焦小磊， 趙 陽， 馬文來, 李思梁

(1. 哈爾濱工業(yè)大學 航天學院， 哈爾濱 150001； 2. 中科院 沈陽自動化研究所， 沈陽 110016)

航天器上的執(zhí)行機構(gòu)由于制造過程中不可避免的存在一些加工誤差，當執(zhí)行機構(gòu)正常工作時，會產(chǎn)生一系列幅值小、頻率高的微振動，嚴重影響星上有效載荷的正常工作。國外曾有研究表明，這類執(zhí)行機構(gòu)微振動會使衛(wèi)星上成像設備所拍攝的圖像變得模糊?，F(xiàn)代航天器正向高精度、高分辨率方向發(fā)展，因此，必須對這類微幅振動進行有效隔離。被動型隔振器由于具有較高的可靠性，因此在航天器上的應用比較廣泛。

三參數(shù)隔振系統(tǒng)由主剛度、附加剛度、阻尼元件組成，相較與傳統(tǒng)的兩參數(shù)模型來說，阻尼元件上串聯(lián)了一個彈簧，相當于和基礎(chǔ)彈性連接，通過合理設計，其在高頻段的隔振性能要比傳統(tǒng)兩參數(shù)模型更加優(yōu)異。

三參數(shù)隔振系統(tǒng)又稱為彈性連接隔振系統(tǒng)，由并聯(lián)彈簧，阻尼元件，串聯(lián)于阻尼元件上的彈簧組成。最早由Ruzicka等[1-2]提出，并對其進行了比較詳細的研究。 Yamakawa[3]研究了三參數(shù)隔振系統(tǒng)在瞬態(tài)激勵下的響應，表明其具有較好的緩沖作用。Brennan等[4]研究了剛度以及阻尼對三參數(shù)隔振系統(tǒng)性能的影響，他指出，對于簡諧激勵來說，具有較好的隔振效果。Davis等[5-7]公司研制了一系列基于三參數(shù)模型的隔振器，該系列隔振器成功應用于哈勃太空望遠鏡，經(jīng)在軌數(shù)據(jù)表明，其隔振效果非常好，并且具有較高的可靠性。但由于政策原因，該類型隔振器的減阻機理并未公開。國內(nèi)也有學者對三參數(shù)隔振系統(tǒng)作了系統(tǒng)的研究。王杰等[8-9]對基于三參數(shù)模型的流體阻尼器進行了研究，給出了三參數(shù)隔振器等效參數(shù)測試方法。王超新等[10]給出了三參數(shù)隔振器最優(yōu)阻尼設計方法。廖蕾[11]研究了基于三參數(shù)模型的波紋管式流體阻尼隔振器的隔振性能。楊慶俊等[12-13]測定了三參數(shù)隔振器的線性阻尼系數(shù)和平方阻尼系數(shù)。何玲等[14-16]研究了摩擦力、流體質(zhì)量、非線性阻尼力等因素對基于三參數(shù)模型的流體阻尼器隔振性能的影響。Liu等[17]研究了基于三參數(shù)模型的隔振器對整形隔振性能的影響。

上述研究多集中于物理參數(shù)的改變對隔振性能的影響，鮮有對三參數(shù)隔振系統(tǒng)進行性能優(yōu)化設計，而三參數(shù)隔振器屬于被動型隔振器，共振峰和高頻衰減率存在沖突，在實際設計時，必須注意兩者的權(quán)衡。本文提出基于歸一化模型的三參數(shù)隔振優(yōu)化設計方法，針對共振峰和高頻衰減率進行多目標優(yōu)化設計，并給出階躍激勵下，系統(tǒng)性能參數(shù)的近似估算方法，仿真算例驗證了方法的可行性。

1 三參數(shù)隔振器動力學模型

三參數(shù)隔振系統(tǒng)由主剛度、附加剛度、阻尼元件組成，主剛度一般由彈性元件來提供，也即系統(tǒng)的靜剛度。附加剛度一般由流體壓縮時的體積剛度來提供。系統(tǒng)可以用彈簧-質(zhì)量塊模型來描述。模型如圖1和圖2所示。

