秦明

（北京邁達(dá)斯技術(shù)有限公司上海分公司 201103）

引言

大跨度張弦梁結(jié)構(gòu)是近十余年來(lái)快速發(fā)展和應(yīng)用的一種新型大跨空間結(jié)構(gòu)形式。結(jié)構(gòu)由剛度較大的抗彎構(gòu)件（又稱剛性構(gòu)件，通常為梁、拱或桁架）和高強(qiáng)度的弦索以及連接兩者的撐桿組成；通過(guò)對(duì)柔性弦索施加拉力，使相互連接的構(gòu)件成為具有整體剛度的結(jié)構(gòu)。

雖然張弦梁結(jié)構(gòu)體系在實(shí)際工程中已經(jīng)得到較多的應(yīng)用，但其設(shè)計(jì)計(jì)算中還存在一些問(wèn)題，比如初狀態(tài)結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力分布的確定以及結(jié)構(gòu)零位移平衡狀態(tài)的幾何形狀的求解等等。

本文首先引入了張弦梁結(jié)構(gòu)的基本力學(xué)特性，重點(diǎn)介紹了索結(jié)構(gòu)的三種力學(xué)狀態(tài)：零狀態(tài)、初始態(tài)和荷載態(tài)。其次，結(jié)合midas Gen通用有限元分析軟件，介紹了對(duì)張弦梁結(jié)構(gòu)施加預(yù)應(yīng)力的四種方法，并對(duì)每種方法的特點(diǎn)及適用條件做了較為詳細(xì)的介紹。最后，提出了一種適用于工程設(shè)計(jì)的預(yù)應(yīng)力近似計(jì)算——逆迭代法，并通過(guò)一張弦梁工程實(shí)例對(duì)該方法的實(shí)現(xiàn)進(jìn)行了較為詳細(xì)的闡述。

1 基本力學(xué)特性

20世紀(jì)80年代日本大學(xué)的M.Saitoh教授將張弦梁結(jié)構(gòu)定義為“用撐桿連接抗彎受壓構(gòu)件和抗拉構(gòu)件而形成的自平衡體系”。張弦梁結(jié)構(gòu)不同于常規(guī)結(jié)構(gòu)的地方就是拉索初始預(yù)應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)整體的剛度貢獻(xiàn)。

如圖1所示，下弦索一方面充當(dāng)受拉的下弦結(jié)構(gòu)單元，另一方面又通過(guò)豎腹桿對(duì)剛性的上弦施加了與主要外部荷載作用效應(yīng)相反的預(yù)張力，提高了上弦構(gòu)件的承載能力。剛性的上弦截面提供了結(jié)構(gòu)的豎直向平面內(nèi)剛度；下弦鉸接節(jié)點(diǎn)平面外的剛度由下弦預(yù)張力剛度予以保證，結(jié)構(gòu)體系為半剛性結(jié)構(gòu)。這種索與拱形桁架的組合結(jié)構(gòu)體系組合了索結(jié)構(gòu)和拱結(jié)構(gòu)兩種結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)。索增加了拱的平面內(nèi)穩(wěn)定性能，同時(shí)又減小了拱的水平推力；拱提高了索的平面內(nèi)剛度，有效減小了荷載作用下結(jié)構(gòu)的變形。與常規(guī)剛性屋蓋相比，用鋼量大大節(jié)省。

圖1 張弦梁結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Structural diagram of string beam

相比傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)，索結(jié)構(gòu)分析還需要關(guān)注三種重要的力學(xué)狀態(tài)（圖2）：零狀態(tài)、預(yù)應(yīng)力狀態(tài)（初始態(tài)）、荷載狀態(tài)（工作態(tài)）。

零狀態(tài)——結(jié)構(gòu)不承受任何預(yù)張力和外荷載的作用時(shí)的狀態(tài)，即結(jié)構(gòu)加工放樣后的狀態(tài)。

初始態(tài)——預(yù)張力與自重共同作用的工作狀態(tài)。

荷載態(tài)——結(jié)構(gòu)在初始狀態(tài)的基礎(chǔ)上，考慮各種其他工作荷載時(shí)的情況。

圖2 索結(jié)構(gòu)的三種力學(xué)狀態(tài)Fig.2 Three mechanical States of cable structure

2 預(yù)應(yīng)力在midas Gen中的施加方法

在midas Gen中，有四種施加預(yù)應(yīng)力的方法，分述如下。

1.建立索單元時(shí)施加預(yù)應(yīng)力

軟件提供了三種定義索單元預(yù)應(yīng)力（圖3）的方式：

圖3 建立索單元Fig.3 Establishment of cable unit

（1）無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)Lu：Lu＞L時(shí)，引入初拉力其中ΔL＝L－L，L為單元長(zhǎng)度，E、uA分別為彈性模量和橫截面面積；Lu＞L時(shí)，索下垂，折減剛度。

