田樹剛 陳清軍,*

(1.同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092; 2.同濟(jì)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所,上海 200092)

0 引 言

土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用問(wèn)題中土體邊界條件的設(shè)置方式以及遠(yuǎn)場(chǎng)地基土體的簡(jiǎn)化模型有較大的研究?jī)r(jià)值和較強(qiáng)的研究意義。研究土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用問(wèn)題過(guò)程中的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)是對(duì)人工邊界的處理,一般做法是從無(wú)限地基域割離出一定范圍的近場(chǎng)地基,近似地認(rèn)為這一部分地基土體對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的影響代表了無(wú)限地基域?qū)Y(jié)構(gòu)的影響。這樣就引出了人工截?cái)噙吔绲膯?wèn)題。在截?cái)噙吔缟洗嬖诓ǖ姆瓷?反過(guò)來(lái)影響結(jié)構(gòu)的反應(yīng),有阻尼時(shí),這種反射波的能量逐漸被阻尼消散,無(wú)阻尼時(shí),其將在土-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)內(nèi)震蕩。

如何降低土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用問(wèn)題中人工截?cái)噙吔缣幉▌?dòng)反射的影響是一個(gè)熱點(diǎn)研究課題。目前已有一些方法可以一定程度的解決這個(gè)問(wèn)題,其中黏彈性人工邊界方法是一種應(yīng)用較多的邊界處理方法,能達(dá)到有效的耗能目的,如文獻(xiàn)[1-2]在高拱壩及地鐵車站的地震響應(yīng)的影響因素分析中應(yīng)用了黏彈性人工邊界條件來(lái)解決邊界反射問(wèn)題,文獻(xiàn)[3-4]在土-橋梁結(jié)構(gòu)及土-風(fēng)電塔結(jié)構(gòu)的動(dòng)力相互作用分析中使用了黏彈性人工邊界作為透射邊界,文獻(xiàn)[5-6]將黏彈性人工邊界應(yīng)用到懸臂擋土墻及高架罐體的土結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用研究中。文獻(xiàn)[7-8]研究了成層地基黏彈性人工邊界的波動(dòng)輸入方法及多源輸入條件下的黏彈性人工邊界方法等。研究表明,動(dòng)力無(wú)限元邊界條件也能較好的實(shí)現(xiàn)從有限元到無(wú)限元的能量衰減效果,如文獻(xiàn)[9]在高速鐵路路堤震動(dòng)問(wèn)題的研究中應(yīng)用了動(dòng)力無(wú)限元邊界,文獻(xiàn)[10]將動(dòng)力無(wú)限元邊界條件應(yīng)用于不同幾何類型及底層條件的邊坡的地震放大效應(yīng)的研究中,文獻(xiàn)[11]在研究地下工程數(shù)值計(jì)算中輸入地震動(dòng)的方法中應(yīng)用了動(dòng)力無(wú)限元單元作為人工截?cái)噙吔鐥l件,文獻(xiàn)[12]研究了ABAQUS中的動(dòng)力無(wú)限遠(yuǎn)人工邊界的基本原理等。在地基土體的人工截?cái)噙吔绲奶幚碇?遠(yuǎn)置側(cè)向邊界條件也被廣泛使用,其中一個(gè)主要的研究點(diǎn)是側(cè)向邊界尺寸的確定,如文獻(xiàn)[13]對(duì)土層隨機(jī)地震反應(yīng)分析中側(cè)向人工邊界的選取進(jìn)行了研究,提出了確定土體側(cè)向邊界尺寸的方法,文獻(xiàn)[14]研究了水平成層土層有限土層范圍的選取對(duì)計(jì)算精度的影響,并應(yīng)于與河谷上拱形結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算中。土-結(jié)構(gòu)相互作用問(wèn)題中,狹義的邊界條件只是為了減弱邊界波動(dòng)反射對(duì)結(jié)構(gòu)的影響而設(shè)置,如遠(yuǎn)置自由邊界,耗能邊界,透射邊界等,廣義的邊界條件也可以包括兩步法(子結(jié)構(gòu)方法)的推廣,等效處理遠(yuǎn)場(chǎng)地基土對(duì)近場(chǎng)地基-結(jié)構(gòu)體系的作用。如文獻(xiàn)[15-17]提出的土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用的簡(jiǎn)化計(jì)算模型,保留近場(chǎng)地基,遠(yuǎn)場(chǎng)土用理想匹配土層PML (perfect matched layer)代替,并通過(guò)阻抗函數(shù)(impedance function)來(lái)近似確定遠(yuǎn)場(chǎng)土對(duì)近場(chǎng)土-結(jié)構(gòu)的作用,并用與頻率相關(guān)的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。耗能邊界的設(shè)置可減小計(jì)算量,但其應(yīng)用需要一些額外工作和一些特殊的輸入方法。遠(yuǎn)置自由邊界對(duì)于大型土-結(jié)構(gòu)相互作用問(wèn)題的計(jì)算成本較高,但對(duì)于小型或者一些簡(jiǎn)單的二維模型計(jì)算成本相對(duì)可以接受且操作簡(jiǎn)單,其物理模型更接近真實(shí)情況,能達(dá)到與設(shè)置了耗能邊界模型相近的計(jì)算效果。

