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摘 要 本文以建模的7環(huán)節(jié)循環(huán)模型為依據(jù)，以第十四屆中國研究生數(shù)學(xué)建模競賽E題為例，闡釋了數(shù)學(xué)建模的全過程，并分享了參賽的經(jīng)驗(yàn)，旨在呼吁通過研究生數(shù)學(xué)建模競賽來培養(yǎng)職前教師的數(shù)學(xué)建模能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)建模過程 建模競賽 職前教師 數(shù)學(xué)建模能力

中圖分類號：G451 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2018.09.036

Abstract Based on the 7-step modeling cycle and taking the title of the 14th China Graduate Mathematical Contest in Modeling as an example， this article explains the whole process of mathematical modeling and shares the experience of the competition. The aim is to call for the training of pre-service teachers' mathematical modeling competency through Graduate Mathematical Modeling Contest.

Keywords mathematical modeling process； modeling contest； pre-service teacher； mathematical modeling competency

1 問題的提出

最近，中華人民共和國教育部制定的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年版正式發(fā)布。此次修訂凝練了學(xué)科核心素養(yǎng)，將數(shù)學(xué)建模作為六大核心素養(yǎng)之一。①同時(shí)，由梁貫成教授等人翻譯的《數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評估指南》在數(shù)學(xué)教育界也掀起了一股數(shù)學(xué)建模的浪潮，引起了廣泛的關(guān)注，中科院院士張平文教授也發(fā)文表示數(shù)學(xué)建模進(jìn)入課程已經(jīng)成為了世界教育的潮流。②但是，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力水平較低，在分析給出的情景后，學(xué)生能簡化情景，并發(fā)現(xiàn)某個(gè)真實(shí)模型，但不知道如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。③學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平的高低與教師數(shù)學(xué)建模水平的高低有一定的關(guān)系，有學(xué)者倡導(dǎo)在卓越教師培養(yǎng)課程體系中引入數(shù)學(xué)建模課程。④也有學(xué)者在研究生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)研究中提出了培養(yǎng)方案，其中也包括組織并參加各類數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)。⑤李大潛院士曾提出數(shù)學(xué)建模的教學(xué)及競賽是素質(zhì)教育的有效途徑。⑥筆者認(rèn)為，如果職前數(shù)學(xué)教師在研究生學(xué)習(xí)期間，參加全國組織的研究生數(shù)學(xué)建模競賽，職前教師對數(shù)學(xué)建模過程有全方面的了解，將有助于未來指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。

筆者參加了第十四屆中國研究生數(shù)學(xué)建模競賽，以此為例，介紹研究生數(shù)學(xué)建模競賽的規(guī)則與經(jīng)驗(yàn)，希望能有更多數(shù)學(xué)教育方向的研究生們來參與到有趣且有意義的數(shù)學(xué)建模競賽中來。

2 數(shù)學(xué)建模全過程

筆者的團(tuán)隊(duì)選擇了“多波次導(dǎo)彈發(fā)射中的規(guī)劃問題”，因?yàn)閳F(tuán)隊(duì)對于導(dǎo)彈問題相對熟悉，同時(shí)發(fā)現(xiàn)該題是運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)規(guī)劃的問題，便確定了做E題。題目給出了多波次導(dǎo)彈發(fā)射的背景及發(fā)射裝置行進(jìn)過程中的大量數(shù)據(jù)，其中第一小題的問題是：該部接受到實(shí)施兩個(gè)波次的齊射任務(wù)（齊射是指同一波次的導(dǎo)彈同一時(shí)刻發(fā)射），每個(gè)波次各發(fā)射24枚導(dǎo)彈。給出具體發(fā)射點(diǎn)位分配及機(jī)動(dòng)路線方案，使得完成兩個(gè)波次發(fā)射任務(wù)的整體暴露時(shí)間最短。⑦筆者以第一小題為例，介紹數(shù)學(xué)建模的全過程。

整個(gè)數(shù)學(xué)建模過程是由7個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成的循環(huán)，⑧其中最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是從現(xiàn)實(shí)問題情境中提取數(shù)學(xué)模型的過程。7個(gè)環(huán)節(jié)具體為：

