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(河南工程學(xué)院電氣信息工程學(xué)院，河南 鄭州 451191)

0 引言

磁懸浮支撐技術(shù)不存在直接的機械接觸，因而具有無摩擦、低功耗和清潔無污染等優(yōu)勢，在航天、交通和工業(yè)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景[1-2]。懸浮技術(shù)以電磁學(xué)為基礎(chǔ)，集控制、力學(xué)和計算機學(xué)科于一體。又由于磁懸浮系統(tǒng)具有典型的非線性和不完全建模特征，使得懸浮技術(shù)的研究備受關(guān)注。

依靠電磁力實現(xiàn)對象空間懸浮的控制問題經(jīng)過解耦，可以將核心目標(biāo)分解為單自由度懸浮位置跟蹤的精準(zhǔn)控制問題。PID是最為常用的控制技術(shù)。但傳統(tǒng)PID控制存在參數(shù)整定困難，控制精度不高的問題，有很大的改進空間。比如，采用模型匹配方法，以LQ優(yōu)化方法測算控制參數(shù)[3]，或者以模糊、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能化方法對PID控制的不足進行補償[4-6]。這些控制策略中，PID參數(shù)選擇的優(yōu)劣直接影響到懸浮控制效果，這又過度依賴于技術(shù)人員的調(diào)試經(jīng)驗。

以引力式垂直懸浮系統(tǒng)為驗證裝置，采用線性二次優(yōu)化技術(shù)技術(shù)設(shè)計位置跟蹤控制器。將控制能量引入性能指標(biāo)函數(shù)的同時，降低了設(shè)計過程對已有經(jīng)驗的依賴程度。由于電磁場的非線性特征，磁懸浮控制技術(shù)對系統(tǒng)的快速性能要求非常高。因此，在給出設(shè)計方案并對所得方案的穩(wěn)定性進行論證之后，引入狀態(tài)變量最小衰減率的概念[7]，對控制律的快速性進行了分析。

針對單自由度磁懸浮系統(tǒng)的位置跟蹤控制問題，首先建立系統(tǒng)動態(tài)數(shù)學(xué)模型，然后給出基于LQR的跟蹤控制器設(shè)計過程，進而對所得控制器的穩(wěn)定性和快速性進行分析。仿真數(shù)據(jù)驗證了所得方案的有效性，并明確了系統(tǒng)響應(yīng)速度與二次優(yōu)化設(shè)計中加權(quán)參數(shù)的關(guān)系。

1 懸浮系統(tǒng)的動態(tài)模型

磁懸浮系統(tǒng)的控制原理如圖1所示。被懸浮金屬球在豎直方向受到電磁引力和重力的共同作用，二者達到平衡即可實現(xiàn)懸浮控制。其中，電磁引力F是間距x0+x和線圈電流i0+i的函數(shù)，有

(1)

k=μ0SN2/2。其中，μ0為空氣磁導(dǎo)率，μ0=4π×10-7；S為鐵芯的磁極面積；N為電磁線圈的匝數(shù)。

圖1 懸浮裝置原理分析

圖1中的傳感器實時監(jiān)測間距變化x，所得懸浮位置信息經(jīng)由控制器處理后給出線圈中所需調(diào)節(jié)電流強度i，進而改變電磁引力F的大小，以閉環(huán)方式實現(xiàn)金屬球在平衡位置x0的穩(wěn)定懸浮。系統(tǒng)原理表述主要包括懸浮球的運動方程和電流勵磁的電路方程。在平衡位置做簡化分析，可得系統(tǒng)的線性化模型為：

(2)

(3)

其中，kx為位移剛度，kx>0；ki為電流剛度，ki>0。

(4)

(5)

式(5)中2個判定陣的滿秩則表明，該系統(tǒng)是能觀且能控的。如何決策控制律，也即勵磁電流u=i，使得金屬球穩(wěn)定懸浮到目標(biāo)位置是本文的主要關(guān)注點。

2 位置跟蹤控制器設(shè)計

設(shè)計控制律，使得金屬球穩(wěn)定、準(zhǔn)確、快速地懸浮到目標(biāo)位置。為了實現(xiàn)位置輸出y=x1對給定目標(biāo)r的跟蹤控制，引入偏差變量e，記為：

