西南交通大學(xué)現(xiàn)代物理研究所，四川成都 610000

一、引言

質(zhì)量圖導(dǎo)向跟蹤算法[1]，是一種依據(jù)相位質(zhì)量圖進(jìn)行相位展開的算法。質(zhì)量圖導(dǎo)向法的根本是進(jìn)行像素?cái)U(kuò)散，利用一個(gè)表征相位質(zhì)量的質(zhì)量圖來引導(dǎo)相位展開。質(zhì)量圖導(dǎo)向法的重要部分是質(zhì)量圖，質(zhì)量圖的好壞直接影響著該算法的展開結(jié)果。

1991年，Bone提出用包裹相位數(shù)據(jù)的二階差分作為質(zhì)量圖[2]；Xu和Ai使用干涉測(cè)量得到的干涉條紋的調(diào)制度作為質(zhì)量導(dǎo)引依據(jù)[3]；后來Xu和Cumming使用IFSAR數(shù)據(jù)中的相關(guān)系數(shù)作為質(zhì)量圖指導(dǎo)IFSAR數(shù)據(jù)的展開[4]；2005年，Herraez等提出了基于合并聚類的質(zhì)量引導(dǎo)算法[5]。

本文針對(duì)已經(jīng)獲得的質(zhì)量圖展開工作，探索包裹相位圖在解包裹過程中，不同的積分路徑對(duì)于結(jié)果的影響。通過探索，找到了新的解包裹路徑。利用質(zhì)量圖上各個(gè)像素點(diǎn)二階差分值的倒數(shù)來表征質(zhì)量值，根據(jù)質(zhì)量值進(jìn)行相位展開。該方法可以大大縮短計(jì)算時(shí)間，同時(shí)提高計(jì)算結(jié)果，符合預(yù)期的要求。

二、基本原理

1、傳統(tǒng)質(zhì)量引導(dǎo)算法

質(zhì)量圖導(dǎo)向法的基本操作流程如下[6-7]：

（1）從質(zhì)量高的像素點(diǎn)出發(fā)，然后檢查這個(gè)像元點(diǎn)附近的4個(gè)像素點(diǎn)，然后對(duì)這4個(gè)像素點(diǎn)進(jìn)行相位展開，相位解纏；

（2）將進(jìn)行了相位解纏的臨近像元周圍的像素（未進(jìn)行相位解纏）儲(chǔ)存到“鄰接列”中；

（3）根據(jù)相位的質(zhì)量圖，從“鄰接列”中選出質(zhì)量高的像素進(jìn)行解纏，并更新這一列；

（4）重復(fù)（1）、（2）步驟，直至所有相位解纏完畢。

圖1是質(zhì)量圖導(dǎo)向法的展開過程，首先，在一幅相位圖中選擇質(zhì)量最高的將它們標(biāo)記起來，如圖1（a）所示區(qū)域。然后對(duì)這些區(qū)域進(jìn)行相位展開。然后，再在這些展開區(qū)域的旁邊，選擇質(zhì)量次高的區(qū)域，進(jìn)行相位展開。最后，重復(fù)上述步驟，直到所有相位圖都被展開完畢。

質(zhì)量圖導(dǎo)向法的根本在于一個(gè)高質(zhì)量的相位圖[8-9]，路徑由質(zhì)量圖決定。質(zhì)量圖導(dǎo)向法能夠比較完整的展開所需相位。

質(zhì)量圖導(dǎo)向法的優(yōu)點(diǎn)[10]有很多，能將質(zhì)量高的區(qū)域完美地展開。對(duì)于質(zhì)量不好的區(qū)域，策略是盡量對(duì)它們進(jìn)行完整地展開。相位展開的誤差能夠被限制在一定的區(qū)域內(nèi)，能夠克服誤差的積累和傳遞。

但是質(zhì)量圖導(dǎo)向法也有缺點(diǎn)[11]，如果一幅質(zhì)量圖的高質(zhì)量區(qū)域很少，那么展開的結(jié)果不是很完美，如果質(zhì)量低的區(qū)域很多，將會(huì)導(dǎo)致很多錯(cuò)誤的展開，如果噪聲點(diǎn)非常多，會(huì)導(dǎo)致該方法展開錯(cuò)誤，尤其在局部區(qū)域更為嚴(yán)重。

