劉雋宇

（山東省青島第二中學(xué)，山東青島，266100）

0 引言

信號(hào)的傅里葉分析的目的是在頻域研究信號(hào)的特征，其中傅里葉分析的原理是任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無限疊加。傅里葉分析方法不僅應(yīng)用于電力工程、通信和控制領(lǐng)域中，而且在力學(xué)、光學(xué)、量子物理和各種線性系統(tǒng)等許多有關(guān)數(shù)學(xué)、物理、和工程技術(shù)領(lǐng)域中得到廣泛而普遍的應(yīng)用。

在激光領(lǐng)域，激光諧振器發(fā)出的基模諧振腔的橫截面振幅分布，在通常情況下遵守高斯函數(shù)，此類光束稱高斯光束。而由于高斯光束在激光應(yīng)用中存在諸多限制，因此人們致力于探索性能更優(yōu)的光束，如艾里光束等無衍射光束。2007年，艾里光束首先由 Christodoulides 研究組實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象表明：艾里光束除了具有無衍射和自愈特性外, 還具有自彎曲傳輸?shù)钠娈愄匦訹1]。艾里光束的實(shí)現(xiàn)以及其奇異的特性因此很快引起了研究人員的廣泛關(guān)注，人們紛紛開始研究艾里光束在各種介質(zhì)下的傳輸特性。

隨著對(duì)激光研究的深入，人們不止在時(shí)域關(guān)注激光的性質(zhì)，通過頻域上的觀察，可以研究激光的單色性等性質(zhì)。為了研究激光光束的頻譜特性，采用傅里葉分析的方法可以方便快捷地獲得光束在頻域上的頻率組成，為之后的性質(zhì)研究打下基礎(chǔ)。

1 理論研究

1.1 高斯光束實(shí)驗(yàn)理論

1.1.1 高斯光束

激光的橫截面振幅分布滿足高斯分布的光束稱為高斯光束，這里假設(shè)高斯光束沿著z軸傳輸，束腰中心在坐標(biāo)原點(diǎn)位置，那么z=0平面上的交叉功率譜為[2]：

其中，ω為角頻率，0S (ω)為源光譜，0w為高斯光束的腰斑半徑。

1.1.2 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

如圖1所示，入射的光束首先沿直線傳播，在遇到透鏡之前經(jīng)過一個(gè)衍射屏，產(chǎn)生了衍射光場(chǎng)。實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象表明：當(dāng)這個(gè)光場(chǎng)中包含很多不同的頻率成分時(shí)，凸透鏡的會(huì)聚作用使得衍射光場(chǎng)中擁有相同空間頻率的光波成分將會(huì)聚集到透鏡的像方焦平面上（如圖1中的光線1和2，光線3和4的空間頻率相同，它們經(jīng)過透鏡后分別會(huì)聚到A、B兩點(diǎn)）。此時(shí)，在透鏡的像方焦平面上安放一個(gè)觀察屏，屏上顯現(xiàn)的是衍射波場(chǎng)的空間頻率分布，這種變換就是從空域到頻域的變換，即光場(chǎng)的傅立葉變換。按此理論來說，當(dāng)光場(chǎng)包含的頻率成分較少或者只有一種頻率時(shí)，映在觀察屏的空間頻率少量的點(diǎn)或者只有一個(gè)點(diǎn)。透鏡像方焦平面上的光波復(fù)振幅分布 E (xf, yf)表達(dá)式如下（其中 T (u ,v)是t(x,y)的傅里葉變換）[2]

圖1 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.2 艾里光束實(shí)驗(yàn)理論

在量子力學(xué)框架下, 薛定諤方程被用來描述粒子和波的運(yùn)動(dòng), 一維形式的薛定諤方程描述為[1]:

而在光學(xué)領(lǐng)域, 傍軸近似下光束的線性傳輸行為遵循以下衍射方程[1]:

其中,Ai表示艾里函數(shù),s=x/ x0是歸一化無量綱橫向坐標(biāo),ξ=z/k x02為歸一化傳輸距離, x0為選取的橫坐標(biāo)常量。

由于艾里光束攜帶無窮大的能量而不能收束,因此滿足（5）式形式的艾里光束在現(xiàn)實(shí)中是不存在的，此艾里光束稱之為無限能量艾里光束。然而，我們可以通過數(shù)學(xué)的方法對(duì)艾里光束進(jìn)行“截趾”，在（5）式的入射光場(chǎng)上乘以一個(gè)指數(shù)衰減項(xiàng)exp(αs)(α>0為指數(shù)衰減因子)。以該新的光場(chǎng)為初始解形式,重新求解傍軸衍射方程,可得[1]：

