孫 迪，高崇仁，朱建學(xué)，殷玉楓

(1.太原科技大學(xué) 機械工程系，太原030024；2.河南江河特種車輛有限公司，河南 新鄉(xiāng)453400)

高空作業(yè)車是指運送工作人員和使用器材到現(xiàn)場并進行空中作業(yè)的專用車輛。由于混合臂式高空作業(yè)車在臂架變幅過程中相對運動較為復(fù)雜，目前針對高空作業(yè)車運用基礎(chǔ)力學(xué)理論解析推導(dǎo)動力學(xué)微分方程的研究主要集中在直臂式和折臂式的車型上，即便是混合臂式車型也多運用大型仿真模擬軟件建模和仿真，少有解析推導(dǎo)的佐證來增強說服力[1-4]?，F(xiàn)階段的動力學(xué)分析中對高空作業(yè)車臂架剛?cè)狁詈险駝臃治觥⒐ぷ髌脚_調(diào)平分析及臂架軌跡規(guī)劃等方面的研究較為全面[5-9]，不過缺少臂架變幅運動對伸縮、變幅液壓缸流量、油壓影響的進一步分析。本文基于拉格朗日方程對上臂系統(tǒng)和下臂系統(tǒng)均具有一節(jié)伸縮臂的一般混合臂式高空作業(yè)車進行建模并推導(dǎo)運動微分方程，而后推導(dǎo)臂架在變幅過程中油缸受力、油壓、流量等相關(guān)參數(shù)隨時間變化的關(guān)系。假定一種臂架轉(zhuǎn)動與伸縮同步進行時的變幅運動，基于最小二乘原理運用MATLAB編程進行數(shù)值求解并分析結(jié)果、驗證結(jié)果。

1 臂架系統(tǒng)模型的建立

混合臂式高空作業(yè)車的實際物理系統(tǒng)比直臂式和折臂式都要復(fù)雜，現(xiàn)將臂架系統(tǒng)模型作如下簡化處理：

只考慮變幅運動而不考慮回轉(zhuǎn)運動，以減少與油缸參數(shù)關(guān)系不大的臂架自由度；將臂架模型作為剛體進行推導(dǎo)；假定臂架質(zhì)量分布均勻，油缸質(zhì)量納入臂架質(zhì)量，作業(yè)平臺質(zhì)量集中于質(zhì)心；不考慮鉸點及臂架間摩擦；將飛臂與作業(yè)平臺視為一體，簡化如圖1，B3B3'視為調(diào)平油缸。

1.1 廣義自由度的確定

由于只考慮變幅平面的運動，所以以下臂系統(tǒng)起始端點O為坐標系原點，建立變幅平面直角坐標系xoy.以下臂系統(tǒng)與水平軸x的夾角θ1，下臂系統(tǒng)第二節(jié)臂伸出長度l1，下臂系統(tǒng)與上臂系統(tǒng)之間的夾角θ2，上臂系統(tǒng)第二節(jié)臂伸出長度l2以及作業(yè)平臺內(nèi)側(cè)邊緣與上臂系統(tǒng)的夾角θ3作為臂架系統(tǒng)的廣義自由度。因θ3=90°-θ2+θ1，所以臂架系統(tǒng)相互獨立的自由度為θ1、θ2、l1、l2，即所建立系統(tǒng)拉格朗日方程的廣義坐標為q=[θ1θ2l1l2].

圖1 混合臂式高空作業(yè)車臂架系統(tǒng)機構(gòu)簡圖

Fig.1 Schematic diagram of boom system of hybrid arm type aerial working vehicle

1.2 廣義力的表示

根據(jù)分析力學(xué)中對廣義力的表述[10]，設(shè)作用在第i個質(zhì)點上的主動力的合力Fi在三個坐標軸上的投影分別為(Fix，F(xiàn)iy，F(xiàn)iz)，則廣義力

(k=1，2，…，n)

得到除保守力以外的其它力的廣義力為

Q1=Fb1m1sin(θ1+Φ1)-Fb2(2l1+2l10+2L12+a)sin(β+Φ2+2θ1)-Fb2(b+m2)sin(β+Φ2+θ2)+2(l1+l10+L12+a)Fs2sinθ2+2(l1+l10+L12+a)Fb3sin(θ2-Φ3)+(2b+2l20+2l2+2L22-n3)Fb3sinΦ3

