江蘇省啟東市折桂中學(xué)(226200) 胡周華

簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)教學(xué)必修內(nèi)容之一,基本思想是在一定的約束條件下,通過(guò)數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值,線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題已成為近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題.

考試大綱中要求：了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組,能從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,并加以解決.等級(jí)要求A級(jí).

類(lèi)型一 二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域的有關(guān)問(wèn)題

1 判斷二元一次不等式Ax+By+C≥0表示的平面區(qū)域是在直線(xiàn)的哪一側(cè)的方法：

(1)特殊點(diǎn)檢驗(yàn)法

②當(dāng)C=0時(shí),取不在直線(xiàn)上的點(diǎn)(x0,0)或(0,y0)使不等式成立時(shí)就含此點(diǎn)的平面區(qū)域;不成立時(shí),就是其另一側(cè)區(qū)域．

(2)標(biāo)準(zhǔn)式快速判斷法.

將二元一次不等式Ax+By+C≥0化為y≥kx+b或y≤kx+b和x≥b或x≤b.

①y≥kx+b表示的平面區(qū)域在直線(xiàn)y=kx+b的上方;

②y≤kx+b表示的平面區(qū)域在直線(xiàn)y=kx+b的下方;

③x≥b表示的平面區(qū)域在直線(xiàn)x=b的右方;

④x≤b表示的平面區(qū)域在直線(xiàn)x=b的左方.

例1畫(huà)出二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域.

圖1

解不等式x＜3表示直線(xiàn)x=3左方的平面區(qū)域,不等式2y≥x表示直線(xiàn)x-2y=0及其左上方的平面區(qū)域,不等式3x+2y≥6表示直線(xiàn)3x+2y-6=0及其右上方的平面區(qū)域,不等式3y＜x+9表示直線(xiàn)x-3y+9=0右下方的平面區(qū)域.綜上,可得不等式所表示的平面區(qū)域如圖1陰影部分所示.

例2(2016年高考浙江卷理科)在平面上,過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)所得的垂足稱(chēng)為點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的投影．由區(qū)域中的點(diǎn)在直線(xiàn)x+y-2=0上的投影構(gòu)成的線(xiàn)段記為AB,則|AB|=()

圖2

解如圖2,△PQR是可行域,區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)在直線(xiàn)x+y-2=0上的投影構(gòu)成了線(xiàn)段R′Q′,即AB,而R′Q′=RQ,由得Q(-1,1),由得R(2,-2),|AB|=|QR|=.故選C.

點(diǎn)評(píng)本題考查線(xiàn)性規(guī)劃．先根據(jù)不等式組畫(huà)出可行域,再根據(jù)題目中的定義確定|AB|的值．畫(huà)不等式組所表示的平面區(qū)域時(shí)要注意通過(guò)特殊點(diǎn)驗(yàn)證,防止出現(xiàn)錯(cuò)誤．

2 求二元一次不等式組所表示平面區(qū)域的面積

先要畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域,然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積.利用圖形的形狀,直觀(guān)地分析圖形的結(jié)構(gòu)特征,挖掘其隱含條件,尋找解題的捷徑．

例3求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積．

解可行域?yàn)閳D3中陰影部分及其邊界．由圖形知BC=10,△ABC的邊BC上的高為5,所以S△ABC=．

圖3

圖4

例4(2013年高考北京卷文科)已知點(diǎn)A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面區(qū)域D由所有滿(mǎn)足的點(diǎn)P組成,則D的面積為_(kāi)__.

解,設(shè)P(x,y),由,得

點(diǎn)評(píng)本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、線(xiàn)性規(guī)劃等知識(shí);同時(shí)又考查了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合思想,綜合能力要求較高,體現(xiàn)近幾年來(lái),線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的考查逐漸從簡(jiǎn)單向綜合型方向轉(zhuǎn)變的趨勢(shì).

3 求二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的整數(shù)解

求區(qū)域內(nèi)正整數(shù)解的方法如下：先要畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域,然后根據(jù)區(qū)域的范圍,簡(jiǎn)單的問(wèn)題可直觀(guān)分析,確定區(qū)域內(nèi)的整數(shù)解;復(fù)雜的問(wèn)題可列表統(tǒng)計(jì),再確定滿(mǎn)足條件的整數(shù)解.的整點(diǎn)的個(gè)數(shù).

例5在直角坐標(biāo)系中,求滿(mǎn)足不等式組

解不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D5中陰影部分及其邊界．即△OAB,其中A(6,2),B(2,6).所以x∈[0,6],y∈[0,6].目標(biāo)函數(shù)P(x,y),其中x,y∈N,滿(mǎn)足條件的整點(diǎn)列表如下：

圖5

所以所求整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為21.

