韓雪艷 王子義 李仕華 田志立

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室，秦皇島，066004

2.燕山大學(xué)機械工程學(xué)院，秦皇島，066004

0 引言

具有兩轉(zhuǎn)動一移動的三自由度并聯(lián)機構(gòu)（2R1T）是非常重要的一類構(gòu)型，應(yīng)用于諸多領(lǐng)域。2R1T并聯(lián)機構(gòu)的轉(zhuǎn)軸在空間的分布對機構(gòu)的標定和軌跡規(guī)劃十分重要［1］，但現(xiàn)有大多數(shù)的2R1T并聯(lián)機構(gòu)在轉(zhuǎn)動過程中軸線不固定，即轉(zhuǎn)軸為瞬時轉(zhuǎn)軸，為其標定和軌跡規(guī)劃帶來了不便。

很多學(xué)者對機構(gòu)轉(zhuǎn)軸進行了研究。李秦川等［1］通過分析機構(gòu)發(fā)生轉(zhuǎn)動后其約束螺旋的變化分析了2?UPR?SPR并聯(lián)機構(gòu)的連續(xù)轉(zhuǎn)軸。LIU等［2］采用在分支中添加平行四邊形復(fù)合運動副的方法構(gòu)造了一類具有很強的轉(zhuǎn)動能力的三自由度并聯(lián)機構(gòu)。XU 等［3?4］采用螺旋理論對一種 2?RPU/SPR兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)機構(gòu)的連續(xù)轉(zhuǎn)軸進行了研究，并基于具有連續(xù)轉(zhuǎn)軸的2R1T并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)造了一種五自由度混聯(lián)機構(gòu)。LI等［5］采用在3T1R并聯(lián)機構(gòu)中添加冗余支鏈的方法得到了很多冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)。竇玉超等［6］提出了一種兩轉(zhuǎn)動一移動自由度的完全解耦并聯(lián)機構(gòu)，并對其工作空間、奇異性進行了分析。LI等［7］分析了 3?［P］［S］類并聯(lián)機構(gòu)的轉(zhuǎn)軸的分布情況。陳子明等［8?11］提出了一類無伴隨運動的對稱兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)機構(gòu)，該類機構(gòu)可以繞中間對稱平面內(nèi)任一條直線做連續(xù)轉(zhuǎn)動。

上述研究要求機構(gòu)動定平臺或運動副軸線具有特殊的位置關(guān)系，在實際應(yīng)用中很難保證，不利于機構(gòu)的應(yīng)用。本文提出了一種新型的3-UPU空間對稱的并聯(lián)機構(gòu)，并對機構(gòu)的自由度、運動特性和工作空間進行了分析。

1 初始位形下機構(gòu)自由度分析

1.1 機構(gòu)構(gòu)型

如圖1所示，新型3-UPU機構(gòu)是由2個全等的正三角形平臺和3條完全相同的UPU分支組成。每個UPU分支包含2個萬向鉸鏈（Ui，i=1，2）以及1個移動副（P副）。每個U副由2個垂直相交的轉(zhuǎn)動副構(gòu)成，其中與平臺相連的轉(zhuǎn)動副稱為Ui的第一轉(zhuǎn)動副（Ui1），與中間移動副相連的轉(zhuǎn)動副稱為Ui的第二轉(zhuǎn)動副（Ui2）。U11、U21以一定角度對稱傾斜布置在動定平臺上，且其軸線相交于中間對稱平面S內(nèi)一點P1，U12、U22以相同角度與中間移動副傾斜相連且其軸線交于中間對稱平面S內(nèi)一點P2。在初始位形下，中間移動副與上下平臺垂直，且任意位形下均與中間對稱平面S保持垂直。

圖1 3-UPU機構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of 3-UPU

1.2 機構(gòu)自由度分析

根據(jù)螺旋理論［12］可知

由式（1）可以得到：①分支約束力與分支轉(zhuǎn)動副軸線共面（相交或平行），并且分支約束力與分支中的移動副軸線垂直；②分支約束力偶方向與分支所有轉(zhuǎn)動副軸線垂直，約束力偶的方向與移動副軸線幾何關(guān)系可以是任意的。