由此表明遵循此式的艾里光束可以實(shí)際存在，稱之為有限能量艾里光束。

類似地，我們還可以寫出二維的艾里函數(shù)解[1]：

研究表明艾里光束在長(zhǎng)距離、復(fù)雜的介質(zhì)中具有優(yōu)良的傳輸特性[3]，因此作為對(duì)比，我們可以分析其頻域上的表現(xiàn)與高斯光束的不同，并分析由此造成的特性上的差異。而由于二維艾里光束是在兩個(gè)維度上描述的光強(qiáng)分布，因此我們下一部分采用二維艾里光束進(jìn)行模擬。

2 模擬仿真

2.1 基于SeeLight平臺(tái)的高斯光束的傅里葉分析

實(shí)驗(yàn)條件：根據(jù)理論部分的描述，我們知道可以通過透鏡模擬光場(chǎng)的傅里葉變換。根據(jù)圖1的原理，基于Seelight光學(xué)系統(tǒng)虛擬仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，放置實(shí)驗(yàn)裝置如下圖2所示。

圖2 基于SeeLight平臺(tái)的高斯傅里葉分析模擬圖

運(yùn)用控制變量法，分別改變波長(zhǎng)，束腰半徑，傳輸距離，透鏡焦距的實(shí)驗(yàn)條件，依次得到仿真圖像。

（1）實(shí)驗(yàn)1：當(dāng)高斯光束的束腰半徑較小時(shí)，焦距對(duì)結(jié)果的影響分析實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)條件：波長(zhǎng)550nm 束腰半徑0.01cm 傳輸距離20cm透鏡焦距從15cm 依次以5cm的間隔遞增。

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：

圖3 高斯光束經(jīng)過透鏡后的圖像

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：通過SeelLight的模擬，得到三個(gè)透鏡焦距依次為15cm,20cm,25cm的振幅圖像(如圖3(a),(b),(c)所示。三幅圖都表現(xiàn)出單一頻點(diǎn)的特性，符合單一波長(zhǎng)的高斯光束經(jīng)過傅里葉變換后的幅頻特性，不同之處是從三幅圖中可以看出，隨著焦距的增大，最后得到的圖像上頻點(diǎn)的直徑也隨之增大，這符合透鏡成像的原理。

（2）實(shí)驗(yàn)2：高斯光束的束腰半徑較大時(shí)，焦距對(duì)結(jié)果的影響分析實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)條件：波長(zhǎng)550nm 束腰半徑0.04cm 傳輸距離20cm透鏡焦距從15cm 依次以5cm的間隔遞增。

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：增大束腰半徑從0.01cm到0.04cm，得到三幅幅度的圖像(如圖4(a),(b),(c)所示，通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，三幅圖都表現(xiàn)出了除中心光點(diǎn)以外的橫縱軸亮線，符合單一波長(zhǎng)高斯光束經(jīng)過傅里葉變換后的幅頻特性。通過與實(shí)驗(yàn)1的對(duì)比，我們可以看出，束腰半徑增大時(shí)，通過透鏡變換后越能體現(xiàn)高斯光束頻譜特性的更多細(xì)節(jié)。

圖4 高斯光束經(jīng)過透鏡后的圖像

（3）實(shí)驗(yàn)3：波長(zhǎng)對(duì)結(jié)果的影響分析實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)條件：波長(zhǎng)550nm束腰半徑0.04cm傳輸距離20cm透鏡焦距25cm和波長(zhǎng)632.5nm束腰半徑0.04cm傳輸距離20cm透鏡焦距25cm。

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：

圖5 高斯光束經(jīng)過透鏡后的圖像

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：從圖5(a),(b)中可以看到，波長(zhǎng)變長(zhǎng)時(shí)的圖像相比550nm，光斑大小沒有變化，幅值稍微變小。根據(jù)傅里葉變換公式可以知道，傅里葉變換后的像函數(shù)與e^ (-iwt)有關(guān)，那么波長(zhǎng)變長(zhǎng)意味著w變小，-w則增大，e^ (-iwt)的實(shí)部和虛部在波動(dòng)，但是 abs(e^ (-iwt))卻保持恒定的值不變，因此單個(gè)波長(zhǎng)改變，并不會(huì)影響傅里葉變換后的光強(qiáng)分布，只是幅值大小會(huì)稍微受影響。

