王立憲 周宇 狄生奎 吳長(zhǎng)

（1.蘭州理工大學(xué)西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心 730050；2.蘭州理工大學(xué)甘肅省土木工程防災(zāi)減災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 730050）

結(jié)構(gòu)損傷多由于設(shè)計(jì)和建造缺陷或使用不規(guī)范等原因?qū)е禄炷灵_(kāi)裂、鋼筋銹蝕等多因素非線性疊加，損傷進(jìn)而會(huì)體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)自振特性的退化上，并可通過(guò)結(jié)構(gòu)局部或整體剛度下降來(lái)描述，良好的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別指標(biāo)可以定性、定位、定量的描述結(jié)構(gòu)損傷［1］。Pandey A K和Biswas M提出柔度差法，采用損傷前后柔度矩陣做差得到柔度差矩陣，通過(guò)模型試驗(yàn)及數(shù)值算例驗(yàn)證柔度矩陣用于梁結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的有效性［2－3］。Aktan A E和Zhao J均通過(guò)算例和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了柔度指標(biāo)相比于頻率和振型指標(biāo)對(duì)損傷診斷有更好的敏感性［4－6］。柔度矩陣可通過(guò)較低階模態(tài)參數(shù)獲取較高的精度，較高階模態(tài)參數(shù)對(duì)柔度矩陣貢獻(xiàn)反而漸小，因此柔度矩陣類損傷指標(biāo)可避免大量運(yùn)算和有限元建模修正，諸多學(xué)者據(jù)此對(duì)基于柔度矩陣類損傷指標(biāo)做了大量研究［7－10］。Ko等提出柔度矩陣改變率指標(biāo)作為損傷診斷指標(biāo)［11］。孫宗光等提取損傷前后柔度矩陣對(duì)角元素之間的比值求柔度矩陣變化率，用來(lái)識(shí)別斜拉橋損傷位置［12］。荊龍江和項(xiàng)貽強(qiáng)提出利用柔度矩陣主對(duì)角元素的變化絕對(duì)值判定大跨斜拉橋損傷位置［13］。曲率指標(biāo)是對(duì)曲線平坦程度的衡量，包含二階導(dǎo)數(shù)以及平方項(xiàng)可放大損傷處數(shù)值差異。Zhang Z和Aktan A E提出柔度曲率的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別指標(biāo)［14］。曹暉等提出模態(tài)柔度曲率差指標(biāo)［15］，并在文獻(xiàn)［16］里驗(yàn)證了模態(tài)柔度曲率差用于框架結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別。姚京川等提出柔度曲率改變率指標(biāo)用于損傷診斷［17］。李永梅等提出柔度差曲率指標(biāo)，并用于不同支承條件下梁結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別研究［18，19］。彭念等通過(guò)簡(jiǎn)支梁和兩跨連續(xù)梁數(shù)值算例驗(yàn)證所提出僅基于損傷柔度曲率的損傷識(shí)別新指標(biāo)［20］。

本文提出基于柔度矩陣主對(duì)角元素斜率的兩個(gè)損傷識(shí)別指標(biāo)：柔度矩陣斜率差（Flexibility Slope Difference，F(xiàn)SD）、柔度矩陣差斜率（Flexibility Difference Slope，F(xiàn)DS），通過(guò)提取損傷前后柔度矩陣主對(duì)角元素，按行順序排成n×1階列向量，柔度矩陣斜率差是對(duì)列向量求一次差分得到差分向量后做差得到，柔度矩陣差斜率通過(guò)對(duì)損傷前后列向量的差向量后求一次差分得到。通過(guò)簡(jiǎn)支梁不同位置、不同程度單點(diǎn)、兩點(diǎn)和連續(xù)梁不同程度多點(diǎn)損傷工況，驗(yàn)證指標(biāo)FDS和指標(biāo)FSD識(shí)別效果并比較研究。

1 基于柔度矩陣斜率的損傷指標(biāo)

斜率可以表示數(shù)列相對(duì)某一標(biāo)準(zhǔn)水平的傾斜程度和平均變化率。柔度矩陣內(nèi)第i行第j列的元素為在單元j處施加單位力，單元i上產(chǎn)生位移，其主對(duì)角元素由相鄰單元貢獻(xiàn)疊加而成，相比其他非對(duì)角線元素有代表性。本文通過(guò)結(jié)合柔度矩陣對(duì)角元素與斜率提出柔度矩陣差斜率（FDS）指標(biāo)、柔度矩陣斜率差（FSD）指標(biāo)，構(gòu)建方法過(guò)程如下。

