錢(qián) 驥，楊金川，李長(zhǎng)春，張俊波

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院， 重慶 400074；2.重慶交通大學(xué) 山區(qū)橋梁與隧道工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地， 重慶 400074)

0 引 言

預(yù)應(yīng)力鋼絞線廣泛應(yīng)用于預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)、橋梁拉/吊索等重要工程結(jié)構(gòu)物中，其應(yīng)力水平直接影響著結(jié)構(gòu)的耐久性和安全性。然而，在張拉及使用過(guò)程中，受各種因素影響，鋼絞線難以長(zhǎng)期保持在設(shè)計(jì)應(yīng)力水平，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)承載能力下降，甚至威脅到結(jié)構(gòu)的整體安全。因此，開(kāi)展在役結(jié)構(gòu)鋼絞線應(yīng)力水平檢測(cè)對(duì)保障預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)安全性及耐久性至關(guān)重要。

在結(jié)構(gòu)施工階段鋼絞線張拉力易于測(cè)量，當(dāng)施工完畢投入使用之后，由于受外圍混凝土及PE管套保護(hù)，常規(guī)的鋼絞線張拉力測(cè)量方法均不再適用。長(zhǎng)期以來(lái)，開(kāi)展在役結(jié)構(gòu)鋼絞線應(yīng)力水平檢測(cè)都是工程界面臨的技術(shù)難題。目前，針對(duì)已運(yùn)營(yíng)結(jié)構(gòu)鋼絞線的應(yīng)力水平檢測(cè)研究成果均有其適用范圍，如鄧年春等[1]、蘭春光等[2]采用光纖光柵監(jiān)測(cè)鋼絞線預(yù)應(yīng)力，需要在鋼絞線制作階段預(yù)埋光纖；吳斌等[3]基于磁彈效應(yīng)提出了一種桿件拉力測(cè)量方法，分析了傳感器結(jié)構(gòu)及其勵(lì)磁方式、材料剩磁狀態(tài)、溫度和數(shù)據(jù)分析過(guò)程等因素的影響，但該方法僅適用于體外預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)；張奔牛等[4]將鋼絞線考慮為振蕩電路的一部分，通過(guò)振蕩頻率與鋼絞線中應(yīng)力的關(guān)系來(lái)檢測(cè)鋼絞線的預(yù)應(yīng)力水平，但振蕩頻率隨預(yù)應(yīng)力變化不明顯，且檢測(cè)時(shí)干擾信號(hào)較大。超聲導(dǎo)波是近年來(lái)研究較多的一種結(jié)構(gòu)無(wú)損檢測(cè)方法，與傳統(tǒng)超聲波檢測(cè)使用的體波相比，導(dǎo)波是由波導(dǎo)介質(zhì)邊界多次反射形成，其模態(tài)特征攜帶了結(jié)構(gòu)受力狀態(tài)信息，不同應(yīng)力狀態(tài)產(chǎn)生不同的導(dǎo)波模態(tài)分布。H.KWUN等[5]通過(guò)試驗(yàn)研究了加載鋼絞線中超聲導(dǎo)波的頻散特性，加載后鋼絞線的縱向模態(tài)部分頻段會(huì)出現(xiàn)缺失；N.CLAUDIO等[6]研究了鋼絞線軸向張拉力與激勵(lì)導(dǎo)波倍頻能量比β之間的關(guān)系，并考慮了有粘結(jié)混凝土的影響；劉增華等[7]根據(jù)波動(dòng)理論和聲彈性理論，建立了鋼絞線中最低階縱向模態(tài)群速度與鋼絞線應(yīng)力之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，當(dāng)鋼絞線應(yīng)力小于500 MPa時(shí)呈現(xiàn)較好的線性關(guān)系。