(6)

將式(3)所示的狀態(tài)方程重新標(biāo)記為：

(7)

由式(6)和式(7)可得：

(8)

重新定義狀態(tài)變量z=[z1z2]T，則有：

(9)

(10)

給定加權(quán)對稱矩陣Q>和R>0，針對式(9)系數(shù)矩陣，求解黎卡提方程

(11)

得對稱正定解P，可得最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器方程

(12)

將式(12)代入式(10)可得：

(13)

至此，完成了式(4)所示懸浮系統(tǒng)的位置跟蹤控制器設(shè)計。這里對所得控制器作2點說明：

3 閉環(huán)穩(wěn)定性分析

為單自由度懸浮系統(tǒng)(4)設(shè)計的控制律(13)，目的是保證所得閉環(huán)系統(tǒng)的性能。這里對系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性進行分析。

漸進穩(wěn)定性是基礎(chǔ)要求。在李雅普諾夫意義下，通過式(9)和式(12)來分析所得系統(tǒng)的穩(wěn)定性[7]。選擇廣義能量函數(shù)

V(x)=xTPx

(14)

沿閉環(huán)系統(tǒng)(9)的任意軌跡，能量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：

(15)

矩陣P是黎卡提方程(11)的解，所以有：

<0(16)

至此，證明了所得閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

懸浮系統(tǒng)對閉環(huán)系統(tǒng)的快速性要求較高。這里采用能量函數(shù)(14)的衰減速度來估計系統(tǒng)狀態(tài)的響應(yīng)速度。狀態(tài)的最小衰減率定義為：

(17)

對于線性系統(tǒng)(9)，可得：

(18)

這是單位球面約束條件下的二次函數(shù)極值求解問題。這種非凸集約束的求解問題可以利用罰函數(shù)的思想重構(gòu)后進行極值求解，得到：

(19)

λmin(·)為對應(yīng)矩陣的最小特征值。

4 試驗及數(shù)據(jù)分析

對所得控制律的有效性進行仿真分析。實驗數(shù)據(jù)分析主要用來闡明2個問題：所得控制律能實現(xiàn)鋼球在給定位置的穩(wěn)定準(zhǔn)確跟蹤；位置跟蹤的快速性可以通過加權(quán)矩陣的參數(shù)設(shè)計進行調(diào)節(jié)。

在MATLAB/Simulink仿真環(huán)境下,對所得控制方案的性能進行分析驗證。實驗用懸浮裝置的主要參數(shù)如表1所示。

表1 懸浮系統(tǒng)主要參數(shù)列表

4.1 位置跟蹤仿真

利用表1中數(shù)據(jù)計算位置剛度kx=43.956 4，電流剛度ki=1.119。采用式(13)所得控制律，搭建系統(tǒng)(4)的仿真結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)

(20)

由于權(quán)矩陣Q和R選取之后，才能唯一確定系統(tǒng)的最優(yōu)反饋增益，所以系統(tǒng)的控制效果實際上由Q和R來決定。結(jié)合對狀態(tài)控制性能和輸入的指標(biāo)要求，選擇Q=[10 0;0 5]，由式(13)的命令計算得到K1=[78.692 6 3.386 7]， 這樣就得到了式(12)所設(shè)計的控制器。利用圖2中給出的仿真結(jié)構(gòu)對所得控制器的控制效果進行仿真，得到鋼球在目標(biāo)位置處的浮動增量如圖3所示。

圖3 目標(biāo)懸浮位置的跟蹤

圖3中的粗虛線為給定的目標(biāo)位置增量，實線為懸浮對象的實際位置增量，要求懸浮小球在平衡位置及其以上0.01 m處實現(xiàn)穩(wěn)定懸浮。本仿真中，小球的實際懸浮位置距離線圈下為0.02 m和0.01 m。通過對電磁線圈電流的調(diào)節(jié)實現(xiàn)小球在2個位置的往復(fù)切換。圖3中的位置跟蹤沒有超調(diào)，調(diào)節(jié)時間為0.3 s，實現(xiàn)了跟蹤快定位準(zhǔn)的預(yù)定目標(biāo)。

