盧海峰，衛(wèi) 偉，陸慧娟

(中國(guó)計(jì)量大學(xué) 信息工程學(xué)院，杭州 310018)

1 引 言

黃廣斌等在2006年提出的超限學(xué)習(xí)機(jī)(Extreme Learning Machine，ELM)在分類和回歸問題上具有泛化性能好、分類精度高、訓(xùn)練速度快等優(yōu)點(diǎn)[1].然而隨機(jī)初始化的特性正是其缺點(diǎn)所在[2]，即輸入權(quán)值和閾值的隨機(jī)初始化導(dǎo)致了模型性能的不穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[3]將受限玻爾茲曼機(jī)與ELM將結(jié)合，在對(duì)數(shù)據(jù)降維的同時(shí)，得到了ELM的輸入權(quán)值和閾值.文獻(xiàn)[4，5]分析了初始化不同的參數(shù)對(duì)ELM性能的影響：文獻(xiàn)[4]針對(duì)輸入權(quán)值的不同分布進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[5]針對(duì)輸入權(quán)值和閾值的方差進(jìn)行了研究.當(dāng)訓(xùn)練樣本參與到輸入權(quán)值的初始化過程時(shí)，ELM分類精度得到了明顯的提高[6，7]，但它們都只是簡(jiǎn)單地組合訓(xùn)練樣本，并沒有充分提取和表達(dá)訓(xùn)練樣本集的特征.文獻(xiàn)[8]將訓(xùn)練樣本先經(jīng)過自動(dòng)編碼器(auto-encoder，AE)，再將其輸出權(quán)值用于ELM輸入權(quán)值的初始化，并提出了基于AE逐層提取特征的方法.文獻(xiàn)[9]提出了類限制超限學(xué)習(xí)機(jī)(class-constrained extreme learning machine，C2ELM)，算法將訓(xùn)練數(shù)據(jù)按類通過AE進(jìn)行訓(xùn)練，大大降低了計(jì)算過程中的使用內(nèi)存，在一定程度上也提高了分類精度.輸入權(quán)值的稀疏性可以進(jìn)一步提高模型的性能，文獻(xiàn)[10]將圖像的局部區(qū)域作為輸入權(quán)值的初始化，提出了局部感知的ELM.本文從文獻(xiàn)[9，10]得到靈感，首先結(jié)合權(quán)值的稀疏性和分類訓(xùn)練的方法提出了基于局部自動(dòng)編碼器(local auto-encoders，LAE)的類限制超限學(xué)習(xí)機(jī)(receptive field class-constrained extreme learning machine，RF-C2ELM)，然后比較ELM-AE(Extreme Learning Machine Auto Encoder)、C2ELM和RF-C2ELM在不同隱層結(jié)點(diǎn)數(shù)下的訓(xùn)練時(shí)間，接著將C2ELM和RF-C2ELM擴(kuò)展為多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并與ML-ELM(Multi Layer Extreme Learning Machine)作比較.

2 相關(guān)知識(shí)

2.1 ELM

對(duì)于任意N個(gè)互不相同的訓(xùn)練樣本與對(duì)應(yīng)標(biāo)簽的集合，數(shù)據(jù)組織形式為(xi，ti)，其中xi=[xi1，xi2，…，xin]T∈Rn是模型的輸入，ti=[ti1，ti2，…，tim]T∈Rm是整個(gè)模型的期望輸出，i=1，2，…，N.假設(shè)SLFNs(Single-hidden layer feedforward neural networks)具有K個(gè)隱層結(jié)點(diǎn)，模型可以表示成：

(1)

其中oi=[oi1，oi2，…，oim]T∈Rm為模型的實(shí)際輸出，ωi=[ωi1，ωi2，…，ωiK]T∈RK為連接輸入層和隱層的權(quán)值向量，βi=[βi1，βi2，…，βim]T∈Rm為連接隱層和輸出層的權(quán)值向量，bi為第i個(gè)隱層結(jié)點(diǎn)的閾值，f(·)為隱層的激活函數(shù)，通常選擇sigmoid函數(shù)作為激活函數(shù)，ωi·xj表示ωi和xj的內(nèi)積.如果具有K個(gè)隱層結(jié)點(diǎn)的SLFNs能以零誤差逼近樣本，(1)式可以簡(jiǎn)化成：

Hβ=T

(2)

其中

(3)

于是有：

(4)

(5)

(A+BCD)-1=A-1B(C-1+DA-1B-1)-1

(6)

得到：

(7)

(8)

其中I為單位矩陣，C為正則化因子.