2.1 理解現(xiàn)實(shí)問題情境（理解）

在研究生數(shù)學(xué)建模競賽中，所有的題目均來自于客觀世界的問題。首先，團(tuán)隊(duì)所有的成員都要認(rèn)真審題，不斷地讀題目，要將題目通讀若干遍，對于筆者團(tuán)隊(duì)選擇的E題，我們將題目讀了一遍又一遍后，把題目的背景、已知條件進(jìn)行全面了解，也配合著查找一系列文獻(xiàn)資料，在此之后，團(tuán)隊(duì)成員開始討論，表達(dá)自己對于該題目的理解，在討論中更加明確題意，了解了多波次導(dǎo)彈發(fā)射的原則，需要導(dǎo)彈的暴露時(shí)間最少，也就意味著在作戰(zhàn)期間被擊中的可能性越小，所以每道題目的優(yōu)化目標(biāo)都是使得暴露時(shí)間最少，同時(shí)也了解了多波次導(dǎo)彈的大致路線，發(fā)射裝置在待機(jī)地域已經(jīng)攜帶了導(dǎo)彈且只能攜帶一枚，到達(dá)發(fā)射點(diǎn)位進(jìn)行齊射，齊射即同一波次的導(dǎo)彈同一時(shí)刻發(fā)射，第一波次發(fā)射完成后，立即機(jī)動(dòng)到轉(zhuǎn)載地域裝彈，完成裝彈后再機(jī)動(dòng)至下一波次的發(fā)射點(diǎn)位（每個(gè)發(fā)射點(diǎn)位使用不超過一次）進(jìn)行齊射。

2.2 簡化或結(jié)構(gòu)化現(xiàn)實(shí)情景，形成現(xiàn)實(shí)模型（簡化）

團(tuán)隊(duì)成員查找文獻(xiàn)，一起討論該如何進(jìn)行簡化，如何抽象出數(shù)量或空間結(jié)構(gòu)的問題。如E題的題目目標(biāo)是整體暴露時(shí)間最少，我們團(tuán)隊(duì)商討后決定將整體分為三階段，即找到三階段總和的最小值。對照著題目給定的作戰(zhàn)區(qū)域道路示意圖，我們均在頭腦中形成了發(fā)射裝置多波次齊射的路線及了解了在行程過程中所需滿足的約束條件，如一輛發(fā)射裝置匹配一個(gè)導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)位且發(fā)射點(diǎn)位不重復(fù)，單車道只允許一輛發(fā)射裝置通過等。在發(fā)射裝置路線行進(jìn)的過程中，我們團(tuán)隊(duì)不考慮途中故障，障礙物，且認(rèn)為裝置為質(zhì)點(diǎn)，并保持勻速運(yùn)動(dòng)，在超車時(shí)也不考慮安全距離，同時(shí)不考慮在發(fā)射點(diǎn)位的技術(shù)準(zhǔn)備時(shí)間和撤收時(shí)間。在此假設(shè)下，進(jìn)行現(xiàn)實(shí)情境的簡化，形成現(xiàn)實(shí)模型。

2.3 將被結(jié)構(gòu)化的現(xiàn)實(shí)模型翻譯為數(shù)學(xué)問題，形成數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)化）

將現(xiàn)實(shí)模型用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描繪，將其表達(dá)成數(shù)學(xué)形式。在這個(gè)過程中，團(tuán)隊(duì)成員一起商討如何用數(shù)學(xué)語言寫出問題的表達(dá)式，列出整個(gè)問題涉及的變量，同時(shí)要進(jìn)行符號說明，團(tuán)隊(duì)要統(tǒng)一符號，這樣有利于三個(gè)人的交流。如三階段總和的最小值，就能用求和基礎(chǔ)上再求最小值的函數(shù)來表示，即

其中，X為目標(biāo)函數(shù)；記，表示第i階段第k輛導(dǎo)彈發(fā)射裝置機(jī)動(dòng)路徑中節(jié)點(diǎn)的有序集合，表示第i階段第k輛導(dǎo)彈發(fā)射裝置機(jī)動(dòng)路徑中兩相鄰節(jié)點(diǎn)的時(shí)間區(qū)間。

