鄭洪波, 覃 會(huì), 胡 芳， 張志誼,3

(1.上海交通大學(xué) 機(jī)械工程與動(dòng)力學(xué)院，上海 200240； 2. 武漢理工大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，武漢 430070； 3.上海交通大學(xué) 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

對(duì)于海洋船舶而言，螺旋槳脈動(dòng)力會(huì)通過軸承引起船體結(jié)構(gòu)振動(dòng)和水下聲輻射。除轉(zhuǎn)向等特殊情況之外，螺旋槳受到的縱向脈動(dòng)力遠(yuǎn)大于其它方向的脈動(dòng)力，縱向振動(dòng)遠(yuǎn)大于橫向振動(dòng)，所以控制推力軸承的縱向振動(dòng)向船體的傳遞，能夠有效減小船體結(jié)構(gòu)振動(dòng)和聲輻射[1]?，F(xiàn)有的振動(dòng)控制研究主要包括被動(dòng)和主動(dòng)兩種控制方法，如動(dòng)力吸振器和共振變換器[2-4]。一些主動(dòng)控制方法如速度反饋控制和最優(yōu)控制也用來抑制振動(dòng)從軸系傳遞到船體[5-8]。在這些研究中，軸系被視為一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)。然而研究表明，推進(jìn)軸系的動(dòng)態(tài)特性會(huì)隨著轉(zhuǎn)速的變化而變化[9-10]，這是由推力軸承油膜縱向剛度會(huì)隨轉(zhuǎn)速變化導(dǎo)致的，所以在設(shè)計(jì)控制方案時(shí)，必須考慮系統(tǒng)的時(shí)變動(dòng)態(tài)特性。

文獻(xiàn)[11]提出一種自適應(yīng)反饋控制策略，通過調(diào)整反饋增益來補(bǔ)償大相位誤差，從而避免了時(shí)變系統(tǒng)的辨識(shí),但是這種方法僅對(duì)已知的周期激勵(lì)有效，并且收斂速度較慢。文獻(xiàn)[12]提出自增益調(diào)度H∞控制方法，設(shè)計(jì)出一個(gè)時(shí)變的H∞控制器，這種控制方法是基于可獲得的參數(shù)化系統(tǒng)模型,而實(shí)際上很難通過系統(tǒng)辨識(shí)的方法得到軸系參數(shù)化模型。文獻(xiàn)[13]提出用切換控制結(jié)構(gòu)，針對(duì)不同時(shí)變參數(shù)下的系統(tǒng)設(shè)計(jì)出一個(gè)模型參考控制器集，控制過程中根據(jù)系統(tǒng)特性的變化進(jìn)行控制器切換，這種方法要求系統(tǒng)必須可控，辨識(shí)出的子系統(tǒng)傳遞矩陣嚴(yán)格正則并且滿秩，系統(tǒng)離散時(shí)間狀態(tài)空間矩陣需要滿足相應(yīng)的關(guān)系方程。

本文針對(duì)動(dòng)態(tài)特性時(shí)變的推進(jìn)軸系，提出一種動(dòng)態(tài)插值自適應(yīng)控制方法，利用動(dòng)態(tài)插值算法來更新補(bǔ)償器，補(bǔ)償系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的變化，并根據(jù)最小均方算法最小化誤差信號(hào)。利用這種控制方法進(jìn)行數(shù)值仿真，并與無插值自適應(yīng)控制時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比，檢驗(yàn)控制方法對(duì)時(shí)變系統(tǒng)振動(dòng)的抑制效果。

1 參數(shù)時(shí)變推進(jìn)軸系統(tǒng)模型

為了模擬時(shí)變軸系的縱向振動(dòng)特性，建立如圖1所示的振動(dòng)模型，其中螺旋槳等效為有阻尼彈簧振子(圖中M1,k1,c1)，軸采用彈性桿模擬，推力軸承采用集中質(zhì)量M2代替，兩者用彈簧和阻尼器(黏性阻尼)連接，并且剛度k2[n(t)]隨轉(zhuǎn)速n(t)變化。推力軸承與剛性基礎(chǔ)之間通過彈簧和線阻尼器(黏性阻尼)連接，縱振簡(jiǎn)化模型參數(shù)如表1所示。

表1 縱振模型參數(shù)Tab.1 Parameters of the longitudinal vibration model

圖1 軸系縱向振動(dòng)模型Fig.1 Vibration model of the shafting system

兩端自由的均質(zhì)桿的縱向振動(dòng)可以由二階非齊次偏微分方程描述[14]

(1)

自由端處桿的應(yīng)力為零，相應(yīng)的邊界條件為

(2)

(3)

式中：ω為激勵(lì)力頻率。軸的縱向振動(dòng)固有頻率和振型滿足下列特征方程

(4)

對(duì)于兩端自由的軸，固有頻率和振型為

n≥0

(5)

根據(jù)振型疊加法，縱向振幅可以表示成無窮多個(gè)主振型的線性組合，即

(6)

將式(6)代入式(3)，得

n≥0

(7)

由式(4)和式(7)，可以得出

n≥0

(8)