類(lèi)型二 利用線(xiàn)性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題

1 利用圖解法解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟：

(1)寫(xiě)出可行解的不等式組,畫(huà)出可行域;

(2)建立目標(biāo)函數(shù),作出目標(biāo)函數(shù)的等值線(xiàn);

(3)在可行域內(nèi)平移目標(biāo)函數(shù)等值線(xiàn),確定最優(yōu)解．簡(jiǎn)稱(chēng)一畫(huà)、二移、三求．

例6(2017高考北京文數(shù)第4題)若x,y滿(mǎn)足則x+2y的最大值為()

圖6

A.1 B.3 C.5 D.9z=x+2y表示斜率為的一組平行線(xiàn),當(dāng)z=x+2y過(guò)點(diǎn)C(3,3)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值z(mì)max=3+2×3=9,故選D.

解如圖6,畫(huà)出可行域,

點(diǎn)評(píng)本題主要考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃．解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出不等式組表示的可行域,將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義.若可行域?yàn)榉忾]區(qū)域(即幾條直線(xiàn)圍成的區(qū)域),則區(qū)域端點(diǎn)的值是目標(biāo)函數(shù)可能的最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn),求出直線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù),通過(guò)比較可求出最值.

2 常見(jiàn)目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題的求法

(1)求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最值,可轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)的斜截式：,通過(guò)一族平行直線(xiàn)與可行域有交點(diǎn)時(shí),直線(xiàn)在y軸上截距的最值問(wèn)題間接求出z的最值．(2)求目標(biāo)函數(shù)的最值,可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)一點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(-a,-b)連線(xiàn)斜率的最值．

(3)求目標(biāo)函數(shù)z=(x+c)2+(y+d)2的最值,可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)一點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(-c,-d)的距離的平方的最值．

例7(2016年高考江蘇卷)已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足則x2+y2的取值范圍是___.

圖7

解畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖7),要求x2+y2的取值范圍,即求陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O距離的平方,如圖7所示,過(guò)O作垂線(xiàn)垂直于2x+y-2,此時(shí)垂足N到原點(diǎn)O的距離最短,即陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的平方最小,為;連接OM,如圖7所示,M(2,3)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離最長(zhǎng),所以到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的平方最大,為22+32=13.所以x2+y2的取值范圍是.故答案為

點(diǎn)評(píng)本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃.線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線(xiàn)是實(shí)線(xiàn)還是虛線(xiàn)(一般不涉及虛線(xiàn)),其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求直線(xiàn)的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線(xiàn)的斜率、還是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等,最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值或值域范圍.

類(lèi)型三 含有字母的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

這類(lèi)問(wèn)題往往是在線(xiàn)性約束條件中或在目標(biāo)函數(shù)中含有待定的字母,一定要正確地作出平面區(qū)域圖形,依據(jù)圖形作出合理的分析與推理,對(duì)字母進(jìn)行必要的分類(lèi)討論,分類(lèi)解決.

例8若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形及其內(nèi)部,求a的取值范圍．

圖8

解作出前三個(gè)不等式表示的平面區(qū)域如圖8陰影部分所示,即可行域是△OAB內(nèi)部及邊界.其中．直線(xiàn)l:x+y=0過(guò)O,1過(guò)過(guò)B,當(dāng)直線(xiàn)x+y=a在l1,l2之間或l3右上方時(shí),滿(mǎn)足題意,當(dāng)x+y=a位于l2,l3之間時(shí),區(qū)域?yàn)樗倪呅?因此0＜a≤1或.

點(diǎn)評(píng)本例0＜a≤1容易得出,但極易忽視的情況,這是思維的片面性引發(fā)的錯(cuò)誤．

例9(2013年高考浙江卷理科)設(shè)z=kx+y,其中實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足若z的最大值為12,則實(shí)數(shù)k=___.

圖9

解不等式組表示的平面區(qū)域如圖9陰影部分所示,即△ABC內(nèi)部及邊界.其中A(2,0),B(0,2),C(4,4)．由z=kx+y,得z是直線(xiàn)l:y=-kx+z在y軸上的截距.作l0:kx+y=0,把l0向右上方平移,(1)當(dāng)時(shí),l過(guò)點(diǎn)B(0,2),z有最大值,不滿(mǎn)足條件.(2)當(dāng)時(shí),l過(guò)點(diǎn)C(4,4),z有最大值z(mì)max=k×4+4=4k+4,由4k+4=12,得k=2．綜上所述k=2.所以答案為2.