機構(gòu)單個分支的布置見圖2。

圖2 UPU分支Fig.2 UPU branch

根據(jù)螺旋的互逆性，UPU分支約束螺旋與分支所有轉(zhuǎn)動副軸線共面（相交或平行），同時與分支中所有移動副軸線垂直，因此約束螺旋只有1個，即通過2個交點P1和P2的約束力螺旋＄r1；UPU分支約束力偶的方向與分支所有轉(zhuǎn)動副軸線垂直，因此約束力偶不存在。UPU分支具有1個過轉(zhuǎn)動副軸線交點P1、P2的約束力，且其分布在中間對稱平面內(nèi)。

由于機構(gòu)分支采取對稱布置，故對平臺所施加的約束力＄ri（i=1，2，3）相互交錯，且位于中間對稱平面內(nèi)，見圖3。

圖3 約束力矢量圖Fig.3 Vector diagram of the constraining screws

3個約束力＄ri（i=1，2，3）限制了動平臺沿對稱平面方向的2個移動自由度和對稱平面法線方向的轉(zhuǎn)動自由度，機構(gòu)具有3個自由度，即在對稱面上的2個轉(zhuǎn)動自由度和沿對稱面法線方向上的1個移動自由度。

1.3 自由度數(shù)的驗證

根據(jù)修正Kutzbach?Grubler公式［12］來計算自由度：

式中，d為機構(gòu)的階數(shù)；n為機構(gòu)的構(gòu)件數(shù)；g為機構(gòu)的運動副數(shù)；fi為第i個運動副的自由度數(shù)；v為機構(gòu)的冗余約束數(shù)；ξ為機構(gòu)的局部自由度數(shù)。

該機構(gòu)公共約束個數(shù)為0，機構(gòu)的階數(shù)d為6；機構(gòu)構(gòu)件數(shù)目n為8；運動副個數(shù)為9，其中6個U副具有2個自由度，3個移動副具有1個自由度；機構(gòu)冗余約束v的個數(shù)為0；局部自由度ξ為0。因此，機構(gòu)自由度為

2 機構(gòu)自由度的非瞬時性分析

利用單葉雙曲面的相關(guān)性質(zhì)證明當機構(gòu)發(fā)生運動后，該機構(gòu)始終關(guān)于中間平面對稱，且其自由度始終為2R1T，即自由度具有非瞬時性。

2.1 單頁雙曲面的性質(zhì)

如圖4所示，直線l繞與它不共面的直線k旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為單葉雙曲面。這種由一族直線所構(gòu)成的曲面稱為直紋曲面，而構(gòu)成直紋曲面的那族直線稱為直紋曲面的一族直母線。單葉雙曲面的兩族母線具有如下特性：①單葉雙曲面上異族的任意兩條直母線必共面（相交或平行），而同族的任意兩條直母線必為異面直線；②單葉雙曲面上的任意母線與主軸線的距離相同，與主軸線的夾角相同；③與主軸線距離和夾角相同的直線為同一單葉雙曲面的直母線。

圖4 單葉雙曲面示意圖Fig.4 Schematic diagram of single leaf hyperboloid

2.2 機構(gòu)在任意位形下的對稱性分析

首先，討論分支的對稱性。如圖5所示，在初始位形下，每個分支的 U12、U22轉(zhuǎn)動副軸線 l1、l2關(guān)于中間對稱平面S1對稱，且相交于平面S1上一點P2，移動副軸線lp垂直于平面S1。當機構(gòu)發(fā)生轉(zhuǎn)動或移動時，U12、U22轉(zhuǎn)動副之間只發(fā)生沿移動副軸線lp方向的移動，所以機構(gòu)位形發(fā)生變化時，這兩個轉(zhuǎn)動副將始終關(guān)于一個分支平面對稱，相交于平面上一點移動副軸線lp始終與該平面保持垂直狀態(tài)。

圖5 分支對稱平面Fig.5 Branch symmetric plane

其次，討論動定平臺的對稱性。在初始位形下，動定平臺關(guān)于平面S2對稱，見圖6。分支與定動平臺連接的轉(zhuǎn)動副的軸線l3、l4關(guān)于平面S2對稱，相交于平面上P2點，且l3、l4到平面S2上任意直線k的距離和夾角相同。

圖6 動定平臺旋轉(zhuǎn)前后的位形Fig.6 The position of the moving and fixed platform before and after rotation

