關(guān) 鍵

(黑龍江省大慶四中 163000)

數(shù)學(xué)知識(shí)是相通的，許多高等數(shù)學(xué)中的解題方法可直接用來(lái)求解初等數(shù)學(xué)題，使我們能快速地確定解題思路，進(jìn)而能夠找出更簡(jiǎn)捷的解題方法.因此作為高中的數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，可以教會(huì)學(xué)生一些高等數(shù)學(xué)的解題方法，以幫助他們能夠用多種方法解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高他們解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

一、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系

初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是由初等數(shù)學(xué)發(fā)展而來(lái)的.因此只有先學(xué)習(xí)和掌握了初等數(shù)學(xué)知識(shí)才能夠?qū)W會(huì)和運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí).同理，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)有助于加深對(duì)初等數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，進(jìn)一步提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.如在研究函數(shù)的增減性以及求極值和最值等一些特性時(shí)，具有較大的局限性.如果用高等數(shù)學(xué)知識(shí)中的極限、級(jí)數(shù)和導(dǎo)數(shù)就可以很好地解決函數(shù)的特性問(wèn)題.有些題可以選擇用高等數(shù)學(xué)知識(shí)和初等數(shù)學(xué)知識(shí)同時(shí)解決，通過(guò)對(duì)比，提高學(xué)生對(duì)這兩種方法的理解和認(rèn)知水平，同時(shí)還可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.有些問(wèn)題在初等數(shù)學(xué)中沒(méi)有得到充分的解決，但是應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)就很容易解答.如函數(shù)的遞增性問(wèn)題.

二、高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決初等數(shù)學(xué)題的應(yīng)用

1.用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決初等數(shù)學(xué)中不等式的問(wèn)題

如可以利用柯西不等式或者用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)證明不等式等.運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)中的導(dǎo)數(shù)方法證明不等式，把需要證明的一元不等式通過(guò)構(gòu)造成函數(shù)的方式轉(zhuǎn)化 成了關(guān)于x的函數(shù)，然后再通過(guò)求F(x)的最值的方法達(dá)到證明不等式的目的.進(jìn)而打破了利用初等數(shù)學(xué)解不等式的局限性，也最終能夠使不等式這類(lèi)問(wèn)題得到充分的解決.

通過(guò)解題可知，當(dāng)F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則aF(a)．如果f(a)=φ(a)，要證明當(dāng)x>a時(shí)，f(x)>φ(x)，那么，只要令F(x)=f(x)-φ(x)，就可以利用F(x)的單調(diào)增性來(lái)推導(dǎo)．也就是說(shuō)，在F(x)可導(dǎo)的前提下，只要證明F′(x)>0即可．

2.高等數(shù)學(xué)中離散數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用

離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容包括數(shù)理邏輯、數(shù)論、圖論、集合論以及代數(shù)結(jié)構(gòu)等知識(shí).其中利用數(shù)理邏輯的方法解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，具有較強(qiáng)的概括性和推理便捷性，便于分析.

如對(duì)于若P則Q類(lèi)的證明，可以順著P、Q的成立條件來(lái)進(jìn)行分析，當(dāng)P滿足時(shí)Q則滿足，意識(shí)P為Q的先導(dǎo)條件.可以假設(shè)P已經(jīng)成立時(shí)，推導(dǎo)出Q是否成立，命題即可得到證明.具體證明實(shí)例如下.

3.常微分方程的建模技術(shù)應(yīng)用

方程在實(shí)際問(wèn)題的解決中占有非常重要的地位，它是解決問(wèn)題的一種重要的方法.笛卡兒曾經(jīng)設(shè)想過(guò)把任何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題然后再把任何數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，再指導(dǎo)代數(shù)問(wèn)題歸結(jié)為解方程的萬(wàn)能方法.雖然笛卡兒的設(shè)想沒(méi)有成功，但是它仍然是個(gè)偉大的思想.常微分方程建模技術(shù)的形成，讓方程的思想發(fā)揮越來(lái)越重要的作用.如有一個(gè)空水池，如果單獨(dú)灌水需24個(gè)小時(shí)灌滿，單獨(dú)排水需48小時(shí).如果同時(shí)灌水和排水，用多少小時(shí)可將空水池灌滿？可以設(shè)水池的容積為V，水池灌滿所需的時(shí)間為t建立方程，結(jié)果需要48小時(shí)灌滿水.但是在實(shí)際中，可以用灌水為衡量，排水是隨水池水位下降流量而不斷減少的.而簡(jiǎn)單通過(guò)建立微分方程是無(wú)法灌滿水的，通過(guò)實(shí)驗(yàn)或者觀察而求解的做法是行不通的.通過(guò)建立和處理數(shù)學(xué)模型，把數(shù)學(xué)理論知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際的問(wèn)題中，問(wèn)題就迎刃而解了.

用高等數(shù)學(xué)中的理論和方法對(duì)初等數(shù)學(xué)的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行分析，可以很好地拓寬學(xué)生的解題思路；把高等數(shù)學(xué)中的一些內(nèi)容融合到初等數(shù)學(xué)中，還可促進(jìn)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生的思維更加靈活.