筆者基于柱波導(dǎo)理論推導(dǎo)了有約束邊界條件下高強(qiáng)鋼絲導(dǎo)波模態(tài)分布，并采用有限元方法分析了不同邊界約束條件下導(dǎo)波模態(tài)頻散曲線的變化規(guī)律；基于張拉力對(duì)導(dǎo)波頻散曲線的影響規(guī)律，回歸分析了直徑15.2 mm鋼絞線中心鋼絲一階縱波模態(tài)轉(zhuǎn)角隨張拉力變化關(guān)系，建立了考慮鋼絞線螺距、鋼絲間摩擦系數(shù)的張拉力計(jì)算式。

1 有約束條件下單根鋼絲縱向?qū)Рɡ碚擃l散曲線求解

彈性波在均勻各向同性彈性固體介質(zhì)中的傳播應(yīng)滿足Navier控制方程[8]

(1)

而對(duì)于高強(qiáng)鋼絲這類(lèi)細(xì)長(zhǎng)圓柱體，可以將式(1)轉(zhuǎn)換到柱坐標(biāo)系下

(2)

(3)

(4)

式中：ωr、ωθ、ωz分別為旋轉(zhuǎn)矢量的3個(gè)分量。

導(dǎo)波在高強(qiáng)鋼絲中傳播存在多種模態(tài)。對(duì)于不受力自由邊界鋼絲而言，鋼絲表面應(yīng)力為0，縱向?qū)Рǖ膽?yīng)力邊界條件可表示為：

σrr=σrz=0， (r=a)

(5)

式中：σrr、σrz為柱坐標(biāo)系下鋼絲表面的應(yīng)力分量；a為鋼絲截面半徑。

通過(guò)該應(yīng)力邊界條件，可求解縱向?qū)Рǖ念l率方程為：

4k2αβJ1(αa)J0(βa)=0

(6)

當(dāng)鋼絲表面處于受約束狀態(tài)時(shí)，其應(yīng)力邊界條件不再滿足式(5)，不同約束條件將產(chǎn)生不同的頻率方程?？紤]鋼絲表面受最強(qiáng)位移約束，各向位移均為0，達(dá)到固結(jié)狀態(tài)，此時(shí)縱向?qū)Рǖ倪吔鐥l件可以表示為：

ur=uz=0， (r=a)

(7)

通過(guò)該位移邊界條件，可求得高強(qiáng)鋼絲受表面位移約束下縱向?qū)Рl率方程

αβJ1(αa)J0(βa) +k2J1(βa)J0(αa)=0

(8)

式(6)和式(8)均為超越方程，分別采用數(shù)值方法進(jìn)行求解，得到自由和固定邊界下高強(qiáng)鋼絲中一階縱向?qū)Рǖ睦碚擃l率-波數(shù)曲線。材料參數(shù)如表1，求解得到的一階縱向?qū)Рl率-波數(shù)曲線如圖1。

表1 高強(qiáng)鋼絲材料參數(shù)Table 1 Material parameters of high strength steel wires

圖1 高強(qiáng)鋼絲中一階縱向?qū)ьl率-波數(shù)曲線Fig. 1 Frequency-wave number curves of first order longitudinal guided wave in high strength steel wires

由圖1知，不同邊界條件下，高強(qiáng)鋼絲中一階縱向?qū)РB(tài)分布具有明顯差異，隨著表面約束的增強(qiáng)，頻散曲線整體向高頻部分偏移。對(duì)鋼絞線結(jié)構(gòu)而言，其中心鋼絲的邊界約束條件受外圍鋼絲的張力影響，模態(tài)變化將反映鋼絞線實(shí)時(shí)張拉力狀態(tài)。因此，基于一階縱向?qū)РB(tài)變化可以進(jìn)行鋼絞線的張力水平檢測(cè)。

2 單根鋼絲導(dǎo)波傳播有限元分析

2.1 單根鋼絲有限元模型

超聲導(dǎo)波在鋼絞線中傳播，可看作是有約束條件下波在單根鋼絲中的傳播。以中心鋼絲為例，鋼鉸線受軸向張拉力作用時(shí)，外圍鋼絲對(duì)中心鋼絲施加法向接觸力和切向摩擦力，且這兩種約束力隨著鋼絞線張拉力的增大而增大。此時(shí)，鋼絞線各鋼絲之間的接觸面為一條螺旋線，中心鋼絲表面受外圍6根鋼絲形成的6條螺旋線位移約束。該約束狀態(tài)理論求解非常復(fù)雜，筆者采用有限元方法進(jìn)行計(jì)算分析。