2、質(zhì)量圖函數(shù)

質(zhì)量圖的構(gòu)造有多種方式[12]，而質(zhì)量圖的選取會(huì)影響展開的效果，比如可以利用相關(guān)函數(shù)、偽相關(guān)函數(shù)、相位偏微分函數(shù)、最大相位梯度等函數(shù)[13]。通過這些函數(shù)來構(gòu)造，得到表示各像素點(diǎn)好壞程度，指導(dǎo)積分路徑的選取。利用像素點(diǎn)的二階差分的倒數(shù)來表征像素點(diǎn)的可靠度，二階差分可以計(jì)算包裹相位的凹/凸度，使用二階差分可以更好地檢測(cè)出一幅相位圖中可能存在的噪聲。

為了計(jì)算像素點(diǎn)(i,j)的二階差分，取一個(gè)3×3的窗口，其中包含像素點(diǎn)(i,j)及其正交及對(duì)角上的8個(gè)相鄰像素點(diǎn)，如圖2所示。

設(shè)待展開相位圖A如圖2所示，相位圖大小為 3×3，那么A中點(diǎn)(i,j)處的二階差分值D定義為：

其中，V=unwrap(A(i, j-1)-A(i, j))-unwrap(A(i, j)-A(i, j+1))

H=unwrap(A(i-1,j)-A(i, j))-unwrap(A(i, j)-A(i+1,j))

D1=unwrap(A(i-1,j-1)-A(i, j))-unwrap(A(i, j)-A(i+1,j+1))

D2=unwrap(A(i-1,j+1)-A(i, j))-unwrap(A(i, j)-A(i+1,j-1))

通過上面的計(jì)算，得到了這個(gè)像素點(diǎn)的差分值，這個(gè)差分值是像素質(zhì)量值的真實(shí)反映，通過差分值能夠?qū)С鲑|(zhì)量值的計(jì)算。質(zhì)量值的定義為：

由此得到的質(zhì)量值就能真實(shí)地反映出一幅相位圖上像素質(zhì)量的好壞，這也是進(jìn)行相位展開的重要依據(jù)。

假設(shè)A1和A2是兩個(gè)相鄰的像素，B是這兩個(gè)相鄰像素之間的連接線，則有：

其中，MB—連接線的質(zhì)量值；

M1、M2—A1、A2的質(zhì)量值。

3、算法的具體步驟

（1）依據(jù)公式（1）、（2）計(jì)算待展開相位圖各個(gè)點(diǎn)像素的質(zhì)量值，邊界不是連續(xù)的，不對(duì)邊界處理；

（2）通過公式（3），計(jì)算相鄰像素點(diǎn)的質(zhì)量值；

（3）對(duì)質(zhì)量值按照從高到低的順序排序；

（4）從最高的質(zhì)量值開始，確定這個(gè)質(zhì)量值的相鄰兩個(gè)像素點(diǎn)A1和A2，然后按照下面三種情況處理：

A1和A2沒有進(jìn)行相位展開：判斷A1和A2質(zhì)量值大小，如果MA1≥MA2，則以A1為基準(zhǔn)，對(duì)A2進(jìn)行相位展開，并把這兩個(gè)相位合并到一個(gè)群組；

A1和A2中有一個(gè)像素已經(jīng)進(jìn)行了相位展開：假設(shè)A1已經(jīng)完成了相位展開，那么它是有群組M的，則以A1為基準(zhǔn)，對(duì)A2進(jìn)行相位展開，并且將A2加入到M群組中；

A1和A2都已完成相位展開：假設(shè)A1所在的群組為M，A2所在的群組為N，像素?cái)?shù)目分別為m和n，如果m≥n，則以M為基準(zhǔn)，將N進(jìn)行變換然后進(jìn)行合并；

（5）循環(huán)操作，直至展開整個(gè)相位圖。

通過上面的具體步驟，可以對(duì)質(zhì)量圖上各個(gè)點(diǎn)進(jìn)行合理的相位展開。

4、展開實(shí)例

圖3給出了一幅質(zhì)量圖的展開過程。圖3(a)是一幅質(zhì)量圖，對(duì)其進(jìn)行劃分，標(biāo)記每個(gè)像素點(diǎn)的質(zhì)量值。圖3(b)是相鄰區(qū)域進(jìn)行質(zhì)量相加，在得到了一副質(zhì)量圖所有相連接的質(zhì)量加權(quán)和以后，從最大值的區(qū)域開始依次進(jìn)行相位展開。