2.2 AE

AE最早由Rumelhart于1986年提出[13]，其主要目的是對(duì)于一給定的數(shù)據(jù)集學(xué)習(xí)壓縮的或分布式的特征表達(dá)[14].AE是一種典型的單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其期望輸出恰好等于輸入，即T=X.訓(xùn)練AE的方法主要有向后傳播算法(BP)和基于ELM的方法[8].前者通過逐步迭代來不斷修改網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，后者則是隨機(jī)初始化輸入權(quán)值和閾值，通過最小二乘法[15]計(jì)算得到輸出權(quán)值.后者具有精度高、訓(xùn)練時(shí)間短等優(yōu)點(diǎn)，因此本文采用該方法表達(dá)輸入數(shù)據(jù)的特征.計(jì)算其輸出權(quán)值的表達(dá)式式(9)所示.

(9)

2.3 C2ELM

C2ELM與ELM-AE的不同之處是：C2ELM先將訓(xùn)練樣本按標(biāo)簽進(jìn)行劃分，再將每類訓(xùn)練數(shù)據(jù)通過AE，得到的輸出矩陣初始化為ELM輸入權(quán)值的某個(gè)分塊矩陣[9]；ELM-AE則是將所有訓(xùn)練數(shù)據(jù)通過AE，得到的輸出矩陣初始化為ELM的整個(gè)輸入權(quán)值矩陣[8].

雖然C2ELM的分類精度只比ELM-AE高出一點(diǎn)，但其訓(xùn)練時(shí)間遠(yuǎn)小于ELM-AE.原因在于對(duì)類別樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行自動(dòng)編碼時(shí)，大大降低了內(nèi)存的使用，從而加快了AE的過程.

2.4 ML-ELM

ML-ELM將ELM-AE進(jìn)行堆疊，構(gòu)造了一個(gè)多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8].ML-ELM的構(gòu)造過程如下：先將原始訓(xùn)練樣本通過AE，把輸出權(quán)值初始化為第一層的連接權(quán)值，然后把第二層神經(jīng)元的輸出信息通過AE，把計(jì)算得到的輸出權(quán)值初始化為第二層連接權(quán)值，以此類推，直到構(gòu)建完只剩最后一層連接權(quán)值為止，最后一層的連接權(quán)值可由式(8)得到.第j層神經(jīng)元的輸出可用式(10)表示：

Hj=g((βj)THj-1)

(10)

其中j≥1，訓(xùn)練樣本輸入X可看成是第0層輸出H0.此外，訓(xùn)練每層連接權(quán)值的AE的輸入權(quán)值和閾值是正交的，即滿足：

aTa=I，bTb=1

(11)

其中a=[a1，…，ak]為正交隨機(jī)輸入權(quán)值，b=[b1，…，bk]為正交隱層閾值.

3 RF-C2ELM

在ELM中，稀疏的輸入權(quán)值可以有效提高模型的預(yù)測(cè)精度.在手寫數(shù)字分類中，文獻(xiàn)[10]采用隨機(jī)選取圖像矩形區(qū)域來初始化ELM的輸入權(quán)值，控制矩形區(qū)域內(nèi)的圖像信息保持不變，區(qū)域外的圖像信息全部置0.輸入權(quán)值ω1=[ω1,ω2,…,ωk]T的每一行ωi向量都是每個(gè)隱層結(jié)點(diǎn)選取圖像矩形塊后將區(qū)域外的信息置0再轉(zhuǎn)換成行向量的結(jié)果.但是，將原始的圖像信息初始化為輸入權(quán)值并不能很好地表達(dá)該類數(shù)據(jù)的特征.因此，本節(jié)介紹一種基于LAE的類限制超限學(xué)習(xí)機(jī).

3.1 算法描述

圖1 RF-C2ELM結(jié)構(gòu)示意圖

(12)

RF-C2ELM結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示.

算法過程描述如下：

輸入：訓(xùn)練樣本{(xi，ti)|i=1，…，N}，ELM隱層結(jié)點(diǎn)數(shù)K.

Step1. 標(biāo)準(zhǔn)化訓(xùn)練樣本，在-1到1之間按均勻分布隨機(jī)初始化隱層結(jié)點(diǎn)的閾值b，T=?.

Step2. 根據(jù)隱層結(jié)點(diǎn)數(shù)K為每類的每個(gè)AE隨機(jī)選擇矩形域集合T，按面積比例分配隱層結(jié)點(diǎn)數(shù).

Step3. 對(duì)于每個(gè)矩形域，從所有輸入樣本中獲得屬于該類的樣本xc，根據(jù)矩形域的范圍將域外的數(shù)據(jù)置0.

Step5. 利用公式(9)得到AE的輸出權(quán)值βELM-AE.

Step6. 利用公式(12)合并ELM的輸入權(quán)值WELM.

Step7. 利用公式(3)計(jì)算ELM的輸出矩陣H.

3.2 時(shí)間復(fù)雜度的比較與分析

為了突出ELM-AE、C2ELM和RF-C2ELM三種算法在訓(xùn)練時(shí)間上的差異，這一小節(jié)比較三種算法在初始化ELM輸入權(quán)值上的時(shí)間復(fù)雜度.