采用ABAQUS/Explicit分別建立表面自由、表面固結(jié)、表面線約束(鋼絲表面軸向施加6條線約束，同時(shí)約束軸向和徑向位移，不考慮螺旋幾何特征的影響，如圖2)等3種邊界條件下的高強(qiáng)鋼絲有限元模型。鋼絲長(zhǎng)L=300 mm，直徑d=5mm，不考慮材料阻尼影響，材料參數(shù)如表1。

圖2 高強(qiáng)鋼絲有限元計(jì)算模型Fig. 2 Finite element model of high strength steel wires

為激起高強(qiáng)鋼絲中的縱向?qū)Р?，采用三角脈沖對(duì)鋼絲端面中心施加軸向激勵(lì)，脈沖荷載持續(xù)時(shí)間為3 μs，荷載結(jié)束后持續(xù)197 μs以模擬彈性波在鋼絲中的傳播過(guò)程，激勵(lì)荷載如圖3。

圖3 激勵(lì)荷載Fig. 3 Impulses load

2.2 縱向?qū)Рl散曲線計(jì)算結(jié)果

在端面軸向三角脈沖激勵(lì)下，鋼絲內(nèi)部形成導(dǎo)波傳播，沿波傳播路徑上提取x=25、150、275 mm等3個(gè)節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)時(shí)域信號(hào)(圖4)，從圖中可以看到明顯的時(shí)間滯后，但無(wú)法直觀反映模態(tài)信息。

沿波傳播路徑上提取更多節(jié)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)程信號(hào)構(gòu)成二維時(shí)間-空間矩陣，通過(guò)二維傅里葉變換，將時(shí)間域的信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻率域、空間域的信號(hào)轉(zhuǎn)換到波數(shù)域，可求得頻率-波數(shù)頻散曲線。二維傅里葉變換[10]如式(9)：

H(k,f)=?A(z,t)e-i(wt+kz)dzdt

(9)

式中：A(z,t)為鋼絞線中心鋼絲各點(diǎn)的軸向加速度時(shí)程；ω為圓頻率，ω=2πf。

圖4 節(jié)點(diǎn)時(shí)程曲線Fig. 4 Time history curves in finite points

分別提取3種邊界條件下有限元模型中間500個(gè)節(jié)點(diǎn)(x=25～275 mm，相鄰節(jié)點(diǎn)間隔0.5 mm)的時(shí)域波形進(jìn)行二維傅里葉變換，如圖5。

圖5 不同邊界條件一階縱向?qū)Рl率-波數(shù)曲線Fig. 5 The first order longitudinal guided wave modal distribution under different boundary conditions

從圖5可知，邊界條件為自由邊界和表面固結(jié)時(shí)，有限元計(jì)算結(jié)果與理論頻率-波數(shù)曲線完全吻合，說(shuō)明采用有限元模擬導(dǎo)波傳播過(guò)程及采用二維傅里葉變換提取頻散曲線均有效可行。

同時(shí)，與自由邊界條件相比，當(dāng)鋼絲表面有線固結(jié)約束時(shí)，一階縱向?qū)Рń刂诡l率顯著上升，頻散曲線整體向高頻部分偏移，且低頻成分的頻率上升現(xiàn)象更為明顯，導(dǎo)致一階縱向?qū)Рl散曲線在低頻段與自由邊界頻散曲線之間形成明顯轉(zhuǎn)角。

隨著鋼絲表面約束的進(jìn)一步增強(qiáng)，即鋼絲表面位移被全部約束達(dá)到固結(jié)狀態(tài)，一階縱向?qū)Рǜ鞑〝?shù)對(duì)應(yīng)的頻率上升現(xiàn)象更明顯?？傮w而言，隨著鋼絲表面約束剛度增大，頻散曲線向高頻部分偏移，截止頻率提高，低頻位置出現(xiàn)模態(tài)轉(zhuǎn)角。

