北京市第十二中學(xué)高中部(100071) 劉 剛

1、試題

題目(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆初賽)已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的上下兩個(gè)端點(diǎn)分別為A,B.以A為圓心,橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與橢圓交于C,D兩點(diǎn),CD的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

(I)求橢圓的方程;

(II)直線(xiàn)l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F且不垂直于x軸,l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N′,問(wèn)直線(xiàn)MN′是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若經(jīng)過(guò)定點(diǎn),求出這個(gè)定點(diǎn);否則,說(shuō)明理由.

試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及坐標(biāo)法的應(yīng)用,考查了學(xué)生運(yùn)算求解以及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.試題(II)問(wèn)解法靈活,內(nèi)涵豐富,是一道具有研究性學(xué)習(xí)價(jià)值的好題.

2、解法探究

解得c=1,所以,所以橢圓的方程為.

(II)思路1以M,N為研究對(duì)象,先設(shè)出它們的坐標(biāo)以及直線(xiàn)l的方程,然后結(jié)合已知條件表示出直線(xiàn)MN′的方程,令y=0,接下來(lái)通過(guò)消元并借助韋達(dá)定理進(jìn)行求解.

解法1設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則N′(x2,-y2).因?yàn)镕(1,0),所以設(shè)l的方程為x=ty+1,與橢圓的方程聯(lián)立,得(3t2+4)y2+6ty-9=0,所以

直線(xiàn)MN′的方程為,令y=0,得

將①代入上式,得x=4,所以直線(xiàn)MN′經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(4,0).

思路2以M,N′為研究對(duì)象,先設(shè)出它們的坐標(biāo)以及直線(xiàn)MN′的方程,然后與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立,利用M,F,N三點(diǎn)共線(xiàn)得到坐標(biāo)之間的關(guān)系,接下來(lái)通過(guò)消元并借助韋達(dá)定理進(jìn)行求解.

解法2設(shè)M(x1,y1),N′(x2,y2),則N(x2,-y2).設(shè)直線(xiàn)MN′的方程為x=ty+m,與橢圓的方程聯(lián)立,得,

因?yàn)镸,F,N三點(diǎn)共線(xiàn),所以,即,所以

將②代入上式,得

解得m=4,所以直線(xiàn)MN′經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(4,0).

思路3由于橢圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)伸縮變換可以變?yōu)閳A,而圓有著很多幾何性質(zhì),因此借助圓利用平面幾何知識(shí)進(jìn)行解決,可以避免繁瑣的代數(shù)運(yùn)算,使解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化.

解法3在伸縮變換下,橢圓變成了單位圓分別為O′,M′,N′,N′′,F′,則.

圖1

如圖1,連接O′M′,O′N(xiāo)′,O′N(xiāo)′′,F′N(xiāo)′′, 設(shè)直線(xiàn)M′N(xiāo)′′與x′軸交于點(diǎn)P,因?yàn)橄襈′N(xiāo)′′⊥x′軸,所以x′軸是N′N(xiāo)′′的中垂線(xiàn),所以∠O′N(xiāo)′F′=∠O′N(xiāo)′′F′.

因?yàn)镺′N(xiāo)′=O′M′,所以∠O′N(xiāo)′F′=∠O′M′F′,即∠O′N(xiāo)′′F′=∠O′M′F′, 故O′,F′,M′,N′′四點(diǎn)共圓,所以∠O′F′N(xiāo)′′=∠O′M′N(xiāo)′′. 因?yàn)镺′M′=O′N(xiāo)′′,所以∠O′M′N(xiāo)′′=∠O′N(xiāo)′′M′,即∠O′F′N(xiāo)′′=∠O′N(xiāo)′′M′,所以△O′F′N(xiāo)′′～△O′N(xiāo)′′P,即,故|O′F′|·|O′P|=|O′N(xiāo)′′|2=1. 因?yàn)?所以|O′P|=2,即直線(xiàn)M′N(xiāo)′′與x′軸交于定點(diǎn) (2,0),故直線(xiàn)MN′經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(4,0).

3、思考

把本題一般化,得到

結(jié)論已知橢圓,與x軸不垂直的直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(c,0)(其中),且與橢圓交于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N′,則直線(xiàn)MN′經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

在研究命題時(shí),我們通常還要關(guān)注它的逆命題,那么這個(gè)結(jié)論的逆命題成立嗎?對(duì)于這個(gè)問(wèn)題,筆者進(jìn)行了探究,發(fā)現(xiàn)結(jié)論是正確的.

逆命題已知橢圓,與x軸不垂直的直線(xiàn)l交橢圓于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N′,且直線(xiàn)MN′經(jīng)過(guò)定點(diǎn),則直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(c,0).

證明設(shè),則N(x2,-y2).設(shè)直線(xiàn)MN′的方程為與橢圓的方程聯(lián)立,得,所以

直線(xiàn)MN的方程為,令y=0,得

將③代入上式,得x=c,所以直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(c,0).

由此,得到了下面的命題.

命題1已知橢圓,與x軸不垂直的直線(xiàn)l交橢圓于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N′,則直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(c,0)(其中)的充要條件是直線(xiàn)MN′經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

由焦點(diǎn)進(jìn)一步聯(lián)想類(lèi)焦點(diǎn),可得命題2.

命題2已知橢圓,與x軸不垂直的直線(xiàn)l交橢圓于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N′,則直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(m,0)(其中)的充要條件是直線(xiàn)MN′經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

證明(必要性)設(shè),則N′(x2,-y2).設(shè)l的方程為x=ty+m,與橢圓的方程聯(lián)立,得

所以

直線(xiàn)MN′的方程為,令y=0,得

(充分性)設(shè)M(x1,y1),N′(x2,y2),則N(x2,-y2).設(shè)直線(xiàn)MN′的方程為,與橢圓的方程聯(lián)立,得

所以

直線(xiàn)MN的方程為,令y=0,得

將⑤代入,得x=m,所以直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(m,0).

由橢圓類(lèi)比雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn),可得另外兩個(gè)命題.

命題3已知雙曲線(xiàn),與x軸不垂直的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N′,則直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(m,0)(其中)的充要條件是直線(xiàn)MN′經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

命題4已知拋物線(xiàn)y2=2px(p＞0),與x軸不垂直的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N′,則直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(m,0)(其中)的充要條件是直線(xiàn)MN′經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-m,0).

以上通過(guò)一道初賽試題探究了圓錐曲線(xiàn)一類(lèi)定點(diǎn)性質(zhì),在解題過(guò)程中,要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì),挖掘題目?jī)?nèi)涵,嘗試從不同角度探究與拓展,總結(jié)規(guī)律,從而提高學(xué)習(xí)效率.