一類非線性系統(tǒng)基于LS-SVM的自適應(yīng)滑?？刂?/h1>
2018-11-21 03:55:04謝春利趙丹丹
大連民族大學(xué)學(xué)報(bào) 2018年5期
謝春利，趙丹丹
(大連民族大學(xué) a.機(jī)電工程學(xué)院；b.計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 大連 116605)
非線性不確定系統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制一直是控制界關(guān)注的熱點(diǎn)，很多學(xué)者在此領(lǐng)域取得了研究成果[1-2]。由于非線性系統(tǒng)的滑模控制需要已知系統(tǒng)的粗略數(shù)學(xué)模型，因此增加了滑?？刂茖?duì)系統(tǒng)模型的依賴。隨著人工智能理論的發(fā)展，模糊邏輯和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被引入滑?？刂圃O(shè)計(jì)中來(lái)，有效地減少了滑?？刂茖?duì)系統(tǒng)模型的依賴[3-4]。文獻(xiàn)[3]研究了基于高增益觀測(cè)器的非線性系統(tǒng)自適應(yīng)模糊滑?？刂疲墨I(xiàn)[4]研究了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性系統(tǒng)自適應(yīng)滑?？刂疲鼈冎饕抢媚：壿嫽蛏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)任意非線性逼近的能力。但是，模糊邏輯和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用中存在算法復(fù)雜、學(xué)習(xí)速度慢等問題，而最小二乘支持向量機(jī)[5](Least Squares Support Vector Machines，LS-SVM)解決了上述問題。LS-SVM保持了標(biāo)準(zhǔn)SVM的強(qiáng)大泛化和全局最優(yōu)能力，極大地提高了訓(xùn)練效率，同時(shí)基于LS-SVM的非線性系統(tǒng)控制研究取得了豐富成果[6-10]。但是，將LS-SVM和滑模變結(jié)構(gòu)控制相結(jié)合的非線性不確定系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的方法則相對(duì)較少。
本文針對(duì)一類包含不確定性和未知有界外部干擾的非線性系統(tǒng)，提出了一種基于李雅普諾夫(Lyapunov)函數(shù)的自適應(yīng)滑?？刂品椒āＴ摲椒ǔ浞掷肔S-SVM回歸的非線性函數(shù)逼近能力設(shè)計(jì)反饋線性化控制器，引入滑?？刂蒲a(bǔ)償LS-SVM回歸的逼近誤差及不確定外部干擾對(duì)系統(tǒng)輸出的影響，利用Lyapunov函數(shù)進(jìn)行LS-SVM權(quán)值參數(shù)的調(diào)整，最后通過一個(gè)仿真實(shí)例對(duì)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行了驗(yàn)證。
1 問題描述
考慮非線性不確定系統(tǒng)
(1)
控制目標(biāo)就是基于LS-SVM回歸實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋控制u=u(x,θ)，以便保證閉環(huán)系統(tǒng)一致有界，跟蹤誤差小。為了實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，給出如下假設(shè)：
假設(shè)1.2 控制增益b滿足b≥bL>0，bL為b的下界。干擾d有界，假設(shè)其上界為D，即|d|≤D，給定D>0。
如果函數(shù)f(x)已知且干擾d=0，則狀態(tài)反饋控制器為
(2)
由式(1)和式(2)計(jì)算得到
e(n)+kne(n-1)+…+k1e=0 。
(3)
式(3)表明，通過適當(dāng)選擇ki(i=1,2,…,n)，就能保證sn+knsn-1+…+k1=0的所有根都在復(fù)平面左半平面，即limt→∞e1(t)=0。
2 基于LS-SVM回歸的自適應(yīng)律設(shè)計(jì)
LS-SVM將最小二乘線性系統(tǒng)引入SVM，代替?zhèn)鹘y(tǒng)的支持向量采用二次規(guī)劃方法求解分類和函數(shù)估計(jì)問題，算法的推導(dǎo)參見文獻(xiàn)[5]。
用于逼近控制器的LS-SVM回歸結(jié)構(gòu)參見文獻(xiàn)[10]，其輸入輸出關(guān)系為
u(x,θ)=θTβ。
(4)
設(shè)理想的權(quán)值參數(shù)向量為
(5)
u*=u(x,θ*)+ε(x),x∈Ωx?Rn。
(6)
式中，ε(x)為L(zhǎng)S-SVM的逼近誤差，對(duì)任意的常數(shù)Δε>0，滿足|ε(x)|≤Δε。
定義滑模面為
s=KTe。
(7)
其中kn=1，則
=b(u*-u)-d。
(8)
根據(jù)式(6)，設(shè)計(jì)滑?？刂破鳛?/p>
(9)
式中，
(10)
取