3 鋼絞線導(dǎo)波傳播有限元分析

3.1 鋼絞線有限元模型

受預(yù)加力水平及荷載影響，不同橋梁鋼絞線張拉力不一致，中心鋼絲受到的約束強(qiáng)度也不相同，實(shí)際上處于一種彈性線約束狀態(tài)，其最強(qiáng)約束為線固結(jié)約束。通過(guò)建立鋼絞線整體有限元模型，可分析不同張拉力狀態(tài)下導(dǎo)波頻散曲線變化規(guī)律。

有限元模型采用工程中常用的直徑d=15.2 mm，螺距h=260 mm的鋼絞線，長(zhǎng)度L=520 mm，不考慮材料阻尼影響，材料參數(shù)見(jiàn)表1。

為了更好地模擬鋼絞線多根鋼絲間的接觸作用，鋼絞線中接觸區(qū)域的網(wǎng)格應(yīng)在單根鋼絲模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步加密。因此，文中鋼絞線沿軸向的單元尺寸為1 mm，接觸區(qū)域的單元尺寸最小為0.1 mm。網(wǎng)格劃分后，該模型一共由1 745 623個(gè)六面體8節(jié)點(diǎn)單元組成(圖6)。積分時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)波動(dòng)效應(yīng)求解的精度和穩(wěn)定性影響較大，由于鋼絞線結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，筆者采用全自動(dòng)積分時(shí)間步長(zhǎng)。

圖6 鋼絞線有限元計(jì)算模型Fig. 6 Finite element model of steel strands

整個(gè)模擬過(guò)程分為軸向張拉力施加、導(dǎo)波激勵(lì)以及導(dǎo)波傳播3個(gè)階段。模型采用一端完全固定，另一端僅釋放軸向位移，約束其它方向自由度。在鋼絞線的非固定端施加光滑幅值曲線的面荷載，模擬軸向張拉力作用，該過(guò)程是一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)加載過(guò)程，為了防止干擾信號(hào)的產(chǎn)生，加載時(shí)間設(shè)定為300 μs，在波激勵(lì)和波傳播過(guò)程中幅值保持恒定(如圖7)。在非固定端的中心鋼絲截面中心處，采用三角脈沖進(jìn)行軸向激勵(lì)，脈沖荷載持續(xù)時(shí)間為3 μs，荷載結(jié)束后持續(xù)697 μs以模擬彈性波在鋼絞線中的傳播過(guò)程，激勵(lì)荷載如圖3。為防止導(dǎo)波信號(hào)因預(yù)應(yīng)力的擾動(dòng)而湮滅，在已加載預(yù)應(yīng)力鋼絞線中激勵(lì)導(dǎo)波時(shí)，激勵(lì)信號(hào)能量級(jí)應(yīng)遠(yuǎn)高于預(yù)應(yīng)力能量級(jí)[11]。

鋼絞線間的法向接觸采用“硬”接觸，切向接觸采用摩擦系數(shù)為0.6的“罰”摩擦進(jìn)行模擬[12]。

圖7 軸向張拉力幅值曲線Fig. 7 Time-history curve of axial force

3.2 一階縱向?qū)РB(tài)分布

分別提取鋼絞線軸向應(yīng)力達(dá)到1 302 MPa時(shí)，中心鋼絲軸線上x(chóng)=60、260、460 mm等3個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)程曲線(如圖8)，圖中能看到時(shí)間滯后、幅值衰減及頻散現(xiàn)象。在x=60 ～ 460 mm范圍內(nèi)，提取400個(gè)間距為1 mm的節(jié)點(diǎn)軸向加速度時(shí)程曲線A(z,t)構(gòu)成二維矩陣。

圖8 鋼絞線中心鋼絲節(jié)點(diǎn)時(shí)程曲線Fig. 8 Time-history curves in central wire nodes of steel strands

通過(guò)二維傅里葉變換計(jì)算鋼絞線中心鋼絲一階縱向?qū)Рǖ念l率-波數(shù)如圖9。

圖9 鋼絞線中心鋼絲縱向?qū)Рl率-波數(shù)曲線Fig. 9 Central wire frequency-wave number curves in steel strands