（2）初拉力：輸入沿單元坐標(biāo)系X軸方向的預(yù)應(yīng)力荷載。

（3）水平力：輸入沿水平方向的預(yù)應(yīng)力荷載。

通過(guò)這種方式施加的預(yù)應(yīng)力，有如下特點(diǎn)：①僅用于幾何非線性分析，一般的線性分析時(shí)將被忽略；②迭代計(jì)算時(shí)，第一步即產(chǎn)生初始剛度，該拉力對(duì)其他構(gòu)件也有影響，如圖4所示；③對(duì)所有荷載工況結(jié)果都有影響；④張拉后，考慮索的初張力與其他荷載工況共同作用下，拉索的最終內(nèi)力不再是900kN，具體如圖5所示。

2.定義幾何剛度初始荷載時(shí)施加預(yù)應(yīng)力

如圖6所示，通過(guò)這種方式施加的預(yù)應(yīng)力有如下特點(diǎn)：①只產(chǎn)生幾何剛度，對(duì)其他構(gòu)件的內(nèi)力和位移沒(méi)有影響，如圖7所示，索單元外其余構(gòu)件的內(nèi)力和位移接近于0；②索在該初始荷載作用下內(nèi)力為初始荷載值；③僅用于非線性分析；④如果要考慮索張拉后結(jié)構(gòu)在其他荷載工況下的效應(yīng)，并且不考慮預(yù)應(yīng)力作用下其他構(gòu)件中的內(nèi)力時(shí)，可采用該方法。

圖4 自重工況下梁?jiǎn)卧獌?nèi)力Fig.4 Internal force of beam element under dead weight condition

圖5 自重工況下施加900kN初拉力下弦拉索的內(nèi)力Fig.5 Internal force of string cable under 900kN initial tension under dead weight condition

圖6 定義幾何剛度初始荷載Fig.6 Defines the geometric stiffness initial load

3.定義初始單元內(nèi)力時(shí)施加預(yù)應(yīng)力

如圖8所示的方式對(duì)索施加預(yù)應(yīng)力有如下特點(diǎn)：①該方法適用于線性分析和模態(tài)分析；②對(duì)所有工況都起作用，即各工況都會(huì)考慮初始單元內(nèi)力引起的幾何剛度；③可以通過(guò)初始荷載控制數(shù)據(jù)，將初始單元內(nèi)力添加到指定的荷載工況中。

圖7 上弦構(gòu)件內(nèi)力和位移未受影響Fig.7 Internal force and displacement of upper chord member are not affected

圖8 定義初始單元內(nèi)力Fig.8 Defines the initial unit internal forces

4.定義初拉力荷載時(shí)施加預(yù)應(yīng)力

如圖9所示，通過(guò)初拉力方式施加預(yù)應(yīng)力的方式有如下特點(diǎn)：①這種方式作用的為外荷載，對(duì)其他構(gòu)件均有影響；②需要定義荷載工況，對(duì)該工況以外的其他荷載工況不起作用；③適用于線性分析和非線性分析；④施工階段分析時(shí)，可采用該方法實(shí)現(xiàn)對(duì)索分批張拉。

圖9 定義初拉力Fig.9 Definition of initial tension

3 逆迭代法－找形分析

3.1 逆迭代法原理

對(duì)零狀態(tài)幾何｛X｝0施加一定作用F，達(dá)到初始態(tài)幾何｛X｝，變形協(xié)調(diào)方程可表示為：

式中：｛X｝為已知向量（位移向量），而結(jié)構(gòu)作用函數(shù)F為非線性，欲求未知向量｛X｝0，就是求解上述非線性方程組，而逆迭代法就是求解非線性方程組的一般迭代法。

定義非線性方程組：

將方程組（2）改寫為下述等價(jià)形式：

由此建立迭代公式：

3.2 張弦結(jié)構(gòu)實(shí)例找形分析

以圖1所示張弦梁結(jié)構(gòu)為例，運(yùn)用逆迭代法進(jìn)行找形分析，確定結(jié)構(gòu)的初始狀態(tài)。

具體思路如下：

首先建立模型1，不施加預(yù)應(yīng)力，即不對(duì)張弦梁下弦索進(jìn)行張拉，在結(jié)構(gòu)自重作用下求得索的內(nèi)力。即先確定3.1節(jié)公式（5）中的｛xk｝初值——結(jié)構(gòu)初始態(tài)幾何｛X｝。

而后建立模型2，將第一步得到的索內(nèi)力以初拉力形式輸入，而后考慮在初拉力與結(jié)構(gòu)自重共同作用下，重新對(duì)張弦梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算（即程序內(nèi)部求解非線性迭代方程（5）的過(guò)程），觀察此次求得的結(jié)構(gòu)整體變形，如果位移過(guò)大，再進(jìn)行迭代計(jì)算。