加權(quán)和最大值是3.1，也就是f、g區(qū)域，首先判斷f、g的質(zhì)量值。若Mf ＞Mg，則以f為基準(zhǔn)，將g對(duì)f進(jìn)行相位展開；反之則以g為基準(zhǔn)，將f對(duì)g進(jìn)行相位展開；相等則任意展開。展開后，f和g就變成了相同的相位區(qū)域，如3(c)中的藍(lán)色區(qū)域。同理，處理接下來的質(zhì)量值2.8（a、b區(qū)，紫色）和2.6（i、j區(qū)，黃色）。

當(dāng)質(zhì)量值為2.6時(shí)，出現(xiàn)單個(gè)區(qū)域和多個(gè)區(qū)域接觸的情況，即e區(qū)域和ab區(qū)域，此時(shí)以ab區(qū)域?yàn)榛鶞?zhǔn)，將e對(duì)于ab進(jìn)行相位展開，展開后e與ab區(qū)域?yàn)橥幌辔徽归_區(qū)域，那么就把e加入到ab區(qū)域中來，如圖3(d)所示。根據(jù)以上原則，依次處理M=2.5、2.4、2.3時(shí)的相位展開。

如圖3(e)所示，當(dāng)M=2.1時(shí)，鄰接區(qū)域?yàn)樗{(lán)色fgchk區(qū)和黃色ij區(qū)。對(duì)于這種兩個(gè)展開隊(duì)列相鄰接的情況，根據(jù)鄰接隊(duì)列內(nèi)質(zhì)量點(diǎn)的多少為判斷基準(zhǔn)。以質(zhì)量點(diǎn)多的隊(duì)列為基準(zhǔn)，將另一個(gè)隊(duì)列進(jìn)行相位展開?？梢钥吹?，gfhck是5個(gè)質(zhì)量點(diǎn)，而ij區(qū)是2個(gè)質(zhì)量點(diǎn)，即以gfhck為基準(zhǔn)，將ij對(duì)gfhck進(jìn)行相位展開，同時(shí)把ij加入到gfhck隊(duì)列中。同理M=2.0時(shí)，以gfhckij為基準(zhǔn)，將abe對(duì)gfhckij相位展開，同時(shí)將abe加入到gfhckij隊(duì)列中。如圖3(e)中的藍(lán)色部分。

通過這種方法，不斷地進(jìn)行相位展開，直到所有的區(qū)域都被進(jìn)行了相位展開，如圖3(f)。可以看出，所有的區(qū)域都按照一開始找尋的質(zhì)量值最大的區(qū)域來進(jìn)行相位展開，這里的區(qū)域是這幅相位圖上質(zhì)量最好的區(qū)域，按照這兩個(gè)區(qū)域進(jìn)行相位展開，所得到的結(jié)果是最接近真實(shí)相位的。

三、仿真分析

用仿真平臺(tái)對(duì)peaks函數(shù)進(jìn)行仿真分析，并加入噪聲系數(shù)為0.5的隨機(jī)噪聲，其中仿真的三維原始圖如圖4(a)所示，對(duì)其添加頻率是1/8的正弦光柵，得到受peaks函數(shù)高度調(diào)制的變形光柵，利用傅里葉變換輪廓術(shù)得到其包裹相位如圖4(b)所示。

圖5是運(yùn)用枝切法進(jìn)行相位展開的結(jié)果圖。可以看到，得到的三維模型能夠較好地還原真實(shí)的相位的三維模型，還原結(jié)果能夠真實(shí)有效地反應(yīng)真實(shí)相位圖，但是也可以看到該三維模型有幾處明顯地跳變，對(duì)于該跳變地區(qū)，是殘差點(diǎn)較密集的區(qū)域，也就是枝切線形成閉合的區(qū)域。