(Kn-Mnω2)cn=Fn

(9)

由式(9)可以求出cn。將cn代入式(6)，得到軸的縱振幅值

(10)

(11)

根據(jù)式(11)，如果取縱向振動(dòng)的前五階主振型，桿端點(diǎn)的原點(diǎn)和跨點(diǎn)頻響函數(shù)可近似為

(12)

將圖1所示的模型分為三個(gè)部分，如圖2所示。

圖2 模型分解與分析Fig.2 Model decomposition and analysis

M1的載荷-位移方程

(13)

彈性軸的矩陣方程

(14)

M2的載荷-位移方程

(15)

式中：j為復(fù)數(shù)的虛部。

聯(lián)結(jié)處力平衡方程

(16)

聯(lián)立式(13)～式(16)可得到系統(tǒng)位移與外力的關(guān)系方程

(17)

在矩陣方程式(17)中，令Fd=0求控制通道模型，再令Fc=0求干擾通道模型

當(dāng)推力軸承剛度取不同值時(shí)，控制通道Hc的幅值和相位曲線圖3所示，由圖可知，縱向振動(dòng)固有頻率會(huì)隨著推力軸承剛度的增加而增加，并且第四階固有頻率變化范圍為136.7～148.7 Hz，第五階固有頻率的變化范圍為207.8～226.4 Hz，最大頻率偏移18.6 Hz，最大相位誤差172.5°。

圖3 不同參數(shù)下控制通道的頻響函數(shù)Fig.3 FRFs of the control channel at different parameters

2 動(dòng)態(tài)插值自適應(yīng)控制方法

圖4 動(dòng)態(tài)插值自適應(yīng)控制方法框圖Fig.4 Block diagram of the dynamic interpolating adaptive control

在控制算法推導(dǎo)過程中，每一個(gè)時(shí)刻均視為定常系統(tǒng)。在圖4中，W(z)是一個(gè)N階FIR自適應(yīng)濾波器，通過矩陣相乘可以得到u(n)

u(n)=XT(n)w(n)

(18)

式中：X(n)為一個(gè)N×M階矩陣。

X(n)=[x(n)x(n-1) …x(n-M+1)]=

在n時(shí)刻，僅在控制力作用下，系統(tǒng)的輸出為

(19)

式中：h(n)為n時(shí)刻控制通道的脈沖響應(yīng)序列。

將式(18)代入式(19)可得

y(n)=[XT(n)w(n)]Th(n)=wT(n)X(n)h(n)

在控制之前，利用模態(tài)辨識(shí)方法得到不同轉(zhuǎn)速下控制通道的脈沖響應(yīng)序列，再利用Lagrange插值方法對(duì)這些數(shù)據(jù)擬合得到時(shí)變的補(bǔ)償器模型序列。為保證算法的穩(wěn)定性，不同時(shí)刻的補(bǔ)償器模型與控制通道模型的頻域相位誤差不能超過90°[15]，相位誤差越小，控制效果越好。在控制過程中，DIA根據(jù)在線測(cè)的轉(zhuǎn)速信號(hào)來動(dòng)態(tài)的調(diào)整補(bǔ)償器模型序列。通過合理的選擇插值點(diǎn)，使得補(bǔ)償器模型和控制通道模型等價(jià)，即

(20)

式中：C(n)為一個(gè)P×M階矩陣。

L[r(n)]為插值基函數(shù)向量

lk(r)=

式中：rk為選取的插值點(diǎn)。

經(jīng)補(bǔ)償器濾波后的參考矢量為

X(n)CT(n)L[r(n)]

則

y(n)=wT(n)z(n)=wT(n)X(n)CT(n)L[r(n)]

式中：z(n)為N×1階矢量，即

令n時(shí)刻干擾作用下產(chǎn)生的干擾信號(hào)為d(n)，則誤差信號(hào)e(n)為

e(n)=d(n)-y(n)

根據(jù)誤差信號(hào)均方值最小準(zhǔn)則，代價(jià)函數(shù)J(n)為

J(n)=E[e2(n)]=E[(d(n)-y(n))2]

將誤差信號(hào)的均方值替換為瞬時(shí)平方值，進(jìn)行梯度的近似估計(jì)

由此得到濾波后LMS算法的權(quán)矢量的迭代公式

w(n+1)=w(n)+2μe(n)z(n)

(21)

式中：μ為步長(zhǎng)參數(shù)，用于迭代步長(zhǎng)的調(diào)整。

為了加快控制算法的收斂速度，采用歸一化LMS算法，并加入飽和抑制單元[16]，考慮這兩個(gè)因素后的自適應(yīng)濾波器權(quán)矢量的迭代公式

(22)

式中：μ為步長(zhǎng)參數(shù)或收斂因子，用于自適應(yīng)迭代步長(zhǎng)的調(diào)整，0<μ<1，γ>0；Su為Sigmoid函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。

3 縱向振動(dòng)控制數(shù)值仿真

3.1 數(shù)值仿真參數(shù)