由圖9可知，受鋼絞線張拉力作用，鋼絞線外圍鋼絲對(duì)中心鋼絲提供了彈性約束，該約束作用使得中心鋼絲一階縱向?qū)Рl散曲線向高頻部分偏移，但沒(méi)有達(dá)到線固結(jié)約束狀態(tài)頻散曲線，這也說(shuō)明鋼絞線中外圍鋼絲對(duì)中心鋼絲的約束沒(méi)有達(dá)到線固結(jié)狀態(tài)。

由于低頻部分偏移更為明顯，從而在300 kHz附近出現(xiàn)了模態(tài)轉(zhuǎn)角，且該模態(tài)轉(zhuǎn)角受外圍鋼絲的約束強(qiáng)度影響，即反映了鋼絞線張拉狀態(tài)。

3.3 引起模態(tài)轉(zhuǎn)角的原因分析

鋼絞線外圍鋼絲對(duì)中心鋼絲的彈性約束作用使得鋼絞線中心鋼絲一階縱向?qū)Рǔ霈F(xiàn)模態(tài)轉(zhuǎn)角，但約束作用通常分為法向約束作用和切向約束作用，二者對(duì)于模態(tài)轉(zhuǎn)角的影響需要進(jìn)一步研究。

采用文中所建立的鋼絞線有限元模型，分析2種不同約束狀態(tài)下鋼絞線中心鋼絲一階縱波模態(tài)分布情況。約束狀態(tài)如下：

1)法向約束為“硬”接觸，無(wú)切向約束；

2)法向約束為“硬”接觸，切向約束采用摩擦系數(shù)為0.6的“罰”摩擦模擬。

有限元建模、脈沖激勵(lì)及數(shù)據(jù)處理如前，計(jì)算得到2種約束狀態(tài)下鋼絞線中心鋼絲一階縱向?qū)Рǖ念l率-波數(shù)曲線，如圖10。

圖10 不同工況鋼絞線中心鋼絲一階縱向?qū)Рǖ念l率-波數(shù)曲線Fig. 10 Central wire frequency-wave number curve in steel strands under different conditions

由圖10可知，當(dāng)外圍鋼絲僅對(duì)中心鋼絲施加法向約束作用時(shí)，一階縱向?qū)РB(tài)在500 kHz附近出現(xiàn)缺失；當(dāng)外圍鋼絲對(duì)中心鋼絲同時(shí)施加法向和切向約束作用時(shí)，一階縱向?qū)РB(tài)同樣在500 kHz附近缺失，且300kHz附近出現(xiàn)模態(tài)轉(zhuǎn)角。結(jié)果表明，外圍鋼絲對(duì)中心鋼絲的切向約束作用是引起一階縱向?qū)РB(tài)轉(zhuǎn)角的原因，而法向約束作用僅引起一階縱向?qū)РB(tài)部分頻帶缺失。

3.4 模態(tài)轉(zhuǎn)角隨鋼絞線拉應(yīng)力變化關(guān)系

為準(zhǔn)確計(jì)算模態(tài)轉(zhuǎn)角，對(duì)圖9中模態(tài)分布云圖進(jìn)行簡(jiǎn)化處理。將通過(guò)二維傅里葉變換得到的包含頻率-波數(shù)-幅值信息的三維矩陣，按列進(jìn)行劃分，提取每列的最大值及最大值位置，根據(jù)求得的幅值矩陣各列最大值坐標(biāo)，繪制其在頻率-波數(shù)平面的散點(diǎn)圖，并采用直線y=kx+b對(duì)投影點(diǎn)進(jìn)行擬合。模態(tài)轉(zhuǎn)角主要出現(xiàn)在200～400 kHz頻率范圍內(nèi)，對(duì)該頻段簡(jiǎn)化之后得到圖11。定義兩直線L(0，1，1)和L(0，1，2)之間的交角為一階縱向?qū)РB(tài)轉(zhuǎn)角，如圖12。