類(lèi)型四 有關(guān)線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

例10(2012年江西理)某農(nóng)戶(hù)計(jì)劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過(guò)50畝,投入資金不超過(guò)54萬(wàn)元,假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表

__________年產(chǎn)量/畝 年種植成本/畝__每噸售價(jià)___黃瓜4噸________1.2萬(wàn)元_____0.55萬(wàn)元_____________韭菜6噸_______0.9萬(wàn)元_____0.3萬(wàn)元_

為使一年的種植總利潤(rùn)(總利潤(rùn)=總銷(xiāo)售收入-總種植成本)最大,那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為()

A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50

分析本題考查線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,同時(shí)考查了數(shù)學(xué)建模的思想方法以及實(shí)踐能力.

圖10

解設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝,總利潤(rùn)為z萬(wàn)元,則目標(biāo)函數(shù)為z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y)=x+0.9y.線(xiàn)性約束條件為即作出不等式組表示的可行域如圖10陰影部分所示,其中A(45,0),B(30,20),C(0,50).平移直線(xiàn)z=x+0.9y,可知當(dāng)直線(xiàn)z=x+0.9y經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(30,20),即x=30,y=20時(shí),z取得最大值,且zmax=48(萬(wàn)元),故選B.

點(diǎn)評(píng)解答線(xiàn)性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟可歸納為：

(1)審題—仔細(xì)閱讀,明確有哪些限制條件,目標(biāo)函數(shù)是什么?

(2)轉(zhuǎn)化—設(shè)元,寫(xiě)出約束條件和目標(biāo)函數(shù),從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.

(3)求解—解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題．關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)所表示的直線(xiàn)與可行域邊界直線(xiàn)斜率間的關(guān)系;

求解過(guò)程：

①作圖：畫(huà)出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平面直線(xiàn)系中的任意一條直線(xiàn)l.

②平移：將l平行移動(dòng),以確定最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置．

③求值：解有關(guān)方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo),再代入目標(biāo)函數(shù),求出目標(biāo)函數(shù)的最值．

(4)作答—就應(yīng)用題提出的問(wèn)題作出回答．

類(lèi)型五 線(xiàn)性規(guī)劃綜合問(wèn)題

有些問(wèn)題從表面看不是線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,但通過(guò)適當(dāng)轉(zhuǎn)化使之成為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.

例11(2012年高考江蘇卷)已知正數(shù)a,b,c滿(mǎn)足：5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,則的取值范圍是___.

圖11

解

所以題目轉(zhuǎn)化為：已知x,y滿(mǎn)足求y的取值范圍.

作出(x,y)所在平面區(qū)域(如圖11的陰影部分所示),易知C(2,7),直線(xiàn)y=4x-1、y=5x-3分別與x軸交于A,B,其中,所以.令,由,得x=1,所以y在上遞減,在[1,2]上遞增,所以.將(1,e)代入(1)成立,所以y≥e.所以e≤y≤7,即的取值范圍是[e,7].

例12(2015高考浙江卷)若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x2+y2≤1,則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是___.

圖12

解x2+y2≤1表示圓x2+y2=1及其內(nèi)部,易得直線(xiàn)6-x-3y=0與圓相離,故|6-x-3y|=6-x-3y,當(dāng)2x+y-2≥0時(shí),|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4,如圖12所示,可行域?yàn)樾〉墓蝺?nèi)部,目標(biāo)函數(shù)z=x-2y+4,則可知當(dāng)時(shí),z=3;min當(dāng)2x+y-2＜0時(shí),|2x+y-2|+|6-x-3y|=8-3x-4y,可行域?yàn)榇蟮墓蝺?nèi)部,目標(biāo)函數(shù)z=8-3x-4y,同理可知當(dāng)時(shí),z=3.綜上所述,|2x+y-2|+|6-x-3y|min的最小值是3.

例13實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0有兩個(gè)實(shí)根,一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求的取值范圍．

分析可將看作點(diǎn)(a,b)和(1,2)連線(xiàn)的斜率,利用數(shù)形結(jié)合可順利使問(wèn)題得到解決．

圖13

解方程x2+ax+2b=0的兩根在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi)的幾何意義是函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi),因此可得不等式組即在直角坐標(biāo)系內(nèi),作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖13),并解出點(diǎn)A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0)．而的幾何意義是點(diǎn)P(a,b)和點(diǎn)D(1,2)連線(xiàn)的斜率．因?yàn)?如圖13,,所以.