圖1 三參數(shù)隔振系統(tǒng)模型Fig.1 Three parameter isolation system圖2 機械阻抗模型Fig.2 Mechanical impedance model

(1)

對式(1)拉氏變換，得到復方程組

(2)

根據(jù)復方程組可以較為方便的對三參數(shù)隔振系統(tǒng)的時域和頻域特性進行分析。

2 模型的歸一化

為了便于討論，將模型轉(zhuǎn)換到復域下，并對模型進行歸一化處理。

根據(jù)圖3可以寫出機械阻抗的傳遞函數(shù)

(3)

圖3 傳遞函數(shù)框圖Fig.3 Transfer function block

可以寫成下面形式

(4)

圖4是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖。

圖4 Bode圖Fig.4 Bode plot

ω1，ω2是Bode圖中轉(zhuǎn)折頻率，這里

(5)

(6)

可求得

(7)

由KA，KB，CA轉(zhuǎn)換到KA，α，ω0的變換關(guān)系為

(8)

由KA，α，ω0轉(zhuǎn)換到KA，KB，CA的變換關(guān)系為

(9)

由于臨界阻尼可以表示為

定義剛度比N=KB/KA，阻尼比ζ=CA/C0，則N，ζ與α，β的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

N=α2-1

(10)

(11)

圖5是系統(tǒng)阻尼比與無量綱參數(shù)α，β的包絡面。根據(jù)式(8)可以知道，參數(shù)α和系統(tǒng)剛度比有關(guān)，對于三參數(shù)系統(tǒng)來說，剛度比大于零，因此有α>1。當α取值固定時，隨著β的增加，系統(tǒng)阻尼比也會增加。同時，若β取值固定，隨著α取值增加，系統(tǒng)阻尼比也會增加。圖6是系統(tǒng)剛度比與無量綱參數(shù)α的關(guān)系，剛度比隨參數(shù)α取值增大而增大。ζ<1時，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，ζ>1時，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，ζ=1時，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。

圖5 ζ與α，β的關(guān)系Fig.5 Relationship for ζ，α，β

固有頻率的換算關(guān)系為

圖6 N與α的關(guān)系Fig.6 Relationship between N and α

(12)

而當附加剛度為零時，系統(tǒng)固有頻率為

可以得到兩個固有圓頻率之間的關(guān)系

(13)

(14)

3 隔振系統(tǒng)時域響應分析

這里以單位階躍激勵和正弦激勵為例，對隔振系統(tǒng)時域響應進行分析，其中，單位階躍激勵的性能指標可以選擇調(diào)節(jié)時間、峰值時間、超調(diào)量。正弦激勵的性能指標為共振放大倍數(shù)和高頻衰減率。

3.1 單位階躍激勵

當外界輸入為單位階躍激勵時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成下面的形式

(15)

式中:S=s/ω0;S1，S2，S3為三個特征根，可以寫成下面的形式

S1=c，S2=a+bi，S3=a-bi

通過Laplace逆變換可以得到時域響應

2Veatsinbt)

(16)