1.1 構(gòu)建損傷指標(biāo)FSD和FDS

柔度矩陣可通過(guò)提取頻率和振型向量構(gòu)建［2］：

式中：上標(biāo)d代表已損傷量；上標(biāo)u代表無(wú)損量；diag（·）表示取括號(hào)內(nèi)矩陣主對(duì)角元素按行順序構(gòu)成列向量，fii為構(gòu)建列向量的柔度矩陣主對(duì)角元素。

1.2 構(gòu)建柔度矩陣斜率差指標(biāo)（FSD）

求損傷前后的柔度矩陣主對(duì)角元素斜率，即對(duì)diag（Fu）和diag（Fd）求一次差分，得到損傷前后主對(duì)角元素斜率列向量：

再求斜率列向量的差向量得：

取式（4）式列向量中各元素絕對(duì)值得到柔度矩陣斜率差FSD指標(biāo)：

1.3 構(gòu)建柔度矩陣差斜率指標(biāo)（FDS）

對(duì)損傷前后柔度矩陣主對(duì)角向量求差得：

由式（6）各元素絕對(duì)值構(gòu)成新的列向量Δ：

對(duì)差向量求一次差分，再取絕對(duì)值得柔度矩陣差斜率FDS指標(biāo)：

1.4 識(shí)別損傷

利用上述兩種新指標(biāo)，以x軸為單元號(hào)，y軸為損傷指標(biāo)函數(shù)值，采用MatLab繪制損傷指標(biāo)曲線圖用于損傷位置判別和損傷程度評(píng)價(jià)。通過(guò)損傷指標(biāo)曲線圖的階躍畸變點(diǎn)位置對(duì)損傷位置進(jìn)行定位識(shí)別，利用損傷指標(biāo)曲線圖畸變幅值對(duì)損傷程度進(jìn)行定量判別。

2 簡(jiǎn)支梁算例

2.1 模型概況和損傷工況

本文采用有限元軟件MIDAS／Civil對(duì)簡(jiǎn)支梁進(jìn)行損傷識(shí)別，采用梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬。建立的簡(jiǎn)支梁有限元模型基本參數(shù)：簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)為2m，材料彈性模量取33.141GPa，材料密度取2549kg／m3，材料泊松比取0.2，梁截面尺寸為0.15m ×0.2m，截面慣性矩為1×10－4。全梁共100個(gè)梁?jiǎn)卧瑥淖笾劣乙来闻帕?，如圖1所示。

圖1 簡(jiǎn)支梁有限元模型Fig.1 Finite element model of a simple beam

簡(jiǎn)支梁各損傷工況通過(guò)降低單元彈性模量的5%、10%、20%、30%、40%方式來(lái)降低局部剛度，以此模擬局部損傷相應(yīng)的百分?jǐn)?shù)，單元質(zhì)量不變且截面不削弱。各損傷工況匯總于表1。

表1 簡(jiǎn)支梁損傷工況Tab.1 Damage cases of a simple beam

2.2 損傷識(shí)別結(jié)果分析

使用MIDAS／Civil提取簡(jiǎn)支梁模型損傷前后前三階模態(tài)參數(shù)并作歸一化處理，通過(guò)MatLab程序編寫(xiě)柔度斜率差FSD和柔度差斜率FDS公式，處理模擬數(shù)據(jù)，并繪制FSD和FDS曲線進(jìn)行分析研究。損傷指標(biāo)曲線圖均以單元號(hào)作為橫坐標(biāo)、損傷指標(biāo)值為縱坐標(biāo)，通過(guò)損傷指標(biāo)曲線畸變點(diǎn)標(biāo)識(shí)損傷位置，以畸變幅值標(biāo)識(shí)損傷程度。

1.單點(diǎn)損傷工況

簡(jiǎn)支梁?jiǎn)吸c(diǎn)損傷工況下（損傷工況見(jiàn)表1）損傷指標(biāo)曲線如圖2～圖4所示。

圖2 簡(jiǎn)支梁跨中單點(diǎn)損傷工況Fig.2 One damaged element in the mid-span

通過(guò)圖2比較FSD和FDS識(shí)別效果可以看出，兩指標(biāo)曲線均在跨中處第50單元出現(xiàn)階躍畸變，且不同損傷程度呈現(xiàn)幅值差異，精確地識(shí)別了損傷的發(fā)生、損傷的位置，有效地標(biāo)識(shí)了損傷程度的不同。尤其對(duì)跨中輕微損傷如5%時(shí)，該兩種指標(biāo)仍可較好的識(shí)別。