2.2 基于MATLAB平臺(tái)的艾里光束的傅里葉分析

通過MATLAB編程模擬艾里光束[4～5]，并使用自帶的二維離散傅里葉變換函數(shù)fft2()對(duì)模擬的艾里光束進(jìn)行傅里葉變換，在此基礎(chǔ)上，通過改變衰減系數(shù)，觀察不同實(shí)驗(yàn)條件下的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。

（1）實(shí)驗(yàn)1：衰減系數(shù)較小時(shí)的分析實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)條件：衰減系數(shù)0.01，傳播3000米。

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：

圖6 艾里光束圖像

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：從圖6(a),(b),(c)可以看出，艾里光束在傳播一段距離后，其光束整體發(fā)生了偏移，這驗(yàn)證了艾里光束的自加速特性。從圖6(c)艾里光束經(jīng)過傅里葉變換后的圖像可以看到，艾里光束的頻譜圖與高斯光束的有相似之處，如有相似的十字亮線以及中間亮斑，不同的是由于艾里光束除了主瓣以外，有多個(gè)旁瓣，這些旁瓣的存在在頻譜圖上的表現(xiàn)是產(chǎn)生了中心亮點(diǎn)以外的小亮點(diǎn)。

（2）實(shí)驗(yàn)2：衰減系數(shù)偏小時(shí)的分析實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)條件：衰減系數(shù)0.1，傳播3000米。

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：

圖7 艾里光束圖像

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：當(dāng)衰減系數(shù)增大時(shí)，艾里光束傳輸時(shí)的衰減增大，可以看到傳輸3000米以后圖7(b)的光強(qiáng)圖像艾里光束光強(qiáng)減弱，并且出現(xiàn)旁瓣間隔不清的現(xiàn)象。這直接導(dǎo)致其頻譜圖中心以外的亮點(diǎn)分布的區(qū)域范圍變小，表明艾里光束頻譜圖頻點(diǎn)在減少。

（3）實(shí)驗(yàn)3：衰減系數(shù)較大時(shí)的分析實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)條件：衰減系數(shù)1，傳播3000米。

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：

圖8 艾里光束圖像

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：當(dāng)衰減系數(shù)增大到1時(shí)，傳輸3000米后發(fā)現(xiàn)其光強(qiáng)圖像變?yōu)閳D8(b)的形式，即變?yōu)轭惛咚构馐?，?duì)其進(jìn)行傅里葉變換，得出圖8(c)只有一個(gè)亮點(diǎn)的圖像，表面圖8(b)的頻譜圖只有一個(gè)頻點(diǎn)。

通過以上三個(gè)實(shí)驗(yàn)對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，隨著艾里光束衰減系數(shù)的增大，傳輸同等距離時(shí)，衰減系數(shù)小的艾里光束在傳輸過程中衰減小，旁瓣清晰，隨著衰減系數(shù)的增大，艾里光束的衰減也在增大，當(dāng)其為1時(shí)，可見旁瓣已經(jīng)全部衰減，只留下主瓣光束，艾里光束變?yōu)轭惛咚构馐?/p>

3 結(jié)語

本文對(duì)高斯光束和艾里光束進(jìn)行了理論分析和實(shí)驗(yàn)?zāi)M。在高斯光束部分的實(shí)驗(yàn)中，驗(yàn)證了符合單一波長(zhǎng)高斯光束經(jīng)過傅里葉變換后的歸一化后的幅頻特性以及高斯波束傅里葉變換時(shí)不受波長(zhǎng)影響的特性，發(fā)現(xiàn)隨著焦距的增大，最后得到的圖像上頻點(diǎn)的直徑也隨之增大，且其他條件不變，增大束腰半徑，可得到更多的頻譜細(xì)節(jié)。在艾里光束部分的實(shí)驗(yàn)中，驗(yàn)證了艾里光束的自加速特性，發(fā)現(xiàn)艾里光束的頻譜圖與高斯光束的有相似之處，如有相似的十字亮線以及中間亮斑，不同的是由于艾里光束除了主瓣以外，有多個(gè)旁瓣，這些旁瓣的存在在頻譜圖上的表現(xiàn)是產(chǎn)生了中心亮點(diǎn)以外的小亮點(diǎn)；隨著艾里光束的衰減系數(shù)增大，其頻譜圖頻點(diǎn)在減少，當(dāng)衰減系數(shù)增大至1時(shí)，其頻譜圖只有一個(gè)頻點(diǎn)。