p1=ma+1，p2=mb，p3=-4ab2+2cb2

表1給出歸一化參數(shù)α，β與剛度比N、阻尼比ζ的對應關(guān)系。

圖7是α=1.2時系統(tǒng)對于單位階躍激勵的時域響應。β取值分別為0.16，1，6.25?？梢钥吹剑?1時，三參數(shù)隔振系統(tǒng)對于單位階躍激勵的調(diào)節(jié)時間要明顯小于β=0.16和β=6.25的情形。同時，超調(diào)量較其他兩種情形也要小一些，時域響應曲線的震蕩程度也要明顯小于其他兩種情形。圖8是α=1.5時系統(tǒng)對于單位階躍激勵的時域響應。β取值分別為0.16，1，6.25。同α=1.2時的情形相似，β=1時的調(diào)節(jié)時間也要明顯小于β=0.16和β=6.25的情形。時域響應曲線的震蕩程度也要明顯小于其他兩種情形。α=1.5時的調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量也要小于α=2的情形。圖9是α=2時系統(tǒng)對于單位階躍激勵的時域響應。β取值分別為0.16，1，6.25。三參數(shù)隔振系統(tǒng)對于單位階躍激勵的調(diào)節(jié)時間要明顯小于β=0.16和β=6.25的情形。同時，超調(diào)量較其他兩種情形也要小一些，時域響應曲線的震蕩程度也要明顯小于其他兩種情形。圖9是α=3時系統(tǒng)對于單位階躍激勵的時域響應。β取值分別為0.16，1，6.25。可以看到，β=1時，三參數(shù)隔振系統(tǒng)對于單位階躍激勵的調(diào)節(jié)時間要明顯小于β=0.16和β=6.25的情形。同時，超調(diào)量較其他兩種情形也要小一些，時域響應曲線的震蕩程度也要明顯小于其他兩種情形。α=3時，系統(tǒng)對于單位階躍激勵的調(diào)節(jié)時間要明顯小于α=1.2，α=1.5，α=2時的調(diào)節(jié)時間。

表1 歸一化參數(shù)和物理參數(shù)Tab.1 Normalized parameter and physical parameter

圖7 α=1.2時的時域響應Fig.7 Response in the time domain (α=1.2)

圖8 α=1.5時的時域響應Fig.8 Response in the time domain (α=1.5)

圖9 α=2時的時域響應Fig.9 Response in the time domain (α=2)

圖10 α=3,β=0.16,1,6.25Fig.10 α=3,β=0.16,1,6.25

表1是歸一化參數(shù)與物理參數(shù)的對應關(guān)系。分成4種工況，對應前面的單位階躍激勵的4種工況。α取值分別為1.2，1.5，2，3。每種工況下，β取值分別為0.16，1，6.25。當α取為1.2時，剛度比為0.44，阻尼比均小于1。說明此時系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，對照圖7來看，振蕩較為明顯。當α取值為1.5時，剛度比為1.25，阻尼比也均小于1，但同α=1.2的情形相比，此時阻尼比明顯偏大一些，對照圖8可以看到，時域響應曲線振蕩要弱一些。當α取值為2時，剛度比為3，β=6.25時，阻尼比大于1，系統(tǒng)此時處于過阻尼狀態(tài)。當α取值為3時，剛度比為8，相比于前面3種情形，此時時域響應曲線振蕩最為平緩，β=6.25時，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。

3.2 正弦激勵

當外界激勵為正弦激勵時，激勵描述為

x=Asinωt

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以表示為

(17)

式中：S=s/ω0；S1，S2，S3為三個特征根，可以寫成下面的形式

S1=c，S2=a+bi，S3=a-bi

通過Laplace逆變換可以得到時域響應

(18)

p1=ma+1，p2=mb，p3=-2b2(a2-b2+ω2)

p4=-4ab3+2b(a-c)(a2-b2+ω2)，p5=1

p6=-mω，p7=-2ω2(a2+b2-ω2)-4acω2

圖11～圖13是參數(shù)根軌跡，β取值分別為0.5，1，1.5， 的取值任意，從圖中可以看出，根軌跡有3個分支，分別對應于3個特征根。圖11是β取0.5時的根軌跡，此時第1個分支位于實軸上，表示此時系統(tǒng)存在實數(shù)特征根，第2個分支有一部分位于實軸的上半平面，表示虛部為正數(shù)，還有一部分位于實軸上。第3個分支有一部分位于實軸的下半平面，表示虛部為負數(shù)，還有一部分位于實軸上。此外有部分分支位于實軸右側(cè)正數(shù)部分，此時系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。圖12是當β=1時，第1個分支重合于(-1,0)，第2個分支有部分位于實軸上半平面，表示虛部為正數(shù)，還有一部分位于實軸上，第3個分支有一部分位于實軸的下半平面，表示虛部為負數(shù)，還有一部分位于實軸上。圖13是β取1.5時的根軌跡，此時，第1個分支位于實軸上，表明此時系統(tǒng)存在實數(shù)特征根，第2個分支有部分位于實軸上半平面部分，表明虛部為正數(shù)，還有一部分位于實軸上，第3個分支有一部分位于實軸下半平面部分，表明虛部為負數(shù)，還有一部分位于實軸上。對于3種情形來說，所有位于實軸右側(cè)的根軌跡部分不穩(wěn)定，同時可以判斷右側(cè)部分α<1，對于三參數(shù)系統(tǒng)來說剛度比是大于1的，因此右側(cè)部分不符合要求，在設計時應予以舍棄。隨著根軌跡向?qū)嵼S的靠近，阻尼比逐漸增大，位于實軸上的根軌跡達到臨界阻尼比。

