型的改進SART圖像重建算法[6]、以及基于各向異性擴散驅動處理的魯棒性邊緣檢測算法[7]等。

為消除PM模型的階梯效應并進一步增強圖像邊緣，本文在PM模型中引入了極小化原圖像等照度線方向[10-12]的梯度項，提出了一種同時極小化圖像梯度項與原圖像等照度線方向的復合變分模型，并給出該模型的迭代求解過程。該模型有效地利用圖像梯度信息與圖像等照度線信息，在消除平滑區(qū)域階梯效應的同時增強圖像邊緣。

1 變分模型

令I為原始無噪聲圖像，u為被噪聲污染后的圖像，即u=I+n，式中n是均值為0、方差為σ2的高斯噪聲。圖像去噪通過對含噪圖像u進行處理來盡可能復原圖像I，擴散模型在圖像處理方面表現(xiàn)出較好的性能，Perona與Malik通過極小化圖像的梯度項提出著名的PM圖像去噪模型[4]：

(1)

式中：▽為梯度算子；|·|表示幅度；g(|▽u|)=1/(1+(|▽u|/k2))為擴散方程。PM模型的基本思想是根據(jù)|▽u|的大小來實現(xiàn)有選擇的擴散平滑。在理想狀態(tài)下，圖像的邊緣部分通常具有較大的梯度值，通過設置擴散方程g(|▽u|)使模型在圖像邊緣實行較弱的平滑，以保持邊緣信息；平坦區(qū)域通常具有較小的梯度值，設置較大的擴散系數(shù)使圖像在平坦處實行較強的平滑。

利用歐拉-拉格朗日方程，相應的擴散方程可寫成[13]：

(2)

2 圖像的等照度線

圖像的等照度線就是曲面上具有相同光照度的點所形成的曲線，在圖像中，指具有同一等級的灰度值的像素點連成的線。因此可以說同一等照度線上，所有像素點的灰度值相等或差異不大。由于等照度線彼此不相交，圖像可以被它的等照度線充分描述。

定義{v，w}為參考坐標系，系統(tǒng)向量w和v的定義如下：

(3)

式中：ux、uy是圖像亮度函數(shù)u(x,y)分別沿x、y方向的一階導數(shù)。在此系統(tǒng)中沿w方向的導數(shù)是梯度本身，而在v方向(垂直于梯度)上的導數(shù)為0(沿等照度線無強度變化)。等照度線的坐標關系圖如圖1所示。

圖1 等照度線坐標關系圖

在圖1所示的坐標系統(tǒng)中，等照度線被定義為u(v,w(v))=constant，它的曲率w″定義為切線矢量w′的變化。通過隱函數(shù)微分的定義對等照度線微分，有：

(4)

從規(guī)范條件可以知道uv=0，可知w′=0。再對v微分，得到：

uvv+2uvww′+uvww′2+uww″=0

(5)

已知w′=0時，求解等照度線曲率κ=w″，得到等照度線的曲率：

(6)

在笛卡爾坐標系中，曲率公式表述為：

(7)

本文采用文獻[14]中提出的等照度線曲率公式：

(8)

式中：f為u的高斯卷積函數(shù)。值得注意的是，在數(shù)學上曲率表示函數(shù)圖像內切圓半徑的倒數(shù)，式(7)的公式前帶有負號，但是在后面的式(11)中，擴散不只沿內切圓徑向進行，還可能沿著其反方向進行，這取決于等照度線的形狀和擴散方向，所以等式(8)保留了曲率符號。

3 結合等照度信息的復合變分模型

為了更有效地利用圖像的結構信息，將原圖像的等照度信息引入到變分模型中以克服PM模型的缺點。將極小化等照度線方向的梯度項引入到PM變分模型中，建立結合等照度信息的復合變分模型，如下式所示：

(9)

式中：k1、k2為平衡系數(shù)；ux、uy分別為圖像u在x、y方向的導數(shù)；fx、fy分別為圖像I在x、y方向的導數(shù)；nx、ny分別為圖像I等照度線方向的單位矢量，其定義為：

(10)