圖3 簡(jiǎn)支梁四分之三跨單點(diǎn)損傷工況Fig.3 One damaged element in the 3／4th span

圖4 簡(jiǎn)支梁支座單點(diǎn)損傷工況Fig.4 One damaged element near the support

由圖3曲線形態(tài)特征可知，簡(jiǎn)支梁3／4跨單點(diǎn)損傷工況下，柔度矩陣主對(duì)角元素在第20單元和第65單元處出現(xiàn)變化率峰值。圖3中FSD和FDS曲線在3／4跨（第75單元）處出現(xiàn)階躍畸變點(diǎn)，精確地指出了損傷發(fā)生的位置，對(duì)損傷程度給出了定性判別。

由圖4表明，在支座處出現(xiàn)不同程度損傷時(shí)，F(xiàn)SD和FDS曲線均在第18單元和第72單元附近出現(xiàn)峰值，F(xiàn)DS指標(biāo)可以通過(guò)曲線階躍畸變點(diǎn)精確地識(shí)別損傷發(fā)生位置，即支座附近（第98、第99單元），通過(guò)曲線階躍畸變點(diǎn)處幅值標(biāo)識(shí)出損傷程度差異。FSD指標(biāo)僅在損傷超過(guò)20%時(shí)能準(zhǔn)確標(biāo)識(shí)階躍畸變點(diǎn)位置。

單點(diǎn)損傷工況下，F(xiàn)SD相比于FDS曲線光滑、圓潤(rùn)，曲線數(shù)據(jù)不穩(wěn)定點(diǎn)更少，識(shí)別精度更高。由圖2～圖4可以看出，在跨中、3／4跨、支座單點(diǎn)損傷工況下，F(xiàn)SD損傷指標(biāo)幅值分別為9.8 × 10－3、5.8 × 10－3、1.4 × 10－3，F(xiàn)DS 損傷指標(biāo)幅值分別為9.8 ×10－8、5.8 ×10－8、1.4 ×10－8。損傷曲線幅值從跨中向支座呈現(xiàn)出近似線性降低趨勢(shì)，說(shuō)明從對(duì)應(yīng)梁跨中單元向?qū)?yīng)支座單元的柔度矩陣主對(duì)角元素變化率下降。

2.兩點(diǎn)損傷工況

簡(jiǎn)支梁在兩點(diǎn)損傷工況下（損傷工況見(jiàn)表1）損傷指標(biāo)曲線如圖5～圖7所示。

由圖5中FSD和FDS曲線可以發(fā)現(xiàn)，跨中和1／4跨兩點(diǎn)損傷的FDS和FSD曲線均在第49單元（跨中）、第76單元（四分之三跨）處出現(xiàn)峰值和階躍畸變點(diǎn)，階躍畸變點(diǎn)位置和幅值準(zhǔn)確標(biāo)識(shí)了損傷發(fā)生的位置和損傷程度。比較圖5中FDS和FSD曲線，同一損傷程度下，跨中損傷處階躍值大于1／4跨，其損傷識(shí)別敏感性優(yōu)于1／4跨。

由圖6中FSD和FDS曲線可看出，簡(jiǎn)支梁1／4和3／4跨兩點(diǎn)損傷工況下，曲線在第26單元、第74單元處同時(shí)出現(xiàn)峰值和階躍點(diǎn)，說(shuō)明該兩個(gè)指標(biāo)在該工況下識(shí)別損傷位置和程度的整體效果良好?？缰刑庪m出現(xiàn)極小值，但未出現(xiàn)階躍畸變點(diǎn)，所以并不影響損傷識(shí)別效果。

由圖7中FSD和FDS曲線可知，跨中和支座處兩點(diǎn)同時(shí)發(fā)生同等程度損傷時(shí)，曲線在跨中第50單元處出現(xiàn)階躍畸變點(diǎn)，畸變位置明顯且幅值大，標(biāo)識(shí)了跨中不同程度損傷，但在支座附近階躍幅值較輕微，識(shí)別效果相比跨中不明顯。

圖5 簡(jiǎn)支梁跨中 ＆ 四分之三跨兩點(diǎn)損傷工況Fig.5 Two damaged elements in the mid-span ＆ the 3／4th span

圖6 簡(jiǎn)支梁四分之一 ＆ 四分之三跨兩點(diǎn)損傷工況Fig.6 Two damaged elements in the 1／4th span ＆ the 3／4th span

圖7 簡(jiǎn)支梁跨中 ＆ 支座兩點(diǎn)損傷工況Fig.7 Two damaged elements in the mid-span ＆ near the support