圖11 β=0.5時的根軌跡Fig.11 Root locus for β=0.5

圖12 β=1時的根軌跡Fig.12 Root locus for β=1

圖13 β=1.5時的根軌跡Fig.13 Root locus for β=1.5

4 參數(shù)優(yōu)化

4.1 正弦激勵下的參數(shù)優(yōu)化

針對正弦激勵來說，由于被動型隔振系統(tǒng)的共振峰和高頻衰減率存在一定的沖突性，為了同時滿足兩種指標的要求，需要進行多目標優(yōu)化。 優(yōu)化方法采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)。

NSGA-II(帶精英策略的非支配排序遺傳算法)運行效率高，解集具有良好的分布性，特別對于低維優(yōu)化問題具有較好的表現(xiàn)，是應用最為廣泛也是最成功的多目標優(yōu)化算法之一。程序流程如圖14所示。圖15是優(yōu)化流程圖。

圖14 NSGA-Ⅱ算法流程圖Fig.14 Program flow chart for NSGA-Ⅱ

圖15 優(yōu)化流程圖Fig.15 Flowchart for optimization

(1) 確定目標函數(shù)

根據(jù)三參數(shù)隔振系統(tǒng)的力學模型，推導目標函數(shù)，目標函數(shù)為共振放大系數(shù)和高頻衰減率。由于目標函數(shù)的形式較為復雜，文中未給出具體的表達式；

(2) 優(yōu)化計算

采用帶精英策略的非支配排序遺傳算法進行優(yōu)化計算，設置種群數(shù)量以及其他參數(shù)，經(jīng)過計算，會得到Pareto最優(yōu)解，這些最優(yōu)解可以作為設計參數(shù)進行備選；

(3) 篩選

根據(jù)指標要求，在Pareto最優(yōu)解中篩選出滿足指標要求的解，經(jīng)過篩選，確定最終待采用的設計參數(shù)；

(4) 優(yōu)化設計

根據(jù)篩選出來的滿足指標要求的解，可以得到剛度比以及阻尼比等參數(shù)，從而為下一步設計提供依據(jù)進行優(yōu)化計算時需要先得到目標函數(shù)。這里的目標函數(shù)定義為共振峰以及高頻衰減率，可以表示為

(19)

式中：f1，f2分別為共振峰值函數(shù)與高頻衰減率函數(shù)；α，β是決策變量，可以對α，β的取值范圍加以限制，這里需要注意的是，α是剛度比的函數(shù)，而剛度比大于等于零，因此，α≥1

(20)

式中：αu，αl為α取值的上下限；βu，βl為β取值的上下限。

考慮到α是剛度比的函數(shù)，而一般情況下，剛度比不能過大， 對于正弦激勵來說，其傳遞率可以表示為

(21)

共振時的頻率比為Ω0，則共振峰值函數(shù)可以寫成

(22)

為了得到共振頻率，需要將傳遞率求極值，即

(23)

顯然Ω0=Ω0(α,β)，將其代回式(22)即可得到共振峰值函數(shù)關(guān)于α，β的函數(shù)，對于高頻處的衰減率可以表示為

(24)