在推進(jìn)軸系中，推力軸承的縱向剛度會(huì)隨著轉(zhuǎn)速的增加而減小。為模擬這種動(dòng)態(tài)特性，假設(shè)模型中推力軸承的縱向剛度與轉(zhuǎn)速關(guān)系式如下

k2=6.50×108+3.55×108cos(0.022r)+

4.18×107sin(0.022r)(N/m)

轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化軌跡為

推力軸承縱向剛度和軸速隨時(shí)間的變化如圖5所示，轉(zhuǎn)速先線性增加，再保持不變，最后線性下降。

數(shù)值仿真過程中，采樣頻率為2 048 Hz，自適應(yīng)濾波器的階數(shù)40，飽和單元的閾值為6 000 N，仿真總時(shí)間70 s。 Lagrange插值方法選取的插值點(diǎn)數(shù)為7，根據(jù)不同插值點(diǎn)對(duì)固有頻率偏移的影響程度，選擇合適的插值點(diǎn)，如圖5中所示，星號(hào)和圓圈分別表示插值算法中剛度和軸速對(duì)應(yīng)的插值點(diǎn)，其中轉(zhuǎn)速的插值點(diǎn)為1.1 r/min，37.5 r/min，49.4 r/min，70.0 r/min，96.0 r/min，111.4 r/min和150.0 r/min。

圖5 縱向剛度和軸速的時(shí)間變化歷程Fig.5 Trajectory of the longitudinal stiffness and shaft speed

3.2 雙頻激勵(lì)下的控制效果

由圖3可知，第四和五階固有頻率偏移較大，為驗(yàn)證動(dòng)態(tài)插值自適應(yīng)方法對(duì)這種動(dòng)態(tài)特性時(shí)變的系統(tǒng)的控制有效性，采用雙頻干擾激勵(lì)，并且兩個(gè)激勵(lì)頻率142 Hz和216 Hz，分別位于第四和第五階固有頻率變化范圍中間。干擾為

x1=250sin(2πf1)+250sin(2πf2)(N)

有、無插值算法的自適應(yīng)控制仿真結(jié)果如圖6所示，由圖可知，動(dòng)態(tài)插值自適應(yīng)控制方法能有效的抑制推力軸承的縱向振動(dòng)，加速度RMS值由12.7g降低到0.2g；在無插值自適應(yīng)控制下，系統(tǒng)的加速度響應(yīng)會(huì)比無控制下還要大。

圖6 加速度時(shí)域響應(yīng)Fig.6 Acceleration response in time domain

3.3 倍頻激勵(lì)下的控制效果

考慮船舶運(yùn)行過程中，螺旋槳會(huì)受到葉頻激勵(lì)力，激勵(lì)頻率會(huì)隨轉(zhuǎn)速變化

f=MNr(t)Hz

式中：M=8是螺旋槳的葉片數(shù)；N=11是螺旋槳葉頻的倍數(shù)，假設(shè)干擾力大小為

x2=500sin[2πMNr(t)](N)

有、無插值算法的自適應(yīng)控制仿真結(jié)果如圖7所示，在插值控制下，振動(dòng)得到有效控制，推力軸承加速度RMS值由21.7g降低到2.9g；在無插值控制下，在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行狀態(tài)區(qū)間響應(yīng)變大，其它區(qū)間有控制效果。

圖7 加速度時(shí)域響應(yīng)Fig.7 Acceleration response in time domain

3.4 控制仿真結(jié)果總結(jié)與分析

無論在單頻還是倍頻激勵(lì)下，動(dòng)態(tài)插值自適應(yīng)控制方法均能夠有效抑制推力軸承的縱向振動(dòng)，特別是在定轉(zhuǎn)速運(yùn)行狀態(tài)下(30～40 s)，33 s時(shí)加速度幅值分別降低為無控制下幅值的2.4%和1.26%，算法收斂速度較快。在這兩種不同激勵(lì)下，無插值的自適應(yīng)控制方法使得系統(tǒng)振動(dòng)加劇，這是由于選取的定常的補(bǔ)償器模型和時(shí)變的控制通道模型誤差較大導(dǎo)致的。在仿真到40 s時(shí)，動(dòng)態(tài)插值自適應(yīng)算法中的時(shí)變補(bǔ)償器模型、自適應(yīng)算法中的補(bǔ)償器模型和時(shí)變的控制通道模型的頻響函數(shù)如圖8所示，時(shí)變補(bǔ)償器的頻響函數(shù)幾乎和控制通道的頻響函數(shù)相同，所以控制效果非常好。

圖8 三個(gè)不同模型下的頻響函數(shù)Fig.8 FRFs of three different model

4 結(jié) 論

本文建立了推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)的簡(jiǎn)化模型，并根據(jù)建立的頻域矩陣方程求得控制通道和干擾通道的頻響函數(shù)。針對(duì)所建立的縱向振動(dòng)模型，進(jìn)行數(shù)值仿真。仿真結(jié)果表明：在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性變化較大的情況下，動(dòng)態(tài)插值自適應(yīng)控制方法能夠有效抑制推力軸承的縱向振動(dòng)，且避免了無插值控制算法導(dǎo)致的系統(tǒng)發(fā)散。