本文基于彈性波在水平成層土層中的傳播理論,提出一種操作簡(jiǎn)單的確定土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用問(wèn)題中土體自由邊界尺寸的等效土柱模型方法,以一個(gè)土-地下隧道結(jié)構(gòu)為例,通過(guò)等效土柱模型方法確定了其合理的土體自由邊界尺寸,并與粘彈性人工邊界近似法及動(dòng)力無(wú)限元邊界方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比印證,分析了不同邊界條件的設(shè)置對(duì)隧道結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響,同時(shí)為解決土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用問(wèn)題中邊界條件的設(shè)置提供了一定的參考。

1 基本理論與方法

1.1 問(wèn)題描述

在土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用問(wèn)題中,往往人為切割出部分近場(chǎng)土域地基作為無(wú)限地基土體對(duì)結(jié)構(gòu)作用的近似。圖1為實(shí)際無(wú)限半空間模型及人工截?cái)嗄Ｐ褪疽狻?/p>

圖1 土-結(jié)構(gòu)相互作用體系土體人工邊界處理Fig.1 Half space soil foundation and artificial soil boundary

需要尋求適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決彈性波在人工截?cái)噙吔缟系膫鞑?wèn)題,如不對(duì)截?cái)噙吔缱鎏厥馓幚?在其上會(huì)產(chǎn)生波的反射,反過(guò)來(lái)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的附加反應(yīng),需把這種邊界反射效應(yīng)降低到可接受的范圍。處理這個(gè)問(wèn)題最簡(jiǎn)單的方法是設(shè)置遠(yuǎn)置自由人工邊界,即土體橫向范圍取得足夠遠(yuǎn)。遠(yuǎn)置自由邊界尺寸的選取需滿足兩方面的要求:一是尺寸不能太大以至增加計(jì)算量,費(fèi)時(shí);二是尺寸不能太小,以至不能將邊界反射對(duì)結(jié)構(gòu)的影響降低到一定程度。

1.2 等效土柱模型確定水平成層土體自由邊界尺寸

在土-地下結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用問(wèn)題中,地下結(jié)構(gòu)的存在對(duì)土-結(jié)構(gòu)體系在其人工截?cái)噙吔绮课坏耐馏w反應(yīng)是有影響的,但這種影響隨著人工截?cái)噙吔绯叽绲脑黾映尸F(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì),且逐漸趨近于水平成層的無(wú)限半空間土體受相同激勵(lì)下的反應(yīng),而水平成層無(wú)限半空間土體可以用等效土柱代替。地震工程中常將覆蓋土層及下臥基巖簡(jiǎn)化為物理力學(xué)指標(biāo)豎向成層變化,橫向均勻的半無(wú)限空間[18],據(jù)文獻(xiàn)[19-20]對(duì)波在土柱中的傳播理論的闡述,如果只考慮地震動(dòng)的水平分量,則地震波在水平土層中的傳播就可以簡(jiǎn)化為剪切運(yùn)動(dòng),即與土柱軸向垂直的橫向運(yùn)動(dòng)(u)在土柱中的傳播。置于基巖上的水平土層如圖2所示,假設(shè)基巖輸入位移為ug(t),則距離土體頂部z深度處dz部分土柱隔離體上所受的力主要有慣性力、黏性力以及上下相鄰?fù)馏w作用其上的剪力的差值,其運(yùn)動(dòng)方程為[19]:

圖2 基巖輸入水平剪切地震作用時(shí)半無(wú)限土層截面及其邊界條件Fig.2 Half space soil layer and its boundary conditions

(1)

其中,上下相鄰?fù)馏w對(duì)隔離體剪力的差值為

(2)

方程的解可以表達(dá)為

(3)

式(3)中Xn(t)滿足如下條件:

(4)

式(4)可用逐步積分法求解,如Newmark 方法等。在水平單向輸入地震動(dòng)作用下,土柱運(yùn)動(dòng)方程的解也是與其對(duì)應(yīng)的水平成層半無(wú)限空間土體運(yùn)動(dòng)方程的解?；谝陨贤评?提出一種簡(jiǎn)單的確定土體自由邊界尺寸的方法。該方法的主要思路是建立土體側(cè)向邊界尺寸為大于10倍、20倍及30倍地下結(jié)構(gòu)橫向尺寸的整數(shù)的土-結(jié)構(gòu)相互作用模型及同條件下可以代表水平成層的半無(wú)限空間的等效土柱模型,見圖3,對(duì)二者輸入相同的地震動(dòng),對(duì)比土柱與土-結(jié)構(gòu)體系土域邊界處頂部土體反應(yīng)即圖中的輸出a和輸出b,計(jì)算二者的相對(duì)誤差,并建立相對(duì)誤差隨土-結(jié)構(gòu)相互作用模型土體側(cè)向邊界尺寸的回歸曲線,反過(guò)來(lái)可以通過(guò)該回歸曲線標(biāo)定相對(duì)誤差為5%時(shí)的土-結(jié)構(gòu)相互作用模型的土體側(cè)向邊界尺寸。所選取的比較參照點(diǎn)是基于認(rèn)為在基巖輸入地震動(dòng)作用下,土-結(jié)構(gòu)相互作用體系中的遠(yuǎn)場(chǎng)土體反應(yīng)與代表無(wú)限半空間土柱的土體反應(yīng)接近時(shí),結(jié)構(gòu)的存在對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)土體的反應(yīng)影響甚微,反過(guò)來(lái)認(rèn)為所取的土體尺寸已經(jīng)足夠大,波的邊界反射效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)反應(yīng)影響甚小這一邏輯。需指出這里暫未考慮半無(wú)限空間出平面SH波的影響。當(dāng)有土層的剪切模量比及阻尼比與剪應(yīng)變的關(guān)系曲線數(shù)據(jù)時(shí),等效土柱模型可以用SHAKE或EERA等土層等效線性化動(dòng)力分析程序代替,如上相同的操作同樣可以確定土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用模型的土體側(cè)向邊界的尺寸。

圖3 水平成層無(wú)限半空間等效土柱校準(zhǔn)土-結(jié)構(gòu)相互作用體系土體邊界示意Fig.3 Half space soil foundation and artificial soil boundary

1.3 黏彈性人工邊界近似法及動(dòng)力無(wú)限元邊界方法

以下列出黏彈性人工邊界近似法的邊界元件剛度及阻尼系數(shù)的基本公式,羅列了動(dòng)力無(wú)限元邊界的基本方程及其在ABAQUS中的實(shí)現(xiàn)。

1.3.1黏彈性人工邊界近似法

二維黏彈性人工邊界在ABAQUS中的邊界彈簧的切向的彈簧的剛度系數(shù)KT和阻尼系數(shù)CT及法向彈簧的剛度KN和阻尼系數(shù)CN見公式(5)[8]。

(5)

地震波在土層中的縱波及橫波波速見式(6)

(6)

式中:ρi為第i層土的密度;r為人工邊界點(diǎn)到波源的距離,近似可以取近場(chǎng)結(jié)構(gòu)幾何中心到要施加人工邊界的邊界線或者邊界面的距離;λ和G為拉梅常數(shù);E和μ分別為彈性模量和泊松比,以上均滿足i=1～n,分別代表自上而下的各大類地基土層;αT和αN為相關(guān)的系數(shù)。

