肖光宏，湯名豪，謝 鑫

(重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074)

0 引 言

鋼筋混凝土矩形偏心受壓構(gòu)件是工程中常用的構(gòu)件之一，對偏心受壓構(gòu)件的計算是設(shè)計時的重要環(huán)節(jié)。由于小偏心受壓構(gòu)件的計算需要求解一元三次方程，可能會導(dǎo)致在偏心受壓構(gòu)件判別時產(chǎn)生分歧，因此目前對偏心受壓構(gòu)件的研究主要集中在小偏心受壓上。祝磊等[1]理論分析得出，在配筋率以及混凝和鋼筋材料一定的情況下，鋼筋混凝土柱將不會出現(xiàn)全截面受壓的情況，小偏心受壓時的相對受壓區(qū)高度ξ總是滿足ξb<ξ

筆者對現(xiàn)行規(guī)范JTG D 62—2012《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》(以下簡稱《規(guī)范》)中偏心受壓構(gòu)件判別的方法進行了研究，首先，理論分析了大小偏心受壓公式中解(即受壓區(qū)高度)的分布情況，研究大小偏心判別的不確定性現(xiàn)象；然后，用算例驗證了受拉鋼筋應(yīng)力的不連續(xù)對承載力的影響，研究得到了偏心受壓公式中解的分布情況。研究結(jié)果表明：一元三次方程在(0，+∞)上只存在唯一解，不會發(fā)生不確定性現(xiàn)象；在不同的偏心假設(shè)下，承載力在臨界偏心距處均存在誤差，且誤差與偏心假設(shè)和材料強度有關(guān)。

1 問題的提出——不確定性現(xiàn)象

1.1 偏心受壓構(gòu)件的求解

《規(guī)范》對不使用預(yù)應(yīng)力鋼筋的矩形截面偏心受壓構(gòu)件抗壓承載力的規(guī)定如圖1及式(1)～式(8)：

(1)

(2)

(3)

(4)

圖1 矩形截面偏心受壓構(gòu)件正截面抗壓承載力計算Fig. 1 Calculating the bearing capacity of eccentric compression member with rectangle section

求得ξ=x/h0，當(dāng)ξ>ξb時，為小偏心構(gòu)件；當(dāng)ξ≤ξb時，為大偏心構(gòu)件[6-7]。

式(1)中，受拉鋼筋的應(yīng)力σs按式(5)取值：

(5)

先假設(shè)大偏心[8-10]，再按式(6)進行試算得到x，然后求ξ：

(6)

1)當(dāng)ξ≤ξb時，即為大偏心構(gòu)件；

2)當(dāng)ξ>ξb時，應(yīng)按照小偏心構(gòu)件重新計算，聯(lián)立式(5)、式(6)，得到一個關(guān)于x的一元三次方程

Ax3+Bx2+Cx+D=0

(7)

求解方程(7)，即可得到x及相應(yīng)的ξ。承載力按式(8)計算：

(8)

1.2 不確定性現(xiàn)象

當(dāng)鋼筋混凝土強度不同時，發(fā)現(xiàn)臨界狀態(tài)下(即ξ=ξb)，式(5)中σs值和fsd值不同。臨界狀態(tài)下σs值的分布如表1。

表1 臨界狀態(tài)下 s值Table 1 Value of s under critical condition MPa

表1 臨界狀態(tài)下 s值Table 1 Value of s under critical condition MPa

鋼筋種類fsd/MPa混凝土強度等級≤C50C55C60C65HPB235195201.194216.125201.600216.698HRB335280282.857300.926288.444302.885HRB400330336.226356.863338.824360.000

表1顯示，在臨界狀態(tài)ξ=ξb下，σs值始終大于fsd值，說明σs是一個關(guān)于x的不連續(xù)函數(shù)。因此，在臨界狀態(tài)附近，x的求解將會受到影響。

在臨界狀態(tài)附近，先通過大偏心公式求解到x>ξbh0，判斷構(gòu)件為小偏心，再代入小偏心公式進行重算，可能會出現(xiàn)x≤ξbh0的情況，使其再判斷構(gòu)件為大偏心，導(dǎo)致判斷結(jié)果不確定性(圖2)，從而算法陷入死循環(huán)。

圖2 不確定性現(xiàn)象Fig. 2 The phenomenon of nondeterminacy

2 理論分析——受壓區(qū)高度

筆者分別對①先假設(shè)為大偏心，②先假設(shè)為小偏心這2種情況，由式(6)、式(7)解得x的分布進行分析，來研究不確定性現(xiàn)象。同時對小偏心公式(7)進行論證，確定解x在(0,+∞)上的分布情況。

2.1 先假設(shè)為大偏心

2.1.1 大偏心公式的試算

假設(shè)構(gòu)件大偏心受壓，首先根據(jù)式(6)計算出x，若x值在(0,ξbh0]之間(圖3中的區(qū)間1)，則假設(shè)成立，此時x值的分布情況如圖3；若x值在區(qū)間(ξbh0,+∞)上，則需要按照式(7)重新計算。

圖3 大偏心公式的解x的分布情況Fig. 3 Distribution of x solved by formula of large eccentricity

2.1.2 小偏心公式解的唯一性研究

由于式(7)為一元三次方程，在(0,+∞)上可能存在多解，因此在重算之前，需研究式(7)的解x在(0,+∞)上的唯一性。

對式(7)作相應(yīng)的變換，得出函數(shù)式(9)～式(11)：

(9)

(10)

f(x)=f1(x)-f2(x)

(11)

1)f1(x)的對稱軸在y軸右側(cè)時，即h/2-e0>0，對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得：

(12)