同理，與動定平臺相連的另外2個分支上的2組轉(zhuǎn)動副軸線也是彼此相交的。機構(gòu)轉(zhuǎn)動后，由于動定平臺結(jié)構(gòu)上鏡面對稱，而且固連其上的3個分支的U11、U21轉(zhuǎn)動副的3對軸線彼此相交，因此動定平臺關(guān)于某一平面對稱，該平面由3對軸線的交點確定，且該平面相當于原中間對稱平面繞直線k轉(zhuǎn)動θ/2。

此外，當動平臺發(fā)生沿對稱平面法線方向移動時，動定平臺關(guān)于中間平面對稱，其正確性顯而易見，在此不再贅述。

圖7 3-UPU并聯(lián)機構(gòu)Fig.7 3-UPU parallel mechanism

最后，討論機構(gòu)的對稱性。如圖7所示，由于每個分支中的U1、U2副的中心點（U副兩個轉(zhuǎn)動副軸線的交點）始終關(guān)于分支對稱平面S1（或）對稱，也始終關(guān)于動定平臺對稱平面S（2或）對稱，且兩點間的對稱平面只有1個，所以2個對稱平面S1（或）、S（2或）為同一平面S。因此，機構(gòu)在任意位形下，均存在1個中間對稱平面S，且每個分支的上下2組U副轉(zhuǎn)動副的軸線始終對稱且相交于中間對稱平面S上的P1、P2點，移動副的軸線始終垂直于中間對稱平面S。

2.3 機構(gòu)自由度非瞬時性

根據(jù)前述分析，在初始位形下，機構(gòu)的每個分支均存在1個約束力，分布在中間對稱平面S內(nèi)且通過2個運動副的交點。3個約束力均交錯分布在中間對稱平面內(nèi)且通過各分支的2個運動副交點，限制了動平臺沿平面S上的2個移動自由度和對稱平面法線方向上的轉(zhuǎn)動自由度，使得機構(gòu)只具有繞中間對稱平面內(nèi)直線轉(zhuǎn)動自由度與垂直于中間對稱平面移動自由度。動平臺發(fā)生上述3種運動后，由前述論證可知，機構(gòu)的3個約束力仍分布在中間對稱平面內(nèi)且通過各分支的2個運動副交點，因此，機構(gòu)自由度是非瞬時的。

3 機構(gòu)連續(xù)轉(zhuǎn)動特性分析

3.1 機構(gòu)連續(xù)轉(zhuǎn)軸位置確定

初始位形下，該機構(gòu)可以繞中間對稱平面S內(nèi)任意一條直線做瞬時轉(zhuǎn)動，且機構(gòu)發(fā)生轉(zhuǎn)動后仍關(guān)于某一中間平面S′對稱，仍然具有繞平面S′上任意直線做瞬時轉(zhuǎn)動的能力；機構(gòu)轉(zhuǎn)動前后，轉(zhuǎn)動軸線始終位于對稱平面內(nèi)，所以可以繞對稱平面內(nèi)同一條直線連續(xù)轉(zhuǎn)動。同理，轉(zhuǎn)動后的中間對稱平面內(nèi)所有直線均作為機構(gòu)繼續(xù)轉(zhuǎn)動的連續(xù)轉(zhuǎn)軸。

信號參數(shù)如表1所示。在這個信號中,基波、2次諧波和3次諧波附近都存在一個間諧波,如果直接使用加窗插值FFT算法進行處理,上述分量將難以被區(qū)分出來,計算結(jié)果誤差會很大。為了避免這種情況,在計算信號參數(shù)前使用本文方法來處理待測信號。

此外，由于機構(gòu)動平臺沿著對稱平面S的法線移動后，動定平臺的姿態(tài)均未改變，移動前后機構(gòu)對稱平面S仍相互平行，故約束力仍位于移動后的機構(gòu)對稱平面內(nèi)，動平臺仍可沿著該方向移動，即機構(gòu)的移動也是連續(xù)的。

綜上，該機構(gòu)的運動特性為：動平臺可以繞機構(gòu)中間對稱平面上的任意一條直線連續(xù)轉(zhuǎn)動，或沿垂直于中間對稱平面方向連續(xù)移動。當動平臺轉(zhuǎn)動或移動后，動平臺仍可繞著新的中間對稱平面內(nèi)的任意一條直線轉(zhuǎn)動或沿垂直于新的中間對稱平面的方向移動。所以該機構(gòu)對稱平面上的任一直線皆為連續(xù)轉(zhuǎn)軸。