黏彈性人工邊界的輸入需要做一些特殊處理,需以等效荷載的形式施加在底部邊界和側(cè)向邊界上,等效荷載計(jì)算公式及輸入方法可參考文獻(xiàn)[20]等。

1.3.2動(dòng)力無(wú)限元邊界

ABAQUS軟件自帶一種吸能邊界單元-無(wú)限元單元,是由無(wú)限元靜力人工邊界和黏性動(dòng)力吸收邊界組合而成,該單元能夠較好地模擬無(wú)限地基的輻射阻尼且能模擬無(wú)限遠(yuǎn)處位移為零的邊界條件[21]。ABAQUS動(dòng)力分析中的無(wú)限元是基于Lysmer和Kuhlemeyer的研究成果。動(dòng)力分析中無(wú)限元的材料是線彈性的,其平衡方程為

(7)

(8)

界面上的阻尼力為

(9)

式中:d是阻尼系數(shù)。

(10)

三維情形只需更改一下波速的公式,即

(11)

按式(11)計(jì)算阻尼系數(shù)即可實(shí)現(xiàn)邊界上無(wú)反射波的條件。ABAQUS中無(wú)限元的設(shè)置需要結(jié)合CAE和修改Input文件同時(shí)操作來(lái)實(shí)現(xiàn)。在CAE中,有限元和無(wú)限元可只建一個(gè)Part,后用Partition工具將有限元與無(wú)限元分離。無(wú)限元的材料特性與其對(duì)應(yīng)的有限元部分的線彈性部分一致,定義屬于無(wú)限元的Section上選擇與其相應(yīng)的線彈性材料,后將其賦予對(duì)應(yīng)的無(wú)限元區(qū)域。無(wú)限元的Mesh Control選Sweep技術(shù),Sweep的方向指向無(wú)限地基域的方向,且沿其長(zhǎng)度方向只劃分一個(gè)單元。為做區(qū)分,無(wú)限元單元類型可以選擇與有限元部分不一致的單元類型,例如,有限元單元類型為CPE4R,無(wú)限元的單元類型可以設(shè)置為CPE4RH,或者選Acoustic單元AC2D4(三維情形選AC3D8R)。寫Input文件,將Input文件中的無(wú)限元單元類型改成CINPE4 (三維為CIN3D8),將更改后的Input文件提交求解器計(jì)算。假設(shè)從有限元-無(wú)限元交界處輸入的地震動(dòng)即為實(shí)際傳播到模型基巖處的地震動(dòng),由于無(wú)限元單元只是對(duì)從有限元區(qū)域向外傳播的波有效,如此能滿足內(nèi)源入射的假定,其輸入方式以等效力的形式輸入。需明確的是,為模型施加了無(wú)限元單元相當(dāng)于已經(jīng)為模型施加了邊界條件,故除了在模型土體底部有限元與無(wú)限元交界處輸入地震動(dòng)之外,無(wú)須再施加其他邊界約束條件,這里暫未考慮外域地震波動(dòng)對(duì)無(wú)限地基域輻射阻尼的影響。

2 算例

2.1 工程背景及數(shù)值模型

以某沉管隧道工程為背景,應(yīng)用等效土柱方法確定其側(cè)向自由邊界尺寸,并與黏彈性人工邊界近似法及動(dòng)力無(wú)限元邊界的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。該工程隧道典型橫截面設(shè)計(jì)見圖4。

圖4 隧道典型橫斷面設(shè)計(jì)圖(單位:cm)Fig.4 Representative cross section of immersed tube tunnel (Unit:cm)

據(jù)地勘提供的土層資料,將隧道場(chǎng)區(qū)土層歸為四大土類,自上而下分別是淤泥、粉質(zhì)黏土、粉細(xì)砂及粗砂、風(fēng)化巖。土層材料物理力學(xué)指標(biāo)列于表1。