δ(t) =max|d/b|+η,η>0
=D/b+η；
(11)
取權(quán)值參數(shù)向量的自適應(yīng)律為
(12)
式中，Γθ>0是設(shè)計(jì)參數(shù)。
定理對(duì)于式(1)描述的非線性不確定系統(tǒng)，采用文獻(xiàn)[10]中的LS-SVM結(jié)構(gòu)逼近式(2)中的u*，控制量取為式(9)，權(quán)值參數(shù)向量自適應(yīng)律為式(12)，則閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)所有信號(hào)有界。
證明：選擇如下Lyapunov函數(shù)
(13)
令V對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)有
=s[bε(x)-bδ(t)sgn(s)-d]+
(14)
由式(12)可得
(15)
取η>Δε>0，利用式(11)可得
(16)
可知閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。
3 仿真研究
考慮非線性不確定系統(tǒng)
(17)
圖1 狀態(tài)x1及期望輸出
圖2 狀態(tài)x2及期望輸出
圖3 控制輸入
然后實(shí)現(xiàn)基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)滑?？刂啤Ｉ窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器結(jié)構(gòu)和參數(shù)選取參考文獻(xiàn)[11]。基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)滑?？刂频姆抡娼Y(jié)果如圖4、圖5和圖6。其中，兩種控制方法的跟蹤誤差曲線如圖7。對(duì)比跟蹤誤差曲線可知，基于LS-SVM方法的誤差平均值為-0.009 3，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的誤差平均值為-0.020 7，表明本文控制方法控制精度更高。
圖4 狀態(tài)x1及期望輸出
圖5 狀態(tài)x2及期望輸出
圖6 控制輸入
圖7 跟蹤誤差
4 結(jié) 論
本文研究了基于LS-SVM回歸的一類單輸入單輸出非線性不確定系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模控制問題。在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，利用非線性系統(tǒng)的反饋線性化技術(shù)和LS-SVM回歸的任意非線性函數(shù)逼近能力構(gòu)造反饋控制器，通過滑?？刂萍夹g(shù)來(lái)提高控制系統(tǒng)的魯棒性，并證明了所提控制方案可以保證閉環(huán)控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。
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非線性不確定系統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制一直是控制界關(guān)注的熱點(diǎn)，很多學(xué)者在此領(lǐng)域取得了研究成果[1-2]。由于非線性系統(tǒng)的滑模控制需要已知系統(tǒng)的粗略數(shù)學(xué)模型，因此增加了滑?？刂茖?duì)系統(tǒng)模型的依賴。隨著人工智能理論的發(fā)展，模糊邏輯和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被引入滑?？刂圃O(shè)計(jì)中來(lái)，有效地減少了滑?？刂茖?duì)系統(tǒng)模型的依賴[3-4]。文獻(xiàn)[3]研究了基于高增益觀測(cè)器的非線性系統(tǒng)自適應(yīng)模糊滑?？刂疲墨I(xiàn)[4]研究了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性系統(tǒng)自適應(yīng)滑?？刂疲鼈冎饕抢媚：壿嫽蛏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)任意非線性逼近的能力。但是，模糊邏輯和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用中存在算法復(fù)雜、學(xué)習(xí)速度慢等問題，而最小二乘支持向量機(jī)[5](Least Squares Support Vector Machines，LS-SVM)解決了上述問題。LS-SVM保持了標(biāo)準(zhǔn)SVM的強(qiáng)大泛化和全局最優(yōu)能力，極大地提高了訓(xùn)練效率，同時(shí)基于LS-SVM的非線性系統(tǒng)控制研究取得了豐富成果[6-10]。但是，將LS-SVM和滑模變結(jié)構(gòu)控制相結(jié)合的非線性不確定系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的方法則相對(duì)較少。