圖6是通過質(zhì)量圖導(dǎo)向算法進(jìn)行相位展開的結(jié)果?？梢钥闯?，在二維圖中有幾處比較明顯的相位缺陷，這部分缺陷是質(zhì)量最不好的區(qū)域。在三維展開模型中，大部分區(qū)域用質(zhì)量圖方法可以很好地恢復(fù)展開的相位，被恢復(fù)的相位是平滑的、連續(xù)的，但是也有幾處相位跳變的區(qū)域。

圖7表示運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行相位展開得到的結(jié)果。將圖6和圖7對(duì)比發(fā)現(xiàn)，最小二乘法展開的結(jié)果值明顯比質(zhì)量圖導(dǎo)向法平滑和連續(xù)，沒有突兀的跳變區(qū)域，也沒有大規(guī)模不平滑的區(qū)域。雖然展開結(jié)果的三維模型是平滑的，但是對(duì)于原有相位圖來說，相位圖的信息誤差在每個(gè)點(diǎn)都有，誤差被平均了，并沒有消除。在相位質(zhì)量非常差的地方，展開的結(jié)果也是很差的。

圖8是本文改進(jìn)算法進(jìn)行相位展開得到的結(jié)果?？梢钥吹剑诙S展開圖中，相位展開的結(jié)果明顯比上面三種算法效果好。展開的相位圖像比較平滑，而且跟原始相位圖像相符。有幾處明顯的跳變現(xiàn)象，這是因?yàn)闂l紋圖中加入了隨機(jī)噪聲和調(diào)制光柵導(dǎo)致的跳變。而三維圖像比較平滑，較為真實(shí)地還原了原始三維圖像的相位信息，雖然有突變的區(qū)域，但是誤差在允許的范圍內(nèi)。這種算法可以有效地避免相位展開過程中拉線現(xiàn)象的產(chǎn)生，能夠有效的避免誤差的傳播。

四、車輪實(shí)驗(yàn)

1、實(shí)驗(yàn)

選取真實(shí)的車輪作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，通過采集車輪的圖像信息，產(chǎn)生車輪相位圖像，并且對(duì)該相位圖像通過四種算法進(jìn)行相位展開，然后將展開的結(jié)果進(jìn)行比較。

圖9(a)是車輪條紋圖。車輪條紋在車輪邊緣處有明顯的扭曲，因此在相位展開過程中會(huì)導(dǎo)致誤差的產(chǎn)生。在做實(shí)驗(yàn)的過程中，選擇了一部分扭曲的條紋進(jìn)行展開，目的就是分析這四種算法對(duì)誤差處理的程度。

圖9(b)是加入了隨機(jī)噪聲和調(diào)制光柵后的包裹相位圖。從圖上可以看到有幾處明顯的跳變區(qū)域，把這些區(qū)域進(jìn)行相位展開，然后對(duì)比幾種方法得到的結(jié)果，做出分析和結(jié)論。

圖10是用枝切法、質(zhì)量圖導(dǎo)向法、最小二乘法、改進(jìn)算法進(jìn)行相位展開的二維圖。在枝切法相位圖左下方，有一處明顯的錯(cuò)誤，這是枝切線閉合導(dǎo)致的展開錯(cuò)誤；最小二乘法明顯與其他不同，相位圖整體上與真實(shí)相位圖有較大差異，因?yàn)樽钚《朔ㄊ侨值钠骄?，?huì)將誤差平均到整體。質(zhì)量圖導(dǎo)向法和改進(jìn)算法在相位展開中展開的結(jié)果較好，但是質(zhì)量圖導(dǎo)向法在展開圖像下方的區(qū)域時(shí)，會(huì)有些許誤差產(chǎn)生，這是由于質(zhì)量圖質(zhì)量的高低決定的，改進(jìn)算法展開的相位圖能夠較好地恢復(fù)出真實(shí)相位。