表1土層材料參數(shù)表

Table 1 Parameter table of soil

土體采用基于摩爾庫(kù)倫準(zhǔn)則的理想彈塑性本構(gòu)模型,并選用四節(jié)點(diǎn)四邊形雙線性平面應(yīng)變單元(CPE4R)。工程樁采用線彈性本構(gòu)模型,隧道周圍一般回填固定碎石、隧道底部的碎石墊層以及兩側(cè)的鎖定回填碎石均選用線彈性本構(gòu)模型,隧道混凝土采用塑性損傷本構(gòu)模型,該模型材料參數(shù)見表2。

表2混凝土塑性損傷本構(gòu)模型參數(shù)

Table 2 Concrete Damaged Plasticity model parameters

考慮到剪切波從基巖垂直入射,沿土層深度方向土層網(wǎng)格尺寸需滿足一定條件。這里,土層豎向網(wǎng)格尺寸需滿足

(12)

式中:Lmesh為沿土層深度方向的最大網(wǎng)格尺寸;Lwave為地震波的波長(zhǎng);Vs為土層的剪切波速,理論上應(yīng)以所有土層最小剪切波速來(lái)控制最大網(wǎng)格尺寸,依據(jù)勘察單位提供的剪切波速測(cè)試報(bào)告,取Vs=104.6 m/s;fcontrol為輸入地震動(dòng)的控制頻率,這里fcontrol取15 Hz。

最終沿土體深度方向網(wǎng)格尺寸定為0.8 m,模型橫向網(wǎng)格尺寸可以設(shè)定為沿深度方向網(wǎng)格尺寸的3～5倍,這里設(shè)定為4 m。

地基土體深度依勘察結(jié)果取102.3 m,據(jù)文獻(xiàn)[14]的建議,地基土體的長(zhǎng)深比應(yīng)大于7,即最小橫向尺寸應(yīng)大于716.1 m。為實(shí)現(xiàn)本文提出的確定地基橫向尺寸的方法,依照地基橫向尺寸不同分別建立10倍、20倍及30倍隧道橫向尺寸的模型,即分別為379.5 m,759 m,1 138.5 m,為方便可取整數(shù)即400 m、800 m (大于716.1 m)及1 200 m三種尺寸的遠(yuǎn)置邊界模型。400 m地基土體-地下結(jié)構(gòu)相互作用模型如圖5上右圖所示,1 200 m地基土體-地下結(jié)構(gòu)相互作用模型見圖5下,同時(shí)建立一個(gè)代表水平成層的半無(wú)限空間地基的等效土柱模型,土柱模型如圖5上左圖所示,其土層劃分以及輸入地震動(dòng)情況均與設(shè)置側(cè)向邊界的土-地下結(jié)構(gòu)模型相同。

據(jù)工程場(chǎng)地設(shè)計(jì)地震動(dòng)參數(shù)研究報(bào)告[22],選取多遇地震情形(ODE),即120年超越概率63%的地震動(dòng)進(jìn)行計(jì)算,調(diào)整輸入地震動(dòng)的幅值為0.53 m/s2。選取El Centro和Kobe 及該工程設(shè)計(jì)地震動(dòng)參數(shù)研究報(bào)中的一條人工波GZA作為輸入地震動(dòng),輸入地震動(dòng)加速度時(shí)程見圖6。

圖5 等效無(wú)限半空間地基土柱模型及地基-地下隧道結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)置旁軸邊界模型Fig.5 FE Model of horizontal layered half space soil column and foundation-tunnel far boundary interaction system

圖6 輸入地震動(dòng)加速度時(shí)程Fig.6 Input ground motion and its Fourier spectrum

2.2 等效土柱模型確定土-隧道體系側(cè)向邊界

經(jīng)計(jì)算,土柱的土層頂部加速度反應(yīng)時(shí)程與設(shè)置了不同側(cè)向邊界尺寸的土-結(jié)構(gòu)體系土體左側(cè)邊界頂部的加速度反應(yīng)時(shí)程對(duì)比如圖7所示,土柱模型的頂部反應(yīng)與400 m側(cè)向邊界模型的土體頂部反應(yīng)差值相對(duì)是最大的,隨著土-結(jié)構(gòu)體系側(cè)向邊界尺寸的增大,這種差異逐漸減小,當(dāng)增至1 200 m時(shí),二者加速度反應(yīng)基本一致,說(shuō)明當(dāng)不做其他吸能或透射邊界處理時(shí),此隧道工程的土體側(cè)向邊界尺寸取1 200 m即可基本忽略邊界反射的影響。