Q2=Fb2(b+m2)sin(β+Φ2+θ2)-Fb3(2b+2l20+2l2+2L22-n3)sinΦ3

Q3=Fs1+2Fb2cos(β+Φ2)-2Fs2cosθ2-2Fb3cos(θ2-Φ3)

Q4=Fs2+2Fb3cosΦ3

(1)

式中：Q1、Q2、Q3、Q4分別為與廣義坐標對應(yīng)的廣義力；Fb1、Fb2、Fb3、Fs1、Fs2分別為各油缸對臂架的作用力；其余尺寸參數(shù)符號如圖1.

1.3 系統(tǒng)動能的表示

式中：T11、T12、T21、T22、T3分別為下臂系統(tǒng)一節(jié)臂、二節(jié)臂，上臂系統(tǒng)一節(jié)臂、二節(jié)臂，作業(yè)平臺動能；M11、M12、M21、M22、M3分別為分別為下臂系統(tǒng)一節(jié)臂、二節(jié)臂，上臂系統(tǒng)一節(jié)臂、二節(jié)臂，作業(yè)平臺質(zhì)；x21、y21、x22、y22、xp、yp分別為上臂系統(tǒng)一節(jié)臂、二節(jié)臂，作業(yè)平臺質(zhì)心坐標；其余符號同式(1).

1.4 系統(tǒng)勢能的表示

由于將臂架系統(tǒng)視為剛體且不考慮鉸接點與臂架間摩擦，所以系統(tǒng)總勢能即為系統(tǒng)重力勢能。設(shè)系統(tǒng)勢能零點為x軸。由于下臂系統(tǒng)和上臂系統(tǒng)連接處B2'S2'相對整個臂架系統(tǒng)尺寸較小，為了便于計算忽略此段尺寸，則系統(tǒng)總勢能為

(2)

式中：V為系統(tǒng)總勢能；其符號同式(1).

1.5 變幅系統(tǒng)動力學(xué)方程的建立

非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程為:

(3)

其中：動勢L=T-V ；Qk為除保守力以外的其他施加力的廣義力。

將系統(tǒng)廣義力、動能和勢能代入式(3)，則系統(tǒng)動力學(xué)方程如下：

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：各符號同式(1).

2 驅(qū)動油缸相關(guān)參數(shù)的推導(dǎo)

高空作業(yè)車變幅系統(tǒng)的執(zhí)行機構(gòu)是下臂系統(tǒng)變幅油缸b1、伸縮油缸s1、上臂系統(tǒng)變幅油缸b2、伸縮油缸s2及調(diào)平油缸b3，油缸簡圖如圖2.

圖2 驅(qū)動油缸簡圖

Fig.2 Drive cylinder diagram

2.1 油缸流量q

假設(shè)任一時刻油缸b1、b2、b3的長度為ri，由三角幾何關(guān)系有

(8)

式中：m、n為變幅三鉸點兩邊長度；θi為各節(jié)臂間夾角，見圖1.

假設(shè)任一時刻油缸b1、b2、b3速度為vi，無桿腔內(nèi)直徑Di，有桿腔桿徑di，則流量

(9)

聯(lián)立(8)(9)式得到油缸流量為

式中：qb1、qb2、qb3分別為各變幅油缸流量；Db1、Db2、Db3分別為各變幅油缸無桿腔直徑；其余符號同(1)式。

2.2 油缸油壓p

對各驅(qū)動油缸任意時刻由牛頓第二定律有∑F合=ma，且∑F合=F+p1A1+p2A2.考慮到油缸質(zhì)量相對整個臂架系統(tǒng)質(zhì)量較小，臂架變幅速度一般較小，以致加速度較小，有∑F合=F+p1A1+p2A2=0.當有桿腔伸出時，有

(10)

式中：Fi為油缸b1、b2、b3、s1、s2與臂架連接點受力；Di為油缸b1、b2、b3、s1、s2無桿腔內(nèi)直徑；di為油缸b1、b2、b3、s1、s2有桿腔內(nèi)桿直徑；m為油缸及液壓油質(zhì)量；A1、A2為無桿腔、有桿腔面積；p1、p2為無桿腔、有桿腔壓力。