圖4中給出的是鋼球位置調(diào)節(jié)過程中的電磁線圈的電流增量。懸浮位置的提高需要加大電磁鐵引力，此時在基準(zhǔn)電流基礎(chǔ)上增加0.4 A；而返回初始平衡位置則將電流增量歸零，保持基礎(chǔ)電流即可。因為小球懸浮目標(biāo)位置突變時，不當(dāng)?shù)牟蓸宇l率會計算得到突變的電流增量，可以采用電流增量限幅的方式來保障正常工作的設(shè)備免受沖擊。

圖4 控制電流的調(diào)節(jié)

為了進一步測試所得控制律對不同類型位置給定方式的跟蹤效果，分別以方波、正弦波和鋸齒波作為位置增量的給定信號進行仿真分析，得到如圖5所示的跟蹤結(jié)果。圖5中仍以粗虛線表示給定的目標(biāo)位置增量，以實線表示懸浮被控對象的實際位置增量?？梢钥闯?，鋼球在目標(biāo)平衡位置上下0.005 m范圍內(nèi)準(zhǔn)確實現(xiàn)給定位置跟蹤。這表明所得控制律可以適應(yīng)多種形式的目標(biāo)位置跟蹤。

圖5 不同類型目標(biāo)位置的跟蹤

需要說明的是，由于懸浮裝置中電磁場具有很強的非線性特征，圍繞平衡點所得的線性化模型就具有明顯的局限性。以此為基礎(chǔ)所得的控制律僅在以目標(biāo)位置為重心的小范圍內(nèi)是有效的。以表1所給數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的測試顯示，該范圍是平衡點的半徑為0.009 5 m的鄰域。

4.2 跟蹤快速性分析

磁懸浮控制系統(tǒng)對快速性的要求非常高。系統(tǒng)控制信號的必須在足夠短的時間內(nèi)作出反應(yīng)，否則被控鋼球就會因超出電磁力有效控制范圍而失效。這里對式(19)給出的最小衰減率進行測算。令R=1，分析系統(tǒng)反應(yīng)速度與加權(quán)矩陣Q關(guān)鍵參數(shù)之間的關(guān)系。

選擇Q為對角形矩陣，記為：

(21)

首先，令q2=5，而q1在10～100內(nèi)取值，計算最小衰減率ηmin，結(jié)果如圖6所示；然后，令q1=10，而q2在5～50內(nèi)取值，計算最小衰減率ηmin，結(jié)果如圖7所示。

由圖6可知，q1越大，最小衰減率ηmin就越大，系統(tǒng)的快速性越好；由圖7可知，q2越小，最小衰減率ηmin就越大，系統(tǒng)的快速性越好。由此可見，要想使得系統(tǒng)獲得較快的反應(yīng)速度，就要選擇較大的q1或較小q2的進行反饋增益計算。需要說明的是，過度優(yōu)化這2個參數(shù)在理論上雖然沒有問題，仿真也沒有問題，但是在實際實現(xiàn)時往往會因器件性能無法滿足要求而不能完成。

圖6 q1與最小衰減率的關(guān)系

圖7 q2與最小衰減率的關(guān)系

5 結(jié)束語

單自由度懸浮球的位置跟蹤控制是磁懸浮系統(tǒng)的關(guān)鍵控制技術(shù)。文中以二次最優(yōu)方法完成了系統(tǒng)反饋控制器的設(shè)計，并在李雅普諾夫意義下證明了所得控制方案的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，所得控制律能夠?qū)崿F(xiàn)鋼球在目標(biāo)位置的穩(wěn)定懸浮，并能在小范圍內(nèi)順利進行位置切換跟蹤。進一步基于最小衰減率進行系統(tǒng)快速性討論，明確了設(shè)計中加權(quán)矩陣選取與懸浮系統(tǒng)快速性的關(guān)系。為磁懸浮位置跟蹤控制器設(shè)計中的加權(quán)系數(shù)選擇提供了參考。