圖7 不同遠(yuǎn)置邊界尺寸模型與半無(wú)限空間土柱模型加速度反應(yīng)對(duì)比Fig.7 Comparison of response acceleration at soil corner between soil column and tunnel-soil systems

由圖8可知,土柱模型的頂部位移反應(yīng)與400 m側(cè)向邊界模型的土體頂部位移反應(yīng)相對(duì)是最大的,且比二者加速度反應(yīng)的差異更明顯。隨著側(cè)向邊界尺寸的增大,這種差異逐漸減小,直至土體側(cè)向邊界尺寸增至1 200 m時(shí),二者位移反應(yīng)基本一致,圖9更清楚地表達(dá)了三種尺寸的側(cè)向邊界模型加速度反應(yīng)及位移反應(yīng)與土柱的同項(xiàng)目反應(yīng)絕對(duì)誤差的遞增序列,得到的加速度及位移的誤差符合預(yù)期規(guī)律,即隨土-結(jié)構(gòu)相互作用模型側(cè)向邊界尺寸的增加,土-結(jié)構(gòu)相互作用體系人工截?cái)噙吔缣幫翆禹敳康奈灰坪图铀俣确磻?yīng)與能代表辦無(wú)限空間的土柱頂部的土體反應(yīng)的相對(duì)誤差是減小的規(guī)律。當(dāng)側(cè)向邊界為1 200 m時(shí),三條波輸入下的加速度及位移的相對(duì)誤差均相對(duì)較小。

圖8 不同遠(yuǎn)置邊界尺寸模型與半無(wú)限空間土柱模型位移反應(yīng)時(shí)程對(duì)比/mFig.8 Comparison of response displacement at soil corner between soil column and tunnel-soil system/m

圖9 絕對(duì)誤差的遞增序列Fig.9 Difference between far boundary model and soil column

土-結(jié)構(gòu)相互作用體系與等效土柱的相對(duì)誤差對(duì)比見圖10,從圖10(a)及圖10(b)的相對(duì)誤差直方圖可見,隨著土-結(jié)構(gòu)相互作用體系土體側(cè)向邊界尺寸的增加,加速度和位移的相對(duì)誤差是減小的規(guī)律。以三條波的均值相對(duì)誤差為基礎(chǔ)進(jìn)行線性回歸的結(jié)果見圖10(c),得到回歸方程后,可以得到滿足相對(duì)誤差為5%時(shí)所需的結(jié)構(gòu)側(cè)向邊界尺寸。當(dāng)相對(duì)誤差等于工程誤差5%時(shí),本例模型基于位移的相對(duì)誤差回歸曲線得到的土體邊界尺寸為1 012.53 m (約27倍隧道橫截面橫向尺寸),基于加速度的相對(duì)誤差回歸曲線得到的土體邊界尺寸為945.91 m (約25倍隧道橫截面橫向尺寸)。如果想控制相對(duì)誤差為2%以內(nèi),基于加速度校準(zhǔn)的邊界尺寸至少應(yīng)為1 173.48 m (約30倍隧道橫截面橫向尺寸),基于位移校準(zhǔn)的邊界尺寸至少應(yīng)為1 125.74 m (約31倍隧道橫截面橫向尺寸)。如果想消除這種相對(duì)誤差,土體側(cè)向邊界尺寸至少應(yīng)為1 325 m (32倍隧道橫截面橫向尺寸)。 最終采用等效土柱模型方法近似確定的地基-隧道相互作用體系的土體側(cè)向自由邊界尺寸選擇為1 200 m時(shí),可以控制相對(duì)誤差在2%以內(nèi)。

圖10 相對(duì)誤差對(duì)比/%Fig.10 Relative Error between far boundary model and soil column/%