如單車道只允許一輛發(fā)射裝置通過，將單車道上的發(fā)射裝置分為同向或反向兩種情況，其中當(dāng)發(fā)射裝置在單車道上同向行駛時(shí)，用數(shù)學(xué)表達(dá)為：當(dāng)時(shí)，

上式表示在單車道任意道路節(jié)點(diǎn)上，兩個(gè)發(fā)射裝置同向行駛時(shí)每一時(shí)刻到達(dá)位置的交集為空集，以避免在單車道上出現(xiàn)錯(cuò)車的情況。其中，表示第k輛導(dǎo)彈發(fā)射裝置的平均行駛速度，表示第k輛導(dǎo)彈發(fā)射裝置在第階段所經(jīng)路徑中相鄰兩節(jié)點(diǎn)的時(shí)間區(qū)間，q表示時(shí)間區(qū)間內(nèi)的某個(gè)時(shí)刻，表示第k輛導(dǎo)彈發(fā)射裝置在第i階段到達(dá)其機(jī)動(dòng)路徑第個(gè)節(jié)點(diǎn)的時(shí)刻。

在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，注意要自然地選擇適用的建模方法，或應(yīng)用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型，建模不盲目追求“高大上”的方法和“全能新”的模型，主要看對問題的針對性和適用性。⑨

2.4 用數(shù)學(xué)方法解決所提出的數(shù)學(xué)問題，獲得數(shù)學(xué)解答（數(shù)學(xué)求解）

在選擇求解模型方法的時(shí)候，可以選擇解決問題的一般求解方法，在查閱相關(guān)文獻(xiàn)書籍后，確定求解方法。要注意的是，在實(shí)現(xiàn)模型求解之前，首先說明求解模型方法的依據(jù)和過程，然后給出詳細(xì)的求解步驟和具體的算法。對于筆者團(tuán)隊(duì)解答的E題，我們使用了Floyd算法，該算法可以算出任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最短距離，易于理解且代碼編寫簡單。并在此過程中采用適當(dāng)?shù)挠?jì)算機(jī)技術(shù)，我們利用EXCEL編程并分析數(shù)據(jù)，以擴(kuò)大解決問題的范圍，盡可能地減少計(jì)算錯(cuò)誤。

2.5 根據(jù)具體的現(xiàn)實(shí)情景解讀并檢驗(yàn)數(shù)學(xué)解答，獲得現(xiàn)實(shí)結(jié)果（解釋和轉(zhuǎn)譯）

對于得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，帶入到現(xiàn)實(shí)情境中進(jìn)行解讀，使用恰當(dāng)?shù)恼Z言解釋其含義，將結(jié)果進(jìn)行明確的表述，并分析其正確性和實(shí)用性，檢驗(yàn)該解答是否與現(xiàn)實(shí)匹配。當(dāng)筆者團(tuán)隊(duì)算出了數(shù)據(jù)，便回到題目本身及現(xiàn)實(shí)的導(dǎo)彈裝置運(yùn)行狀況對數(shù)據(jù)進(jìn)行解讀，詮釋數(shù)據(jù)背后的含義及分析得到的數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。

2.6 檢驗(yàn)現(xiàn)實(shí)結(jié)果的有效性（檢驗(yàn)）

在現(xiàn)實(shí)情境中，批判性地看待得到的結(jié)果，可以通過模型結(jié)果的誤差分析來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性，通過問題的實(shí)際數(shù)據(jù)或仿真數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膶?shí)用性。同時(shí)，也可進(jìn)行模型的敏感性分析，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)果的可信度。筆者團(tuán)隊(duì)對于所建立模型的合理性也做了適當(dāng)?shù)脑u估。

2.7 反饋給現(xiàn)實(shí)情景（反饋）

需要參賽團(tuán)隊(duì)客觀地評價(jià)自己論文的優(yōu)缺點(diǎn)，給出該模型適用的情境，也要寫出團(tuán)隊(duì)在理解問題上的限制，以及在模型的建立和求解上的局限性，并給出模型改進(jìn)的想法。筆者團(tuán)隊(duì)對于我們所得的模型進(jìn)行了推廣，并針對所建模型的局限性給出了更加全局的改進(jìn)想法。

