王俊　張凱

摘 要：采用量綱分析π定理建立了自由跌水沖坑深度的預(yù)測(cè)模型，利用多元線性回歸方法得到了自由跌水沖坑深度的預(yù)測(cè)公式；用收集到的數(shù)據(jù)對(duì)公式進(jìn)行了驗(yàn)證和精度分析。結(jié)果表明，本文公式考慮的影響因子較為全面，公式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算精度高，對(duì)實(shí)際工程中沖刷深度的預(yù)測(cè)有一定的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：自由跌水；沖刷深度；沖刷公式；量綱分析

自由跌水在水工建筑物下部引起的沖刷是水利工程中重要的課題之一。在階梯式溢流壩中，水流幾乎垂直地射向下游河床，由于水流流速和能量大，將對(duì)下游河床產(chǎn)生侵蝕，可能會(huì)導(dǎo)致沖刷坑接近大壩的地基，從而威脅大壩的穩(wěn)定性。因此，對(duì)沖刷深度的準(zhǔn)確估計(jì)是水利工程的重要課題之一。為估計(jì)下游溢洪道的沖刷深度，許多研究人員提出了多種經(jīng)驗(yàn)公式。陳椿庭提出了以水墊單位體積消能率為基礎(chǔ)的陳椿庭公式[1]；劉沛清通過(guò)在逆坡方向建立動(dòng)量方程，再根據(jù)沖擊射流理論進(jìn)行推導(dǎo)，得到了河床沖坑深度的計(jì)算公式[2]。國(guó)外的Bormann、Mason等也基于試驗(yàn)提出了各自的公式。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，采用量綱分析法建立了一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)較少的自由跌水沖坑深度的新指數(shù)型公式。

1 公式建立

1.1 量綱分析

結(jié)合國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究來(lái)看，對(duì)于溢流壩下的自由跌水沖刷，其影響因素眾多；鑒于沖刷過(guò)程和影響因素非常復(fù)雜，要想全面考慮各種因素來(lái)建立沖刷深度公式是不現(xiàn)實(shí)的。為此，本文在已有研究的基礎(chǔ)上[3]，將沖刷深度的影響因素歸納為：?jiǎn)螌捔髁縬、堰頂上的水頭h0、沖刷前的下游水深h、泥沙顆粒的中值粒徑d50以及重力加速度g。

綜上，沖刷深度可以表示為：

（1）

其中，S為平衡沖刷深度；q為單寬流量；g為重力加速度；h沖刷前的下游水深；d50為泥沙中值粒徑；h0為堰頂上的水頭。

因此式1可化簡(jiǎn)為：

（2）

利用式2中的6個(gè)變量與基本量綱長(zhǎng)度[L]、質(zhì)量[M]、時(shí)間[T]，建立量綱矩陣如表1所示。

該量綱矩陣的秩為2，根據(jù)量綱分析π定理，應(yīng)選取2個(gè)基本量綱，沖刷深度需用4個(gè)獨(dú)立的無(wú)量綱組的關(guān)系式來(lái)表示。這里選擇重力加速度g與泥沙中值粒徑d50為基本量綱，建立無(wú)量綱組：

， ， ， （3）

將式3中的各無(wú)量綱參數(shù)代入式（2），并根據(jù)π定理改寫(xiě)為指數(shù)形式得：

（4）

式中， 為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。式（4）即為建立的自由跌水沖坑深度模型。

1.2 計(jì)算公式

采用文獻(xiàn)3中的114組試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行公式中各經(jīng)驗(yàn)參數(shù)的確定和公式的檢驗(yàn)；隨機(jī)挑選出其中80組數(shù)據(jù)用于公式中參數(shù) 的確定。對(duì)式（4）中的各無(wú)量綱項(xiàng)進(jìn)行對(duì)數(shù)處理后，采用多元線性回歸方法進(jìn)行參數(shù)的確定，回歸分析結(jié)果如表2所示。由表2可以看出，回歸函數(shù)F檢驗(yàn)、置信水平達(dá)到了要求，相關(guān)系數(shù)達(dá)到了94.53%，且回歸參數(shù)置信區(qū)間不包含零點(diǎn)；因此回歸結(jié)果可靠。

由圖2可以看出，實(shí)驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值基本吻合。同時(shí)采用相關(guān)系數(shù)法對(duì)公式的計(jì)算結(jié)果和實(shí)際值的相似度進(jìn)行了計(jì)算，經(jīng)計(jì)算，相關(guān)系數(shù)達(dá)到了94.65%，表明本文公式能夠較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)自由跌水時(shí)河床的平衡沖刷深度。

3結(jié)論

采用量綱分析原理，在前人研究的基礎(chǔ)上，建立了自由跌水沖坑深度的新型指數(shù)公式。檢驗(yàn)結(jié)果表明，本文建立的公式結(jié)構(gòu)合理；計(jì)算值與實(shí)際值的相關(guān)系數(shù)達(dá)到了94.65%，表明該公式的計(jì)算精度較高，對(duì)自由跌水情況下的河床沖坑深度的預(yù)測(cè)具有指導(dǎo)意義。

參考文獻(xiàn)

[1]余常昭， 李保如， 陳椿庭. 關(guān)于高壩挑流消能和局部沖刷深度的一個(gè)估算方法[J]. 水利學(xué)報(bào)， 1964（3）.

[2]劉沛清， 冬俊瑞. 挑射水流對(duì)巖基河床沖刷的探討[J]. 長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào)， 1994， 11（4）：1-9.

[3]DAgostino V， Ferro V. Scour on Alluvial Bed Downstream of Grade-Control Structures[J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2004， 130（1）：24-37.

作者簡(jiǎn)介

王?。?997—），男，從事水力學(xué)與河流動(dòng)力學(xué)研究。