表3相對(duì)誤差對(duì)比表

Table 3 Relative error

3 等效土柱模型確定的側(cè)向自由邊界與耗能邊界的對(duì)比

這里選用黏彈性人工邊界近似法及動(dòng)力無(wú)限元邊界進(jìn)行對(duì)比印證由等效土柱模型確定的側(cè)向自由邊界模型。據(jù)文獻(xiàn)[13]的研究成果,在土-結(jié)構(gòu)相互作用問(wèn)題中,對(duì)于黏彈性邊界模型,當(dāng)土體長(zhǎng)深比L/H>5時(shí),相對(duì)誤差可以控制在5%以內(nèi),本文所依托之隧道工程實(shí)際勘測(cè)土體最深處達(dá)102.3 m,故土體長(zhǎng)度方向尺寸應(yīng)大于511.5 m,這里取520 m。以520 m側(cè)向自由邊界模型為基礎(chǔ)分別建立黏彈性人工邊界模型及有限元-無(wú)限元邊界模型,與前述確定的1 200 m (相對(duì)誤差小于2%)側(cè)向自由邊界模型的結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)進(jìn)行了對(duì)比。

3.1 側(cè)向自由邊界與黏彈性人工邊界近似法對(duì)比

據(jù)式(5)、式(6)可以確定二維黏彈性人工邊界的輸入?yún)?shù)即邊界上彈簧單元的剛度系數(shù)和阻尼元件的阻尼系數(shù),具體數(shù)值列于表4中。這里取i=1～4,分別代表自上而下的淤泥、粉質(zhì)黏土、粉細(xì)砂及粗砂和風(fēng)化巖四大類地基土層。式中αT的取值范圍為[0.35～1.00],αN取值范圍[0.8～2.0],這里參考文獻(xiàn)[20,23],取αT=0.67,αN=1.33。

表4地基黏彈性人工邊界參數(shù)

Table 4 Parameter table of viscoelastic boundary

對(duì)比采用等效土柱方法確定的1 200 m側(cè)向自由邊界模型與設(shè)置了粘彈性人工邊界的模型的計(jì)算結(jié)果,以驗(yàn)證其合理性。選取隧道結(jié)構(gòu)外側(cè)頂部角點(diǎn)作為參考點(diǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)反應(yīng)的對(duì)比。有效應(yīng)力反應(yīng)時(shí)程對(duì)比如圖11(a)所示,經(jīng)計(jì)算知二者最大差異在0.06 MPa以內(nèi)。

位移反應(yīng)時(shí)程對(duì)比見圖11(b),可知在20 s之前符合較好,22～28 s二者差異相對(duì)前部分稍大一些,最大差值為0.01 m。加速度反應(yīng)時(shí)程對(duì)比見圖11(c),總體來(lái)說(shuō),二者在整個(gè)過(guò)程中符合均較好,最大差值為0.006 m/s2。說(shuō)明1 200 m側(cè)向自由邊界模型與設(shè)置了黏彈性人工邊界模型的計(jì)算結(jié)果較為接近,側(cè)向邊界尺寸的選取是合理的。

3.2 側(cè)向自由邊界與動(dòng)力無(wú)限元邊界對(duì)比

基于520 m側(cè)向自由邊界尺寸的模型建立有限元-無(wú)限元模型,在有限元模型的底邊和兩個(gè)側(cè)邊施加一層無(wú)限元單元,如圖12(a)所示,圖12(b)為隧道周圍網(wǎng)格劃分局部放大圖,隧道周邊一般回填碎石范圍內(nèi)的局部土體網(wǎng)格做了細(xì)化。

圖11 側(cè)向邊界與黏彈性人工邊界方法結(jié)構(gòu)時(shí)程對(duì)比Fig.11 Compare of structural response between viscoelastic method and far boundary

施加了動(dòng)力無(wú)限元邊界單元之后,在某一典型時(shí)刻體系位移反應(yīng)分布如圖13所示,可見無(wú)限元部分有效地實(shí)現(xiàn)了對(duì)外行波的衰減,直至最外圍幾乎達(dá)到零值。

1 200 m側(cè)向自由邊界與無(wú)限元邊界模型的Mises應(yīng)力時(shí)程對(duì)比如圖14(a)所示,二者符合較好。無(wú)限元模型與黏彈性邊界模型在所選取的特征點(diǎn)的加速度及位移反應(yīng)較為接近,基本一致,故1 200 m側(cè)向邊界模型與無(wú)限元模型的差異同前述其與黏彈性邊界模型反應(yīng)的差異。