3 數(shù)值仿真

3.1 基本參數(shù)

選取某26 m高空作業(yè)車，模擬的工況：下臂系統(tǒng)以0.01 rad/s的角速度變幅至下臂系統(tǒng)最大角度75°，上臂系統(tǒng)始終保持水平，下臂系統(tǒng)伸縮臂以0.1 m/s的速度同步勻速伸出至最大行程5 m后停止伸出，上臂系統(tǒng)伸縮臂以0.1 m/s的速度同步勻速伸出至最大行程6.4 m后停止伸出，整個過程130 s，期間作業(yè)平臺一直保持水平。

3.2 求解方法

已知運動條件

表1 高空作業(yè)車相關(guān)參數(shù)

Tab.1 Related parameters of aerial vehicle

M11下臂系統(tǒng)一節(jié)臂質(zhì)量1 103 kgM12下臂系統(tǒng)二節(jié)臂質(zhì)量721.5kgM21上臂系統(tǒng)一節(jié)臂質(zhì)量750.4kgM22上臂系統(tǒng)二節(jié)臂質(zhì)量604.6kgM3作業(yè)平臺質(zhì)量300kgm1油缸b1處三鉸點尺寸5mn1油缸b1處三鉸點尺寸1mm2油缸b2處三鉸點尺寸3mn2油缸b2處三鉸點尺寸0.5mm3油缸b3處三鉸點尺寸1.5mn3油缸b3處三鉸點尺寸1.8mL11下臂系統(tǒng)一節(jié)臂長度7.5mL12下臂系統(tǒng)二節(jié)臂長度7mL21上臂系統(tǒng)一節(jié)臂長度9.5mL22上臂系統(tǒng)二節(jié)臂長度8.85ml10下臂系統(tǒng)油缸預(yù)留長度1ml20上臂系統(tǒng)油缸預(yù)留長度1.4m

對作業(yè)平臺有

(11)

3.3 結(jié)果與分析

由圖3、圖4看出變幅油缸b1受力初始值為30.83 kN，在5 s時達到正向最大值39.01 kN，22 s減小到0后負向增大，在80 s后基本穩(wěn)定在30 kN；變幅油缸b2受力初始值為30.83 kN，55 s增加到最大值37.79 kN，隨后緩慢減小到15.2 kN；伸縮油缸b2受力初始值為15.54 kN，在55 s增加到最大值24.26 kN；隨后緩慢減小到14.06 kN；簡化的調(diào)平油缸b3受力初始值為負向31.77 N，隨后減小到0，55 s后負向增大到544.7 N；伸縮油缸s2初始值為43.16 N，隨后變化趨勢與b3受力相反，130 s增大到715.8 N.

圖3 油缸b1、b2、s1受力變化曲線

Fig.3 Force change curve of cylinder b1, b2, s1

圖4 油缸b3、s2受力變化曲線

Fig.4 Force change curve of cylinder b3, s2

變幅油缸b1、b2，伸縮油缸s1在變幅過程中受力大小在同一個數(shù)量級，達到10的5次方N；簡化的調(diào)平油缸b3，伸縮油缸s2在變幅過程中受力大小在同一個數(shù)量級，達到10的2次方N.說明此工況下各油缸受力相差還是比較大的，達到1 000倍。在此模擬運動下，上臂系統(tǒng)保持水平，則θ3保持90°不變，F(xiàn)b3與Fs2在水平方向上變化趨勢相反。