式中：x+es-h0=x-(h/2 -e0)。

當(dāng)x≥h/2-e0時，f′(x)>0成立；當(dāng)x0在(0,+∞)上成立，則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

2)f1(x)的對稱軸在y軸左側(cè)時，即h/2-e0<0，有f1(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，f2(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

綜上，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，因此式(7)的解x在(0,+∞)上具有唯一性。

2.1.3 小偏心公式的重算

臨界狀態(tài)下，ξ=ξb，按照式(7)重算，解得的x有最小值，記為xmin。式(7)的解x位于圖4的區(qū)間2內(nèi)。

圖4 小偏心公式的解x的分布情況
Fig. 4 Distribution of x solved by formula of small eccentricity

臨界狀態(tài)下，ξ=ξb，若式(11)中σs=fsd，則xmin=ξbh0,f(ξbh0)=0。而實際上，σs>fsd，所以xmin≠ξbh0，且f(xmin)=0，因式(11)中σs的系數(shù)為負(fù)數(shù)，故f(ξbh0) < 0。

由于函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則xmin>ξbh0，因此，在ξbh0和xmin之間存在一段如圖5的空白區(qū)間。

圖5 空白區(qū)間的分布情況
Fig. 5 Distribution of blank interval

圖5是先假設(shè)為大偏心的情況下，x的總體分布情況。圖中空白區(qū)間說明式(7)解得的x值偏大，其原因在于σs的不連續(xù)性。所以，先假設(shè)為大偏心時，不會發(fā)生不確定性現(xiàn)象。

2.2 先假設(shè)為小偏心

先假設(shè)為小偏心的情況下，由2.1.3可知，臨界狀態(tài)下，ξ=ξb，式(7)求解出的x值偏大。

當(dāng)式(7)解得的x=ξbh0時，設(shè)x真實值為(ξbh0-Δ)。若x真實值位于(ξbh0-Δ，ξbh0)上，式(7)解得的x位于 (ξbh0,xmin)上，這時不會使用式(6)進行重算。將區(qū)間(ξbh0-Δ，ξbh0)定義為誤判區(qū)間，若x真實值位于此區(qū)間內(nèi)，構(gòu)件將會被誤判為小偏心受壓構(gòu)件，如圖6。

圖6 x真實值與公式解得的x值Fig. 6 Real x and the x solved by formula

由圖6可知，先假設(shè)為小偏心時，將會發(fā)生以下3種情況：

1)若x真實值位于區(qū)間3中，則會被式(7)解到區(qū)間4′中，此時構(gòu)件為小偏心受壓構(gòu)件。

2)若x真實值位于誤判區(qū)間2中，則會被式(7)解到區(qū)間3′中，解得x>ξbh0，此時大偏心受壓構(gòu)件被誤判為小偏心受壓構(gòu)件，發(fā)生誤判現(xiàn)象。

3)若x真實值位于區(qū)間1中，則式(7)解得x<ξbh0-Δ，此時需要根據(jù)式(6)進行重算，最終將會被解到區(qū)間1′中，該構(gòu)件仍為大偏心受壓構(gòu)件。

由于《規(guī)范》規(guī)定受拉鋼筋應(yīng)力σs是不連續(xù)的，因此區(qū)間2′是解不到的一段空白區(qū)間，所以，先假設(shè)為小偏心的情況下，x的總體分布情況如圖7，此時不會發(fā)生不確定性現(xiàn)象。

圖7 x的總體分布情況
Fig. 7 Overall distribution of x

3 算例分析——偏壓構(gòu)件承載力

受壓區(qū)高度x和承載力Nu均為關(guān)于偏心距e0的函數(shù)。先假設(shè)為大偏心時，通過改變e0，利用式(6)求出x，再用式(8)求得承載力Nu。

圖8 先假設(shè)為大偏心時計算承載力流程Fig. 8 Flow chart for bearing capacity under the large eccentricity hypothesis

圖9 2種偏心假設(shè)下承載力Nu隨偏心距e0的變化Fig. 9 Nu changing with e0 under two types of eccentricity hypotheses

1)在C30+HRB335組合下，臨界偏心距處為一個跳躍間斷點，這是受拉鋼筋應(yīng)力σs不連續(xù)造成的。

2)先假設(shè)為大偏心和先假設(shè)為小偏心2種情況下，在臨界偏心距處承載力Nu的誤差，C30+HRB335、C50+HRB335、C30+HRB400這3種組合分別為665N和2 066N、1 192N和2 796N、1 172N和3 780N。

3)對同一構(gòu)件而言，在同一材料強度下，若先假設(shè)為大偏心，承載力Nu的誤差值要小于先假設(shè)為小偏心的情況。相同的偏心假設(shè)下，隨著材料強度的增強，誤差值也隨之增大。

5 結(jié) 論

1)通過分析論證，大小偏心公式求解出的受壓區(qū)高度x具有唯一性，不會發(fā)生不確定性現(xiàn)象。

2)小偏心公式的一元三次方程的解x，在(0,+∞)中只存在唯一解。

3)由于受拉鋼筋的應(yīng)力σs是不連續(xù)的函數(shù)，先假設(shè)為大偏心時，會存在一個空白區(qū)間，先假設(shè)為小偏心時，會存在一個誤判區(qū)間和一個空白區(qū)間，但是由于誤差范圍較小，因此小偏心受壓公式在實際工程應(yīng)用中是可行的。

4)針對同一偏心受壓構(gòu)件，在不同的偏心假設(shè)下，承載力Nu在臨界偏心距處均存在誤差，且先假設(shè)為大偏心時的誤差小于先假設(shè)為小偏心時的誤差，誤差與材料強度呈正相關(guān)。