3.2 連續(xù)轉(zhuǎn)動的仿真驗證

采用SolidWorks建立機構(gòu)仿真模型，驗證其可在任意位形下繞中間對稱平面上的任一直線做連續(xù)轉(zhuǎn)動。

在初始位形下，如圖8所示，選取中間對稱平面內(nèi)任一直線k1作為轉(zhuǎn)動軸線，并在此軸線處搭建1個分別與動定平臺固連的中間轉(zhuǎn)動副，在其上添加旋轉(zhuǎn)馬達，驅(qū)動動平臺繞該軸線連續(xù)轉(zhuǎn)動一定角度θ1（取θ1=20°）。提取3個移動副的位置參數(shù)數(shù)據(jù)，并作為驅(qū)動添加到機構(gòu)的3個移動副中，見圖9；動平臺中心點P運動到P′點軌跡是一段繞所選軸線的圓弧，所以在初始位形下該機構(gòu)可以在移動副驅(qū)動下繞中間對稱平面內(nèi)任一直線做連續(xù)轉(zhuǎn)動。

圖8 初始位形下以中間轉(zhuǎn)動副驅(qū)動機構(gòu)Fig.8 The mechanism driving by middle rotational pair under the initial position

圖9 初始位形下以移動副驅(qū)動機構(gòu)Fig.9 The mechanism driving by prismatic pair under the initial position

同理，在動平臺運動后，重復(fù)上述過程，驅(qū)動動平臺繞新對稱平面內(nèi)任意軸線k2旋轉(zhuǎn)一定角度θ2（本文取θ2=20°），見圖10。如圖11所示，動平臺中心點P′運動到P″點，經(jīng)驗證其軌跡為一段繞所選軸線的圓弧，所以在任意位形下該機構(gòu)可以在移動副驅(qū)動下繞中間對稱平面內(nèi)任一直線做連續(xù)轉(zhuǎn)動。根據(jù)上述仿真結(jié)果，該機構(gòu)可實現(xiàn)連續(xù)轉(zhuǎn)動。

圖10 轉(zhuǎn)動后以中間轉(zhuǎn)動副驅(qū)動機構(gòu)Fig.10 The mechanism driving by middle rotational pair after rotation

圖11 轉(zhuǎn)動后以移動副驅(qū)動機構(gòu)Fig.11 The mechanism driving by prismatic pair after rotation

4 機構(gòu)運動學(xué)反解及工作空間分析

4.1 機構(gòu)運動學(xué)反解分析

4.1.1 轉(zhuǎn)動角度分析

如圖12所示，初始位形下，O、O1分別為定平臺、動平臺中心點，O2為平面S2上的一點，OO2、O1O2分別與中間對稱平面S2的夾角相同且設(shè)為α。假設(shè)動平臺繞平面S2內(nèi)一條直線k轉(zhuǎn)動β角時，平面S2轉(zhuǎn)動了γ角，因OO2和O1O2與中間對稱平面的夾角仍然相同，可得

因此，在動平臺旋轉(zhuǎn)過程中，動平臺繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過角度是中間對稱平面S繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過角度的2倍。

圖12 機構(gòu)轉(zhuǎn)動角度關(guān)系圖Fig.12 The relation chart of rotation angle

4.1.2 位置反解

如圖13所示，在動定平臺和中間對稱平面上分別建立坐標系，其中，A1、A2、A3為與定平臺相連U1副的中心點，a1、a2、a3為與動平臺相連U2副中心點。定系OXYZ的原點O在定平臺中心，X軸垂直于A1A3指向A2方向，Z軸垂直于定平臺且指向上方，Y軸按照右手定則確定；動系O1X1Y1Z1在動平臺上的布置與定系OXYZ在定平臺上的布置相同；與中間對稱平面S固定的坐標系O2X2Y2Z2的各個軸線在初始位形下與定平臺各坐標軸平行。

圖13 機構(gòu)的坐標系Fig.13 The coordinate system of the mechanism

由于動定平臺關(guān)于中間對稱平面對稱，動平臺運動時定系坐標原點O到動系坐標原點O1的向量始終為中間對稱平面的法向量，因此當動平臺中心點O1已知時，中間對稱平面的姿態(tài)也可以確定。平面S的姿態(tài)矩陣可以采用繞著坐標系O2X2Y2Z2旋轉(zhuǎn)的xyz型歐拉角（α，β，γ）來表示。受機構(gòu)的約束力的限制，平面S只能繞著X2、Y2軸轉(zhuǎn)動，不能繞著Z2軸轉(zhuǎn)動，故γ=0，因此平面S的姿態(tài)矩陣T′為

