于 航

(河北省樂亭第一中學(xué) 063600)

一、直線參數(shù)方程求值

例1 拋物線C：y2=4x，其焦點(diǎn)為F，現(xiàn)過點(diǎn)F作兩條直線l1、l2，且使得l1⊥l2，設(shè)直線l1與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與拋物線C相交于D、E兩點(diǎn)，試求|AB|+|DE|的最小值.

分析利用直線參數(shù)方程來解題，首先設(shè)出直線l1的參數(shù)方程，代入拋物線C中，利用弦長(zhǎng)公式可得|AB|的值，利用l1⊥l2的特殊關(guān)系可以推出|DE|的值，從而可建立|AB|+|DE|關(guān)于直線參數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合參數(shù)的取值范圍即可求解.

我們?cè)诶弥本€參數(shù)方程求值時(shí)可以按照如下思路：首先根據(jù)直線的斜率和點(diǎn)設(shè)出參數(shù)方程，然后聯(lián)立參數(shù)方程與其它曲線的方程.對(duì)于常見的距離問題或弦長(zhǎng)問題，則需要我們結(jié)合相應(yīng)的距離公式或弦長(zhǎng)公式，將線段問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線參數(shù)的函數(shù)，結(jié)合參數(shù)的取值來求解.

二、圓的參數(shù)方程求值

分析點(diǎn)A位于圓O上，則其坐標(biāo)必然滿足圓O的方程，求比值的最值可以結(jié)合圓的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)來求解.

需要我們注意的是，一般曲線圓的參數(shù)方程的參數(shù)取值為[0,2π)，在構(gòu)建完關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系后如若難以通過參數(shù)定義域來確定問題的最值，則可以逆向思考，利用三角函數(shù)值域來反向求解，互換函數(shù)關(guān)系的變量.

三、雙曲線參數(shù)方程求值

例3 已知圓O：x2+(y-2)2=1，雙曲線C：x2-y2=1，點(diǎn)P和Q分別位于圓O和雙曲線C上，試求點(diǎn)P和Q之間距離的最小值.

分析此題利用解圓外一點(diǎn)到圓上的最小值的思路，即PQ的延長(zhǎng)線經(jīng)過圓心時(shí)才有距離的最值，則|PQ|min=|PO|min-r，所以可以先求出點(diǎn)Q到圓心O的最小值.

利用雙曲線的參數(shù)方程求相關(guān)距離的值，需要將曲線上的點(diǎn)參數(shù)化，這樣有利于我們后續(xù)求兩點(diǎn)之間距離.在對(duì)曲線參數(shù)化的同時(shí)，也就將幾何問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題，這樣求解相對(duì)較為簡(jiǎn)單.

總之，我們求解數(shù)學(xué)解析幾何的求值問題時(shí)，可以利用曲線的參數(shù)方程來轉(zhuǎn)化問題，尤其是解與線段長(zhǎng)相關(guān)的問題，利用參數(shù)思想可以建立函數(shù)關(guān)系，從代數(shù)角度來分析.對(duì)于圓、橢圓、雙曲線問題，也可以通過三角代換來對(duì)函數(shù)降元，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求值.