式中：Ωh為高頻處的頻率比。由于表達式較為復雜，文中未給出具體形式?？梢越柚鶰atlab符號計算功能來進行推導。

優(yōu)化計算之后會產(chǎn)生一系列最優(yōu)解，需要在這些最優(yōu)解中篩選出符合指標要求的解，這些解對應的α，β即可用來進行進一步設計。

4.2 單位階躍激勵下的參數(shù)設計

對于單位階躍激勵來說，由于函數(shù)形式較為復雜，無法給出目標函數(shù)的顯式表達式，這里采用估算法對其動態(tài)性能進行估算，然后得出目標函數(shù)的近似表達式。以含有一對共軛極點和實數(shù)極點的情況為例。

三參數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(25)

以一對共軛復根為例，S2，S3共軛閉環(huán)主導極點，S1是實數(shù)極點。

S1=c，S2,3=a±bj

根據(jù)閉環(huán)主導極點可以得到系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下，輸出的拉氏變換時近似表達式為

(26)

式中：M(S)，D(S)分別為(式子)的分子和分母，通過拉氏反變換，系統(tǒng)階躍響應的近似表達式為

(27)

通過對上式求導數(shù)可以，并令其等于0，可以得到峰值時間

(28)

式中：ψ1=arctan(|b/(z0-a)|)；θ3=arctan(|b/(c-a)|)

根據(jù)階躍響應表達式，對于調(diào)節(jié)時間的估計有

(誤差帶選擇5%)

式中：Z0為零點；S1，S3為極點。

首先根據(jù)指標需求確定調(diào)節(jié)時間的取值，誤差帶選擇為，由于

σ=|a|

故

(29)

(30)

首先可以確定調(diào)節(jié)時間，調(diào)節(jié)時間確定以后，即可以確定 的值，然后可以通過根軌跡來選擇滿足要求的特征根，特征根選定以后，即可以寫出傳遞函數(shù)的具體表達式，進而可以通過Laplace逆變換來求出時域響應。

三參數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(31)

由于特征根的形式為S1=c，S2=a+bi，S3=a-bi代入到(31)中有

Φ(S)=

(32)

可以得到

(33)

(34)

通過上式可知，只要知道了特征根的分布即可以寫出傳遞函數(shù)表達式，進而求出α，β的值，得到時域響應歷程。

5 算例仿真

(1) 設計某基于三參數(shù)模型的隔振系統(tǒng)，要求共振放大倍數(shù)小于3，高頻衰減率小于0.01。

表2中是優(yōu)化后篩選出來的滿足共振放大倍數(shù)小于3，高頻衰減率小于0.01的設計參數(shù)值。通過設定優(yōu)化參數(shù)，可以獲得不同數(shù)量的滿足設計指標要求的設計參數(shù)。根據(jù)設計參數(shù)中α和β值，按照前面式(10)和式(11)就可以求出剛度比N和阻尼比ζ，從而指導進行下一步設計。由于表1中滿足條件的設計參數(shù)較多，選取前5組出來進行分析，可以求得前5組參數(shù)的共振頻率點，如表3所示。

表2 滿足指標要求的設計參數(shù)Tab.2 Design parameters for requirements

表3 前5組參數(shù)的共振頻率點Tab.3 Frequency of resonance peak

給出這5組數(shù)據(jù)的圖，即傳遞率曲線圖16是通過NSGA-II算法得到的Pareto前沿，橫軸為共振放大倍數(shù)，縱軸為高頻衰減率。注意衰減率單位一般用dB來表示，這里直接用的是小數(shù)，將其取對數(shù)乘以20就可以得到以dB表示的衰減率?？梢詮牡玫降腜areto前沿數(shù)據(jù)中挑選出共振放大倍數(shù)和高頻衰減率均滿足要求的參數(shù)。圖17是通過NSGA-II算法計算得到的Pareto集。橫軸為參數(shù)α，縱軸為參數(shù)β。圖16中Pareto前沿和圖18中Pareto集相對應。即給定的一組共振放大倍數(shù)和高頻衰減率對應一組參數(shù)α和參數(shù)β。篩選圖16中滿足條件的參數(shù)，對應的可以得到相應的α和β的值。圖18是這5組參數(shù)的傳遞率曲線?？梢钥吹?組參數(shù)得到的傳遞率曲線，其共振放大倍數(shù)均小于3，頻率比為20處，衰減率均小于0.01也即-40 dB。不同設計參數(shù)時，高頻段的傳遞率也不同。