兩點(diǎn)損傷工況下，F(xiàn)DS指標(biāo)曲線的平滑性和數(shù)據(jù)穩(wěn)定性優(yōu)于FSD指標(biāo)曲線。參照單點(diǎn)損傷識(shí)別結(jié)果可得到同樣結(jié)論，F(xiàn)SD和FDS兩個(gè)指標(biāo)識(shí)別損傷的敏感性由跨中位置向支座位置呈現(xiàn)降低趨勢(shì)。

3 連續(xù)梁算例

3.1 模型概況和損傷工況

采用有限元軟件MIDAS／Civil對(duì)連續(xù)梁進(jìn)行損傷識(shí)別，采用梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬。建立的連續(xù)梁

有限元模型基本參數(shù)：連續(xù)梁尺寸為3×2.0m，材料及截面特性同簡(jiǎn)支梁算例。全梁共300個(gè)梁?jiǎn)卧?，從左至右依次排列，如圖8所示。

圖8 連續(xù)梁有限元模型Fig.8 Finite element model of a continuous beam

連續(xù)梁局部損傷的模擬方法與簡(jiǎn)支梁算例相同，以降低單元?jiǎng)偠葘?shí)現(xiàn)。損傷工況見(jiàn)表2。

表2 連續(xù)梁損傷工況Tab.2 Damage cases in a continuous beam

3.2 損傷識(shí)別結(jié)果分析

連續(xù)梁多點(diǎn)損傷工況下（損傷工況見(jiàn)表2）損傷指標(biāo)曲線如圖9所示。

圖9 連續(xù)梁多點(diǎn)損傷工況Fig.9 Multiple damaged elements in a continuous beam

通過(guò)比較圖9中FSD和FDS指標(biāo)曲線，可以看出兩曲線形態(tài)特征差別不大，均表現(xiàn)在左跨跨中（第50單元）、右跨1／4跨（第225單元）和3／4跨（第275單元）出現(xiàn)明顯階躍畸變，在兩負(fù)彎矩支座（第100單元和第200單元）處，指標(biāo)曲線階躍畸變輕微。FSD和FDS指標(biāo)應(yīng)用于連續(xù)梁多點(diǎn)損傷識(shí)別時(shí)，在支座處損傷識(shí)別敏感性較低，但可以精確識(shí)別非支座部位損傷的位置并定性判別損傷程度。

4 結(jié)論

本文提出對(duì)提取損傷前后柔度矩陣主對(duì)角元素，先進(jìn)行一次差分再求差向量得到柔度矩陣斜率差FSD損傷識(shí)別指標(biāo)，同時(shí)先求差向量后做一次差分得到柔度矩陣差斜率FDS指標(biāo)。通過(guò)建立簡(jiǎn)支梁和連續(xù)梁算例，繪制FSD曲線及FDS曲線進(jìn)行對(duì)比研究，驗(yàn)證所提出的FSD和FDS兩個(gè)新?lián)p傷識(shí)別指標(biāo)的識(shí)別效果。研究分析表明：

1.柔度矩陣斜率差（FSD）和柔度矩陣差斜率（FDS）均可作為簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)單點(diǎn)、兩點(diǎn)損傷識(shí)別指標(biāo)和連續(xù)梁非支座處損傷識(shí)別指標(biāo)，識(shí)別過(guò)程中可通過(guò)曲線階躍畸變點(diǎn)位置精確標(biāo)識(shí)損傷位置，并通過(guò)畸變曲線幅值大小定性判別損傷程度。

2.FSD和FDS兩個(gè)指標(biāo)對(duì)簡(jiǎn)支梁和連續(xù)梁非支座部位不同程度損傷診斷精確度高，行之有效。簡(jiǎn)支梁和連續(xù)梁從跨中向兩側(cè)支座呈現(xiàn)出指標(biāo)識(shí)別敏感性下降趨勢(shì)，對(duì)支座處輕微損傷識(shí)別精度較低。

3.在簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別過(guò)程中，F(xiàn)DS損傷指標(biāo)曲線相對(duì)于FSD損傷指標(biāo)曲線光滑，數(shù)據(jù)均勻穩(wěn)定，識(shí)別精確程度相對(duì)較高。

4.本文所提出的柔度矩陣斜率差（FSD）和柔度矩陣差斜率（FDS）在計(jì)算工作量上較柔度曲率類指標(biāo)少一次中心差分，用于快速判定損傷發(fā)生、定位最危險(xiǎn)點(diǎn)具有一定優(yōu)勢(shì)。