本文針對(duì)一類包含不確定性和未知有界外部干擾的非線性系統(tǒng)，提出了一種基于李雅普諾夫(Lyapunov)函數(shù)的自適應(yīng)滑?？刂品椒āＴ摲椒ǔ浞掷肔S-SVM回歸的非線性函數(shù)逼近能力設(shè)計(jì)反饋線性化控制器，引入滑?？刂蒲a(bǔ)償LS-SVM回歸的逼近誤差及不確定外部干擾對(duì)系統(tǒng)輸出的影響，利用Lyapunov函數(shù)進(jìn)行LS-SVM權(quán)值參數(shù)的調(diào)整，最后通過一個(gè)仿真實(shí)例對(duì)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行了驗(yàn)證。
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如果函數(shù)f(x)已知且干擾d=0，則狀態(tài)反饋控制器為
(2)
由式(1)和式(2)計(jì)算得到
e(n)+kne(n-1)+…+k1e=0 。
(3)
式(3)表明，通過適當(dāng)選擇ki(i=1,2,…,n)，就能保證sn+knsn-1+…+k1=0的所有根都在復(fù)平面左半平面，即limt→∞e1(t)=0。
2 基于LS-SVM回歸的自適應(yīng)律設(shè)計(jì)
LS-SVM將最小二乘線性系統(tǒng)引入SVM，代替?zhèn)鹘y(tǒng)的支持向量采用二次規(guī)劃方法求解分類和函數(shù)估計(jì)問題，算法的推導(dǎo)參見文獻(xiàn)[5]。
用于逼近控制器的LS-SVM回歸結(jié)構(gòu)參見文獻(xiàn)[10]，其輸入輸出關(guān)系為
u(x,θ)=θTβ。
(4)
設(shè)理想的權(quán)值參數(shù)向量為
(5)
u*=u(x,θ*)+ε(x),x∈Ωx?Rn。
(6)
式中，ε(x)為L(zhǎng)S-SVM的逼近誤差，對(duì)任意的常數(shù)Δε>0，滿足|ε(x)|≤Δε。
定義滑模面為
s=KTe。
(7)
其中kn=1，則
=b(u*-u)-d。
(8)
根據(jù)式(6)，設(shè)計(jì)滑?？刂破鳛?/p>
(9)
式中，
(10)
取
δ(t) =max|d/b|+η,η>0
=D/b+η；
(11)
取權(quán)值參數(shù)向量的自適應(yīng)律為
(12)
式中，Γθ>0是設(shè)計(jì)參數(shù)。
定理對(duì)于式(1)描述的非線性不確定系統(tǒng)，采用文獻(xiàn)[10]中的LS-SVM結(jié)構(gòu)逼近式(2)中的u*，控制量取為式(9)，權(quán)值參數(shù)向量自適應(yīng)律為式(12)，則閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)所有信號(hào)有界。
證明：選擇如下Lyapunov函數(shù)
(13)
令V對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)有
=s[bε(x)-bδ(t)sgn(s)-d]+
(14)
由式(12)可得
(15)
取η>Δε>0，利用式(11)可得
(16)
可知閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。
3 仿真研究
考慮非線性不確定系統(tǒng)
(17)
圖1 狀態(tài)x1及期望輸出
圖2 狀態(tài)x2及期望輸出
圖3 控制輸入
然后實(shí)現(xiàn)基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)滑?？刂啤Ｉ窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器結(jié)構(gòu)和參數(shù)選取參考文獻(xiàn)[11]。基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)滑?？刂频姆抡娼Y(jié)果如圖4、圖5和圖6。其中，兩種控制方法的跟蹤誤差曲線如圖7。對(duì)比跟蹤誤差曲線可知，基于LS-SVM方法的誤差平均值為-0.009 3，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的誤差平均值為-0.020 7，表明本文控制方法控制精度更高。
圖4 狀態(tài)x1及期望輸出
圖5 狀態(tài)x2及期望輸出
圖6 控制輸入
圖7 跟蹤誤差
4 結(jié) 論
本文研究了基于LS-SVM回歸的一類單輸入單輸出非線性不確定系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模控制問題。在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，利用非線性系統(tǒng)的反饋線性化技術(shù)和LS-SVM回歸的任意非線性函數(shù)逼近能力構(gòu)造反饋控制器，通過滑?？刂萍夹g(shù)來(lái)提高控制系統(tǒng)的魯棒性，并證明了所提控制方案可以保證閉環(huán)控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。
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