圖11 簡(jiǎn)化模態(tài)分布Fig. 11 Implification of mode graph

圖12 模態(tài)轉(zhuǎn)角計(jì)算方法Fig. 12 Calculation methods of mode bifurcation angle

工程中常用鋼絞線的抗拉強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值為1 860 MPa，分別進(jìn)行10%、20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%、100%倍抗拉強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值荷載作用下鋼絞線導(dǎo)波傳播模態(tài)分析。按文中模態(tài)簡(jiǎn)化提取方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，計(jì)算直線L(0，1，1)和L(0，1，2)各參數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 參數(shù)計(jì)算Table 2 Calculation parameters

由表2可知，隨著鋼絞線張拉力的增加，鋼絲間的相互約束逐漸增強(qiáng)，一階縱向?qū)РB(tài)轉(zhuǎn)角逐漸增大。回歸分析軸向張拉力與模態(tài)轉(zhuǎn)角之間的函數(shù)關(guān)系如圖13。

圖13 應(yīng)力與模態(tài)轉(zhuǎn)角的關(guān)系Fig. 13 Relationship between mode bifurcation angle and stress

由圖13可知，當(dāng)拉力較小時(shí)，一階縱向?qū)РB(tài)轉(zhuǎn)角現(xiàn)象不明顯，采用簡(jiǎn)化方法計(jì)算的轉(zhuǎn)角誤差較大，不考慮10%荷載等級(jí)，擬合鋼絞線應(yīng)力σ(單位：MPa)與模態(tài)轉(zhuǎn)角關(guān)系：

σ= 69.45θ3.275

(10)

3.5 考慮鋼絞線螺距及摩擦系數(shù)影響的張拉力計(jì) 算簡(jiǎn)式

根據(jù)S. MACHIDA等[13]的研究成果，七芯鋼絞線中，鋼絲間的法向接觸力p與鋼絞線所受的軸向張拉力成正比：

(11)

式中：F為作用在鋼絞線上的軸向張拉力，N；h為鋼絞線的螺距，m。

采用“罰”摩擦公式模擬鋼絞線間的切向作用時(shí)，當(dāng)未達(dá)到臨界切向摩擦力，切向摩擦力τ與法向接觸力p成正比：

(12)

式中：μ為摩擦系數(shù)。

由式(12)可知，鋼絞線張拉力與鋼絲間摩擦力呈線性關(guān)系，考慮式中螺距和摩擦系數(shù)影響，對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正，得：

(13)

式中：A為鋼絞線截面積，A=144 mm2；μ0為有限元計(jì)算模型摩擦系數(shù)，μ0=0.6；h0為模型鋼絞線螺距，h0=0.26 m。

從而可得到鋼絞線張拉力計(jì)算簡(jiǎn)式：

4 結(jié) 論

1)推導(dǎo)了邊界自由及表面固結(jié)條件下單根鋼絲理論頻散曲線分布，基于二維傅里葉變換的有限元仿真計(jì)算值與理論計(jì)算值完全吻合。

2)隨著鋼絲表面約束剛度增大，一階縱向?qū)Рl散曲線整體向高頻部分偏移，低波數(shù)部分偏移現(xiàn)象明顯，在頻率300 kHz附近出現(xiàn)模態(tài)轉(zhuǎn)角。

3)受鋼絞線張拉力作用，鋼絞線外圍鋼絲對(duì)中心鋼絲提供了彈性約束作用。對(duì)比分析了鋼絲間法向約束作用和切向約束作用模態(tài)變化規(guī)律，引起300 kHz附近出現(xiàn)模態(tài)轉(zhuǎn)角的原因是鋼絲間的切向約束力。

4)對(duì)不同張拉力條件下的模態(tài)轉(zhuǎn)角進(jìn)行了回歸分析，考慮鋼絞線螺距與鋼絲摩擦系數(shù)對(duì)回歸式的影響，建立了一階縱向?qū)РB(tài)轉(zhuǎn)角與鋼絞線張拉力之間的冪函數(shù)關(guān)系式。