圖11采用上述四種方法的三維展開圖。枝切法在車輪相位扭曲的區(qū)域，三維圖像跳變很嚴(yán)重，這個(gè)跳變區(qū)域就是二維圖像上產(chǎn)生閉合枝切線的區(qū)域，在該圖上，還有好幾處因誤差傳播導(dǎo)致的拉線現(xiàn)象。質(zhì)量圖導(dǎo)向法在車輪相位扭曲的區(qū)域雖然沒有拉線現(xiàn)象產(chǎn)生，但是出現(xiàn)了跳變現(xiàn)象。最小二乘法在整體上由于全局的平均作用導(dǎo)致其三維展開圖與真實(shí)圖差距過大，而且在車輪圖像跳變區(qū)域，三維圖也產(chǎn)生了跳變。運(yùn)用改進(jìn)算法得到的三維圖與真實(shí)車輪三維圖像較為吻合，說明該算法能夠較好地進(jìn)行相位展開，恢復(fù)出真實(shí)相位，而且在真實(shí)車輪圖像跳變的區(qū)域，該三維圖上并沒有發(fā)現(xiàn)跳變。所以改進(jìn)算法在處理相位展開問題中是一種較好的選擇。

2、誤差分析

圖12是四種方法模擬仿真實(shí)驗(yàn)的誤差數(shù)據(jù)圖。從圖中可以看到，其他三種方法模擬出的結(jié)果或多或少都有誤差，通過改進(jìn)算法得到的結(jié)果誤差很小。

圖13是各種算法的均方誤差。從圖中能夠直觀地看到，均方誤差由小到大依次為：改進(jìn)算法（0.3284）<枝切法（0.4973）<最小二乘法（1.3943）<質(zhì)量圖導(dǎo)向法（3.2549），這說明從誤差角度分析，改進(jìn)算法所展開的相位是最接近真實(shí)相位的。

3、運(yùn)行時(shí)間

圖14是四種算法仿真模擬運(yùn)行時(shí)間和實(shí)驗(yàn)運(yùn)行時(shí)間?？梢钥闯?，在運(yùn)行時(shí)間上，枝切法處理速度最慢，而改進(jìn)算法處理速度快，處理結(jié)果好。

4、車輪輪廓曲線對(duì)比

圖15是運(yùn)用四種算法展開的車輪輪廓周向和徑向?qū)Ρ葓D。

從周向?qū)Ρ瓤梢钥吹剑η蟹ㄔ?0cm～30cm區(qū)域內(nèi)有一處明顯的跳變，在車輪其他位置的展開結(jié)果誤差也較大；最小二乘法結(jié)果明顯與其他三條曲線不同，在起始位置就相差較大；質(zhì)量圖導(dǎo)向法曲線很好地再現(xiàn)了車輪的真實(shí)輪廓，但在車輪尾部還是產(chǎn)生了跳變，顯示對(duì)該區(qū)域的相位處理能力不足。本文改進(jìn)算法曲線能夠較好恢復(fù)出真實(shí)車輪輪廓信息，沒有產(chǎn)生跳變和誤差，因此是一種比較可靠的算法，在處理相位展開問題上有較好的表現(xiàn)。

從徑向?qū)Ρ葓D可以直觀地看到，枝切法左上角有一處明顯的跳變；最小二乘法從一開始就產(chǎn)生了明顯的跳變；質(zhì)量圖導(dǎo)向法和改進(jìn)算法都能夠很好地恢復(fù)出車輪的輪廓信息，因此這兩種算法在相位展開中都有可取之處，是不錯(cuò)的相位展開算法。

五、結(jié)論

相位展開問題是光學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要問題。對(duì)于基于相位測(cè)量技術(shù)問題來說是不可避免的。在實(shí)際應(yīng)用中，由于各種因素的影響，相位展開就變得十分困難，也就吸引了許多學(xué)者的研究，各種方法不斷涌現(xiàn)。正是基于此，本文對(duì)于相位展開問題進(jìn)行了研究。通過上面的分析和實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)算法在運(yùn)行時(shí)間和產(chǎn)生的誤差方面，均優(yōu)于其他三種方法結(jié)果，對(duì)于車輪輪廓的恢復(fù)也更加真實(shí)可靠，在進(jìn)行無損檢測(cè)和處理其他相位展開問題時(shí)有較好的能力，是需要的理想算法。該改進(jìn)的算法是一種真實(shí)可行的算法，具有處運(yùn)行度快、處理結(jié)果好的特點(diǎn)。當(dāng)然鑒于筆者能力有限，時(shí)間倉促等因素，在實(shí)驗(yàn)中也遇到了一些問題。這些問題需要后續(xù)處理，在這里就不一一贅述了。