提取模型2中最終索的內(nèi)力，建立模型3，而后將模型2索內(nèi)力以初拉力的形式輸入，查看模型3最終位移結(jié)果，可重復(fù)上述步驟，直到滿足設(shè)計(jì)需求的位移范圍，使得結(jié)構(gòu)的整體變形接近于結(jié)構(gòu)微受荷時(shí)的狀態(tài)，此時(shí)的計(jì)算預(yù)應(yīng)力值即為目標(biāo)值。

需要注意的是，求目標(biāo)預(yù)應(yīng)力值時(shí)一定要保證結(jié)構(gòu)的起拱值不宜過(guò)大，應(yīng)控制在跨度的1／600 以內(nèi)。

針對(duì)張弦梁模型的找形分析具體實(shí)施步驟如下：

（1）建立模型1，只考慮自重作用進(jìn)行分析，得到結(jié)構(gòu)的內(nèi)力狀態(tài)，如圖10所示，從結(jié)果表格中提取索結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。

提取內(nèi)力結(jié)果方法：midas Gen主菜單－結(jié)果－結(jié)果表格－索單元內(nèi)力－內(nèi)力，即可調(diào)出圖10所示表格結(jié)果。

圖10 從midas Gen中提取索單元內(nèi)力Fig.10 Extract the internal force of cable element from midas Gen

（2）建立模型2，在模型1基礎(chǔ)上定義索單元初拉力，將第一步中得到的結(jié)果通過(guò)索單元初拉力的形式替換，方法：在程序左側(cè)樹(shù)形菜單—單元—鼠標(biāo)右鍵—選擇表格，如圖11所示。即可在表格中修改索單元的初拉力。第一次試算先假設(shè)初拉力為350kN。

圖11 通過(guò)單元表格替換索初拉力Fig.11 replace cable initial tension through unit table

（3）定義迭代參數(shù)，進(jìn)行非線性方程的迭代運(yùn)算。具體做法如圖12所示，定義幾何非線性分析控制數(shù)據(jù)，其中加載步驟數(shù)量代表將荷載逐步加載，子步驟內(nèi)迭代次數(shù)表示每個(gè)加載步驟內(nèi)的反復(fù)計(jì)算次數(shù)。

圖12 定義幾何非線性分析控制數(shù)據(jù)Fig.12 Definition of geometric nonlinear analysis control data

（4）運(yùn)行分析

（5）查看結(jié)果：主菜單—結(jié)果—變形—位移等值線，查看自重工況下結(jié)構(gòu)的位移量是否接近于0，如圖13所示。本次非線性分析自重工況下結(jié)構(gòu)的最大位移量達(dá)到35.2mm，有些偏大。

圖13 在350kN初張力作用下結(jié)構(gòu)的位移結(jié)果Fig.13 Displacement of structure under initial tension of 350kN

（6）建立模型3，提取模型2中最終索的內(nèi)力，而后將其以初拉力的形式輸入，計(jì)算后查看模型3最終位移結(jié)果，直到滿足設(shè)計(jì)需求的位移范圍，可重復(fù)步驟2～5的過(guò)程。

本結(jié)構(gòu)在上述基礎(chǔ)上又經(jīng)歷了四次初拉力調(diào)整，即調(diào)整初拉力為400kN、500kN、700kN、770kN（如圖14所示為初拉力設(shè)置為770kN下結(jié)構(gòu)在自重工況下的位移結(jié)果），最后控制結(jié)構(gòu)位移量無(wú)限接近于0，最終確定初狀態(tài)預(yù)應(yīng)力值。

圖14 自重工況下結(jié)構(gòu)的位移結(jié)果Fig.14 Displacement results of structures under dead load conditions

最后求得最大位移量是12.78mm，一般求目標(biāo)預(yù)應(yīng)力值時(shí)要保證結(jié)構(gòu)的起拱值不宜過(guò)大，應(yīng)控制在跨度的1／600以內(nèi)。此模型結(jié)構(gòu)跨度88.8m，跨度的1／600約為14.8mm，可以近似認(rèn)為找形成功。如果想進(jìn)一步縮小位移差，可以調(diào)整計(jì)算預(yù)應(yīng)力大小反復(fù)試算，使結(jié)果在自重和預(yù)應(yīng)力作用下變形量接近于0。

4 結(jié)論

文中提到的逆迭代法進(jìn)行索結(jié)構(gòu)找形分析對(duì)張弦梁結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計(jì)提供了借鑒和參考，具有一定的推廣價(jià)值。張弦梁結(jié)構(gòu)的找形分析，在midas Gen軟件的運(yùn)用中得以非常便捷的實(shí)現(xiàn)。