在得到油缸受力的基礎(chǔ)上，結(jié)合式(10)，當保持油缸一側(cè)(進油口)壓力值時得到油缸另一側(cè)(出油口)壓力隨時間變化的圖像。由圖5、6、7、8、9、看出，在變幅仿真過程中，當b1無桿腔(進油口)油壓最大為0.5 MPa且整個過程一直保持此油壓時，有桿腔油壓最大值接近系統(tǒng)最大壓力20.7 MPa，但最小值小于0，因此整個過程無法保持進油口油壓恒定不變且整個過程出油口油壓變化也較大；當b2無桿腔(進油腔)油壓最大為13 MPa且整個過程一直保持此油壓時，有桿腔油壓最小1.7 MPa，最大接近系統(tǒng)最大壓力20.7 MPa，整個過程出油口油壓變化較大；當b3無桿腔(進油腔)油壓最大為10 MPa且整個過程一直保持此油壓時，有桿腔油壓最大值接近系統(tǒng)最大壓力20.7 MPa且整個過程變化較平穩(wěn)；當s1無桿腔(進油腔)油壓達到13.5 MPa時，有桿腔油壓在10 s到90 s期間最小值將小于0，但又要保證有桿腔油壓小于系統(tǒng)最大壓20.7 MPa，所以將10 s到90 s期間無桿腔油壓至少調(diào)整至18.8 MPa才能保證有桿腔油壓大于0(如圖8)，整個過程進油口不能保持恒壓，且進、出油口油壓變化均較大；當s2無桿腔(進油腔)油壓最大為12.1 MPa且整個過程一直保持此油壓時，有桿腔最大值接近系統(tǒng)最大壓力20.7 MPa且整個過程變化平穩(wěn)。

圖5 油缸b1壓力變化曲線

Fig.5 Oil pressure curve of cylinder b1

各油缸流量如圖10、11.伸縮油缸s1、s2勻速伸出，其流量也保持不變；θ1、θ2勻速變化時，變幅油缸b1、b2作變速運動，其流量變化不大且在10的-4次方m3/s數(shù)量級。由于模擬運動使θ3一直保持90°，則調(diào)平油缸b3流量恒為0.

圖6 油缸b2壓力變化曲線

Fig.6 Oil pressure curve of cylinder b2

圖7 油缸b3壓力變化曲線

Fig.7 Oil pressure curve of cylinder b3

圖8 油缸s1壓力變化曲線

Fig.8 Oil pressure curve of cylinder s1

圖9 油缸s2壓力變化曲線

Fig.9 Oil pressure curve of cylinder s2

圖10 油缸b1、b2、b3流量變化曲線

Fig.10 Flow curve of cylinder b1

圖11 油缸s1、s2流量變化曲線

Fig.11 Flow curve of cylinder s1,s2

式中：各符號同式(1).

得到作業(yè)平臺在x、y方向上速度的模擬值vxm、vym與理想值vxl、vyl，如圖12.

本文所述方法經(jīng)數(shù)值求解得到的作業(yè)平臺x、y方向上的速度與由運動學(xué)正解得到的理想值吻合度較好，從而也驗證了此方法的正確性。小部分誤差的原因在于在求系統(tǒng)勢能時為簡化計算，忽略了尺寸較小的n2段，系統(tǒng)動勢L比實際值偏?。籑atlab進行數(shù)值求解時運用的fsolve函數(shù)對搜索初始值的要求較高，求解時得到的數(shù)值解會隨初始值的不同有所波動，從而對系統(tǒng)造成一定誤差。

4 結(jié)論

本文運用分析力學(xué)理論對混合臂式高空作業(yè)車變幅系統(tǒng)建立了運動微分方程，利用該方程進行數(shù)值模擬得到變幅過程中油缸受力、油壓、流量的時間歷程曲線。分析得出：

圖12 作業(yè)平臺x、y方向速度變化曲線

Fig.12 speed change curve of operating platform along x and y direction

(1)在給定臂架運動條件下，運用本文所述方法得到變幅過程中變幅油缸b1、b2，伸縮油缸s1所受作用力相比調(diào)平油缸b3，伸縮油缸s2所受作用力較大，油缸設(shè)計時須優(yōu)先對b1、b2、s1進行強度分析。

(2)在給定臂架運動和各油缸一側(cè)(進油口)壓力值的條件下，油缸b1、b2、s1另一側(cè)(出油口)的油壓變化較大，油缸設(shè)計時須對b1、b2、s1進行動強度分析，以進一步研究結(jié)構(gòu)在動載荷作用下的應(yīng)力與變形等響應(yīng)；油缸b3、s2另一側(cè)(出油口)的油壓變化較平穩(wěn)，可主要進行靜強度分析；

(3)在給定臂架運動條件下，各油缸流量變化較平穩(wěn)，可考慮使用定量泵節(jié)流調(diào)速系統(tǒng)；

(4)由作業(yè)平臺理想速度與數(shù)值解得到的速度對比，證明了本方法的正確性。