側(cè)向邊界與耗能邊界結(jié)構(gòu)反應(yīng)的絕對(duì)誤差見圖15,從圖中可知各個(gè)分量的絕對(duì)誤差均在合理范圍內(nèi)。

圖12 隧道-地基有限元-無(wú)限元模型Fig.12 Finite-infinite element model of tunnel-foundation system

圖13 有限元-無(wú)限元地基-隧道模型位移反應(yīng)分布圖/mFig.13 Response displacement distribution of finite-infinite foundation-tunnel model/m

結(jié)果表明三種邊界處理方式的結(jié)構(gòu)反應(yīng)均較為接近,說(shuō)明等效土柱方法確定的側(cè)向自由邊界模型基本能滿足將邊界反射波的影響降低到一定程度的要求,同時(shí)說(shuō)明在土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用問(wèn)題中,無(wú)論是大尺寸側(cè)向自由邊界模型還是小尺寸加耗能邊界的模型均能達(dá)到預(yù)期的對(duì)邊界反射影響抑制的目的,但小尺寸側(cè)向自由邊界模型存在明顯的邊界反射的影響。需指出,以上均未考慮基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的散射波的影響。

4 結(jié) 論

圖14 側(cè)向邊界與無(wú)限元邊界方法結(jié)構(gòu)時(shí)程對(duì)比Fig.14 Compare of structure response between infinite boundary and far boundary

基于彈性波在水平成層土層中傳播的基本原理,提出了采用等效土柱模型校準(zhǔn)確定土-結(jié)構(gòu)相互作用問(wèn)題中土體側(cè)向自由邊界尺寸的方法。以一個(gè)地下隧道工程為例,采用等效土柱模型確定了其側(cè)向自由邊界尺寸。后與黏彈性人工邊界近似法及動(dòng)力無(wú)限元邊界方法進(jìn)行了對(duì)比印證,同時(shí)考察了邊界條件的設(shè)置對(duì)地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響。結(jié)果表明:

(1) 采用本文提出的方法,側(cè)向邊界改變?nèi)尉突灸艽_定合理的土體側(cè)向邊界的尺寸,且可得到相對(duì)誤差與土體側(cè)向邊界尺寸的回歸曲線。并基于該曲線計(jì)算出能滿足工程誤差5%的要求的土-結(jié)構(gòu)相互作用體系的最小側(cè)向邊界尺寸,據(jù)相對(duì)誤差曲線得到的土-結(jié)構(gòu)相互作用體系的最小側(cè)向邊界尺寸為1 012.53 m,約等于27倍隧道橫截面的橫向尺寸。

圖15 側(cè)向邊界與耗能邊界結(jié)構(gòu)反應(yīng)絕對(duì)誤差的遞增序列Fig.15 Error comparation of structure response between infinite boundary and far boundary

(2) 采用相對(duì)誤差小于2%的1 200 m遠(yuǎn)置自由邊界模型與黏彈性邊界近似法及動(dòng)力無(wú)限元邊界模型的結(jié)構(gòu)反應(yīng)符合較好。

(3) 黏彈性邊界近似法及動(dòng)力無(wú)限元邊界模型可以相對(duì)小的側(cè)向自由邊界尺寸達(dá)到與大尺寸側(cè)向自由邊界模型相近的計(jì)算精度的效果。

通過(guò)等效土柱模型確定土體側(cè)向自由邊界的方法為土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用問(wèn)題中土體側(cè)向自由邊界尺寸的確定提供了一種有效思路,同時(shí)文中所用其他邊界處理方法也為土-地下結(jié)構(gòu)相互作用問(wèn)題中土體邊界條件的設(shè)置提供了參考。對(duì)于復(fù)雜三維土-結(jié)構(gòu)模型可采用黏彈性人工邊界及動(dòng)力無(wú)限元邊界等耗能邊界,以減小計(jì)算量,對(duì)簡(jiǎn)單二維平面問(wèn)題可以選取以上三種任一種方法處理土體邊界。