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        曲線參數(shù)方程的求值應(yīng)用

        2018-11-08 02:33:54
        數(shù)理化解題研究 2018年28期
        關(guān)鍵詞:拋物線利用

        于 航

        (河北省樂亭第一中學(xué) 063600)

        一、直線參數(shù)方程求值

        例1 拋物線C:y2=4x,其焦點(diǎn)為F,現(xiàn)過點(diǎn)F作兩條直線l1、l2,且使得l1⊥l2,設(shè)直線l1與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn),直線l2與拋物線C相交于D、E兩點(diǎn),試求|AB|+|DE|的最小值.

        分析利用直線參數(shù)方程來解題,首先設(shè)出直線l1的參數(shù)方程,代入拋物線C中,利用弦長(zhǎng)公式可得|AB|的值,利用l1⊥l2的特殊關(guān)系可以推出|DE|的值,從而可建立|AB|+|DE|關(guān)于直線參數(shù)的關(guān)系式,結(jié)合參數(shù)的取值范圍即可求解.

        我們?cè)诶弥本€參數(shù)方程求值時(shí)可以按照如下思路:首先根據(jù)直線的斜率和點(diǎn)設(shè)出參數(shù)方程,然后聯(lián)立參數(shù)方程與其它曲線的方程.對(duì)于常見的距離問題或弦長(zhǎng)問題,則需要我們結(jié)合相應(yīng)的距離公式或弦長(zhǎng)公式,將線段問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線參數(shù)的函數(shù),結(jié)合參數(shù)的取值來求解.

        二、圓的參數(shù)方程求值

        分析點(diǎn)A位于圓O上,則其坐標(biāo)必然滿足圓O的方程,求比值的最值可以結(jié)合圓的參數(shù)方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)來求解.

        需要我們注意的是,一般曲線圓的參數(shù)方程的參數(shù)取值為[0,2π),在構(gòu)建完關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系后如若難以通過參數(shù)定義域來確定問題的最值,則可以逆向思考,利用三角函數(shù)值域來反向求解,互換函數(shù)關(guān)系的變量.

        三、雙曲線參數(shù)方程求值

        例3 已知圓O:x2+(y-2)2=1,雙曲線C:x2-y2=1,點(diǎn)P和Q分別位于圓O和雙曲線C上,試求點(diǎn)P和Q之間距離的最小值.

        分析此題利用解圓外一點(diǎn)到圓上的最小值的思路,即PQ的延長(zhǎng)線經(jīng)過圓心時(shí)才有距離的最值,則|PQ|min=|PO|min-r,所以可以先求出點(diǎn)Q到圓心O的最小值.

        利用雙曲線的參數(shù)方程求相關(guān)距離的值,需要將曲線上的點(diǎn)參數(shù)化,這樣有利于我們后續(xù)求兩點(diǎn)之間距離.在對(duì)曲線參數(shù)化的同時(shí),也就將幾何問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題,這樣求解相對(duì)較為簡(jiǎn)單.

        總之,我們求解數(shù)學(xué)解析幾何的求值問題時(shí),可以利用曲線的參數(shù)方程來轉(zhuǎn)化問題,尤其是解與線段長(zhǎng)相關(guān)的問題,利用參數(shù)思想可以建立函數(shù)關(guān)系,從代數(shù)角度來分析.對(duì)于圓、橢圓、雙曲線問題,也可以通過三角代換來對(duì)函數(shù)降元,然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求值.

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