當已知動平臺中心點O1在定系中的坐標(x,y,z)T時，中間對稱平面的單位法向量為

結(jié)合平面S的姿態(tài)矩陣T′，可得

求解式（7）可得

由轉(zhuǎn)角分析可知，動平臺轉(zhuǎn)動角度為中間對稱平面轉(zhuǎn)動角度的2倍，動平臺的姿態(tài)矩陣T可以表示為

其中，姿態(tài)角α、β為動平臺姿態(tài)角的1/2，而動平臺姿態(tài)角的范圍是(-π,π)，則α、β取值范圍是(-π/2,π/2)。

當已知動平臺中心點O1在定系中的坐標時，可得到動平臺的姿態(tài)矩陣，動系中任意一點P在定系中的坐標P(0)即為

式中，P(1)為任意一點P在動系中的坐標。

從而可解得動平臺U2副中心點在定系中的坐所以可以求得該機構(gòu)的反解即各移動副的長度

4.2 機構(gòu)工作空間分析

為了更方便應(yīng)用，機構(gòu)采用懸吊方式，定平臺固定于橫梁上，并改進機構(gòu)布置，擴大了移動副的移動范圍及U副的轉(zhuǎn)角范圍，見圖14。以電動缸作為機構(gòu)的P副，制作了實驗樣機，見圖15。

圖14 改進的機構(gòu)簡圖Fig.14 Improved mechanism diagram

圖15 改進后機構(gòu)實驗樣機Fig.15 Improved experimental prototype

采用動平臺中心點O1在定系中的位置坐標(x,y,z)能達到的范圍來表示其工作空間。設(shè)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及輸入?yún)?shù)范圍：定平臺3個U副中心間的距離a=414 mm；移動副的移動范圍為0～300 mm；當移動副處于零值時，機構(gòu)動定平臺的中心距離為290 mm；U副的轉(zhuǎn)角范圍是在母線與中心線夾角為60°的圓錐形范圍內(nèi)（由于初始位形下P副所在連桿軸線垂直于定平臺，故P副軸線的轉(zhuǎn)角范圍也是與初始位形成60°的圓錐）。機構(gòu)各分支始終相互平行，不存在分支干涉，只考慮桿長及轉(zhuǎn)角限制。通過MATLAB編程，繪制機構(gòu)的工作空間見圖16。

圖16 3-UPU機構(gòu)工作空間Fig.16 Workspace of 3-UPU parallel mechanism

由圖16可知，3-UPU機構(gòu)的工作空間外形近似呈對稱六面體形狀。Z方向的范圍與P副的移動范圍相同。在垂直于Z軸的平面上，沿著分支方向的可達范圍最大。在Z為350～450 mm的范圍內(nèi)工作空間較大，且在垂直于Z軸的平面內(nèi)沿著各方向的變動較小。由上述分析可知，該機構(gòu)的工作空間相對較大，且呈對稱分布，具有較好的應(yīng)用價值。

5 結(jié)論

（1）本文提出了一種新型3-UPU并聯(lián)機構(gòu)，由全等的動定平臺和3條對稱布置的UPU分支組成。該機構(gòu)的動定平臺始終關(guān)于1個中間平面對稱，每個分支中的2個U副與動定平臺傾斜布置，分支呈空間對稱結(jié)構(gòu)，且2對轉(zhuǎn)動軸線始終相交于中間對稱平面上的2個點。

（2）該機構(gòu)受到共面的3個約束力作用，具有在對稱面內(nèi)的2個轉(zhuǎn)動自由度和沿垂直對稱面方向的移動自由度，它是2R1T并聯(lián)機構(gòu)。機構(gòu)中間對稱平面內(nèi)任一直線均為機構(gòu)的連續(xù)轉(zhuǎn)軸，機構(gòu)沿對稱平面法線方向的移動也是連續(xù)運動。

（3）本文推導(dǎo)了該機構(gòu)的運動學(xué)反解公式，并分析了該機構(gòu)的工作空間。該機構(gòu)的工作空間較大，運動性能良好，具有很好的應(yīng)用前景。