4 多層ELM

為了驗(yàn)證所提出的RF-C2ELM是否較好地提取了訓(xùn)練樣本的特征，這一節(jié)將C2ELM與RF-C2ELM都擴(kuò)展為多層ELM，并連同ML-ELM作預(yù)測(cè)性能的比較.

為了使圖像分類精度更高，不同算法的實(shí)現(xiàn)在某些細(xì)節(jié)上存在著差異，比如AE輸入權(quán)值和閾值是否正交和ELM第一層輸出是否增加閾值.具體差異詳見表1.

表1 三種算法在實(shí)現(xiàn)上的差異

另外，C2ELM并不是完全按類訓(xùn)練數(shù)據(jù)，而是附加了一個(gè)所有訓(xùn)練樣本參與計(jì)算的權(quán)值[9]，而ML-C2ELM與ML-RF-C2ELM則是完全按類訓(xùn)練數(shù)據(jù)，直接將每類訓(xùn)練樣本交給單個(gè)或多個(gè)AE訓(xùn)練，從而在最大內(nèi)存占用率和訓(xùn)練時(shí)間上獲得更多性能的提升.

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)執(zhí)行的環(huán)境是windows 7操作系統(tǒng)上的MATLAB R2010b，計(jì)算機(jī)內(nèi)核i5-6500@3.2GHz，內(nèi)存8G.

MNIST手寫數(shù)字集是測(cè)試ELM最常用的數(shù)據(jù)集.MNIST由60000個(gè)訓(xùn)練樣本和10000個(gè)測(cè)試樣本組成，每個(gè)樣本的輸入數(shù)據(jù)由784個(gè)像素組成，共10類.

圖2是單隱層ELM在MNIST測(cè)試集上的誤差率.從圖中不難看出，ELM-AE、C2ELM和RF-C2ELM的誤差率遠(yuǎn)小于隨機(jī)初始化參數(shù)的ELM，而且RF-C2ELM的誤差率明顯小于ELM-AE和C2ELM，說明該算法在淺層(即三層)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)下提取到了更好的特征.

圖2 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為“784-?-10”的測(cè)試集誤差

圖3 單隱層輸入權(quán)值的訓(xùn)練時(shí)間隨隱層結(jié)點(diǎn)數(shù)的變化

為了驗(yàn)證優(yōu)化的第一層連接權(quán)值是否能有效逐層傳遞特征，下文將重點(diǎn)放在多層ELM上.接下來的實(shí)驗(yàn)以4層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為例，即雙隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其中輸入層結(jié)點(diǎn)數(shù)為784，第二層結(jié)點(diǎn)數(shù)固定為700，第三層結(jié)點(diǎn)數(shù)可調(diào)，輸出層結(jié)點(diǎn)數(shù)為10.網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可表示為784-700-？-10，“？”表示該層結(jié)點(diǎn)數(shù)可調(diào).圖3記錄了訓(xùn)練輸入權(quán)值的時(shí)間隨隱層結(jié)點(diǎn)數(shù)的變化.我們可以得到以下結(jié)論：RF-C2ELM初始化ELM輸入權(quán)值的時(shí)間基數(shù)較大，但隨隱層結(jié)點(diǎn)增長(zhǎng)的速度較慢.當(dāng)隱層結(jié)點(diǎn)數(shù)較少時(shí)，RF-C2ELM的訓(xùn)練時(shí)間較長(zhǎng)，但當(dāng)隱層結(jié)點(diǎn)數(shù)大約超過7000時(shí)，RF-C2ELM則是三種算法中效率最高的.由于單臺(tái)計(jì)算機(jī)內(nèi)存有限，為了使可調(diào)的結(jié)點(diǎn)數(shù)達(dá)到更高的上限，在多層ELM上采用在線序列學(xué)習(xí)[17]的方式，將數(shù)據(jù)分批訓(xùn)練，可調(diào)結(jié)點(diǎn)數(shù)最高可達(dá)6000.MNIST測(cè)試集與訓(xùn)練集在784-700-？-10結(jié)構(gòu)下的誤差率分別如圖4和圖5所示.

圖4 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為“784-700-?-10”下的測(cè)試誤差率

圖5 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為“784-700-?-10”下的訓(xùn)練誤差率

表2列出了三種算法在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為“784-700-6000-10”下的測(cè)試集誤差率，表中Ri表示初始化第i層連接權(quán)值的AE的正則化因子，其中i∈{1,2}，R3表示計(jì)算ELM輸出權(quán)值的正則化因子.從圖表可以看出ML-RF-C2ELM的預(yù)測(cè)精度最高，說明該算法能有效提取特征并進(jìn)行特征逐層傳遞.

表2 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為“784-700-6000-10”下的測(cè)試誤差率

6 結(jié) 語

本文提出了一種基于LAE的類限制ELM，將其同C2ELM一起擴(kuò)展到多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，目的是為了驗(yàn)證該方法的特征提取能力和逐層傳遞能力.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，ML-RF-C2ELM在圖像分類問題上能保持較高的預(yù)測(cè)精度.