圖16 Pareto前沿Fig.16 Pareto front

圖17 Pareto集Fig.17 Pareto solution

圖18 傳遞率曲線Fig.18 Transmissibility curve

圖19是在共振頻率時，系統(tǒng)的時域響應，依然對應的是這5組參數(shù)。黑色實線對應的是輸入曲線。從圖中可以看到，第1組參數(shù)對應的時域響應穩(wěn)態(tài)振幅具有最大值，這和圖18中的第1組參數(shù)的共振放大倍數(shù)相對應。第2組參數(shù)對應的時域響應穩(wěn)態(tài)振幅具有最小值，這也和圖18中第2組參數(shù)的共振放大倍數(shù)相對應。以此類推，圖19中每組參數(shù)的時域響應穩(wěn)態(tài)振幅均和圖18中共振放大倍數(shù)相對應。圖19是高頻處的時域響應圖，也對應了5組參數(shù)。可以看到初始時曲線震蕩較為明顯。圖21是高頻時域響應的放大圖，第1組參數(shù)對應的穩(wěn)態(tài)振幅最小，這和圖18中的傳遞第1組參數(shù)具有最大的衰減率相對應，其他每組參數(shù)的時域穩(wěn)態(tài)振幅均和圖18中的相對應。

圖19 共振峰處的響應Fig.19 Response at resonance peak

圖20 高頻處的響應Fig.20 Response in the high frequency domain

圖21 高頻處的響應(放大圖)Fig.21 Response in the high frequency domain (larger version)

(2)要求系統(tǒng)在單位階躍激勵作用下，調(diào)節(jié)時間為20以內(nèi)。

根據(jù)指標要求可以確定

因此要在特征根里面篩選出滿足a<-0.2的根，由于要滿足主導極點的要求，可進行進一步的篩選，篩選出來滿足條件的參數(shù)。

圖22是峰值時間的估算值和解析值的比較。需要注意的是，這里的峰值時間指的是歸一化的時間?？梢钥吹?，兩者吻合良好，說明估算值是可信的。圖23時調(diào)節(jié)時間的比較，依然是歸一化的時間。當β較小時，兩者吻合非常好，而當β增大時，部分值誤差加大，但也在7%以內(nèi)，并且調(diào)節(jié)時間滿足指標要求的控制在20以內(nèi)。圖24是超調(diào)量的比較，當β取值較小時，兩者吻合良好，當β增大時，誤差增大，但控制在7%以內(nèi)。

圖22 峰值時間對比Fig.22 Comparison of peak time

圖23 調(diào)節(jié)時間對比Fig.23 Comparison of settling time

圖24 超調(diào)量對比Fig.24 Comparison of overshoot

6 結(jié) 論

采用歸一化參數(shù)模型對三參數(shù)隔振系統(tǒng)的動力學特性進行了分析，建立了歸一化參數(shù)與物理參數(shù)剛度比以及阻尼比的對應關(guān)系，針對正弦激勵以及單位階躍激勵下三參數(shù)隔振系統(tǒng)，采用歸一化模型對其時域響應進行分析，給出了其時域響應的解析表達式，最后對三參數(shù)隔振系統(tǒng)進行了參數(shù)優(yōu)化，主要結(jié)論如下：

(1) 歸一化的參數(shù)模型可以從時域和頻域兩個角度對三參數(shù)隔振系統(tǒng)進行分析，且形式簡單，易于分析。

(2) 采用多目標優(yōu)化方法對正弦激勵下三參數(shù)隔振系統(tǒng)的進行參數(shù)優(yōu)化，經(jīng)參數(shù)優(yōu)化后，可以同時保證共振峰以及高頻衰減率滿足指標要求。

(3) 利用估算方法對單位階躍激勵下的三參數(shù)隔振系統(tǒng)進行參數(shù)設計，相比于解析方法來說可以大幅減少運算量，并且誤差小于7%，仿真算例驗證了方法的可行性。