式(9)表示的模型中，(ux,uy)(nx,ny)實際上是求兩矢量的內積，即圖像u在圖像I的等照度線方向的梯度。該模型同時對圖像的梯度與等照度信息求取極小化，能有效地區(qū)分圖像的邊緣與噪聲，去噪的同時能更有效地增強圖像結構邊界信息。

對該模型利用梯度下降法求解極小化問題為：

(11)

4 實驗與分析

為證明所提出的算法能在去噪的同時也能更有效地增強圖像的邊緣，將提出的復合模型與TV模型[15]、文獻[16]提出的模型以及PM模型從主觀與客觀上進行了比較分析。實驗中采用256×256的灰度圖像，客觀方面采用信噪比(Signal-Noise Ratio，SNR)與結構相似度(Structural Similarity，SSIM)作為評價標準。信噪比與結構相似度定義如下：

信噪比：

(12)

結構相似度：

(13)

式中：u0是原圖像；u*是去噪后的圖像；M和N是圖像的尺寸；σu*與σu0是u*與u0的標準差；μu*與μu0是u*與u0的協(xié)方差。實驗中對不同的圖像加入不同強度的高斯噪聲，分別采用TV模型、文獻[16]提出的模型、PM模型以及本文模型進行對比試驗，結果如圖2～圖4所示。

圖2 Pepper圖像去噪實驗結果

圖3 Cameraman圖像去噪實驗結果

圖4 Cameraman去噪實驗結果局部放大圖

圖2與圖3給出“Pepper”與“Cameraman”圖像采用幾種變分模型的去噪結果，并在圖4中給出了“Cameraman”圖像去噪實驗結果的局部放大圖。從圖中可以看出，TV模型雖然有效去除了圖像中的噪聲，但卻過度模糊了圖像邊緣，造成更多圖像細節(jié)的丟失。文獻[16]提出的模型細節(jié)失真比較嚴重，對比圖2可知，雖然文獻[16]模型有效保留了部分邊緣細節(jié)信息，但在處理過程中會對圖像的邊緣輪廓造成破壞，從而產(chǎn)生鋸齒現(xiàn)象，同時從圖3的處理結果可以看出，文獻[16]模型在處理過程中會對圖像背景信息產(chǎn)生過度平滑，造成圖像中建筑物部分的細節(jié)丟失。PM模型存在較強的階梯效應，并且當圖像中噪聲較為嚴重時，PM模型不能有效去除圖像噪聲，去噪性能較差。本文的復合模型在去噪的同時有效地克服了PM模型的階梯效應，由于處理過程中加入了圖像的等照度線信息，充分考慮了圖像的結構信息，在圖像的邊緣與輪廓信息上都實現(xiàn)了較好的增強，從而獲得較好的去噪性能。

表1給出了不同圖片受不同方差σ2的高斯干擾下采用不同模型去噪后的SNR與SSIM。從表1可知，本文的復合模型與PM模型相比，SNR與SSIM有一定的提高，在幾種模型中，本文的復合模型具有最高的SNR與SSIM。這是由于本文提出的復合模型有效地結合了圖像的等照度線信息和圖像梯度，在增強圖像邊緣的同時抑制了圖像梯度方向的過度擴散，較好地保留了更多圖像細節(jié)信息，使處理后的圖像更接近原圖像。

表1 仿真圖像的SNR和SSIM比較

5 結束語

目前，PM模型廣泛應用到圖像去噪領域，但是PM模型在強噪聲干擾環(huán)境下容易產(chǎn)生階梯效應現(xiàn)象，圖像梯度不能較好地區(qū)分噪聲和圖像邊緣。為克服這一缺陷，將原始圖像的等照度信息引入到變分模型中，充分利用原圖像的結構信息，提出了一種同時處理圖像梯度與等照度信息的復合模型。實驗中通過與TV模型、文獻[16]提出的模型以及PM模型進行對比分析，證明本文的復合模型可以有效解決并消除平滑區(qū)域的階梯效應，增強圖像的邊緣，具有較好的去噪性能，并在圖像視覺效果上也取得了很大改善。