3 參賽的經(jīng)驗(yàn)與反思

在選題時(shí)，共有6道題目可任選，建議考慮選擇與團(tuán)隊(duì)知識面、熟悉程度最相近的題目，這樣比較有利于對題目整體的把握與正確的解答。在建模過程中，不要等到模型建立完成后，結(jié)果全部出來再開始著手寫論文，應(yīng)該要一邊建模一邊寫作，團(tuán)隊(duì)互相鼓勵(lì)，通力合作。需要注意的是在論文主體撰寫完成后，要認(rèn)真地撰寫摘要，摘要是整篇論文的核心，是內(nèi)容高度的概括，是團(tuán)隊(duì)4天以來想法的精華，應(yīng)該呈現(xiàn)出建模方法，模型，求解方法，結(jié)果，解決的問題及效果，特色和創(chuàng)新點(diǎn)，并寫出其意義。

四天四夜的數(shù)學(xué)建?？简?yàn)的是一個(gè)人的毅力，考驗(yàn)的是團(tuán)隊(duì)的合作，對于即將步入教師隊(duì)伍的數(shù)學(xué)教育專業(yè)的職前教師們，只有自己擁有了這些品質(zhì)，才能讓學(xué)生們耳濡目染。作為教師，其最終目標(biāo)是為了學(xué)生最終的遷移學(xué)習(xí)，教育的真正目的是，讓學(xué)生從學(xué)徒變成他們自己的教師，變成自主的終身學(xué)習(xí)者，并且保持對于世界的好奇心，用所需的工具，去形成他們自己的問題，追求有意義的答案，并且，通過元認(rèn)知，意識到在這個(gè)過程中自己的學(xué)習(xí)。⑩而在數(shù)學(xué)建模競賽過程中，培養(yǎng)的就是自主學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，當(dāng)教師自身具備了這種能力，教育教學(xué)的很多問題也將迎刃而解。

4 結(jié)束語

當(dāng)數(shù)學(xué)教育界已掀起了一股數(shù)學(xué)建模的浪潮之時(shí)，作為未來的數(shù)學(xué)教師，應(yīng)培養(yǎng)自身的數(shù)學(xué)建模能力，除了各高校的數(shù)學(xué)建模課程之余，職前教師們也可以積極地參與到數(shù)學(xué)建模競賽中來，不斷地挖掘自身的潛力，不斷地豐富自身建模能力，不斷地完善數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。當(dāng)未來的數(shù)學(xué)教師自身已具備創(chuàng)造力，相信在不久的將來，會(huì)培養(yǎng)出一批又一批的人才。

注釋

① 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2017：5-6.

② 張平文.數(shù)學(xué)建模進(jìn)入課堂已經(jīng)成為世界教育的潮流[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017.26（6）：6-7.

③ 紀(jì)雪穎.高中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力水平研究[D]. 華東師范大學(xué)，2010.

④ 鐘一兵.卓越教師培養(yǎng)課程體系中引入數(shù)學(xué)建模課程的思考[J].肇慶學(xué)院學(xué)報(bào)，2015.36（2）：29-32.

⑤ 孫杰寶，吳勃英，張達(dá)治.研究生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)研究[J].教育教學(xué)論壇，2017（33）：80-81.

⑥ 李大潛.數(shù)學(xué)建模與素質(zhì)教育[J].中國大學(xué)教學(xué)，2002（10）：41-43.

⑦ 中國研究生數(shù)學(xué)建模競賽官網(wǎng).

⑧ 蔡金法，徐斌艷.也論數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其構(gòu)建[J].全球教育展望，2016.45（11）：3-12.

⑨ 韓中庚.數(shù)學(xué)建模競賽論文的寫作方法[J].數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用，2017.6（2）：42-48.

⑩ Hattie J & Fisher D.Visible Learning for Mathematics[M].SAGE.2017.