苑 揚(yáng)

(河北省衡水第一中學(xué) 053000)

在解析幾何中，學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，往往會(huì)涉及弦長問題，然而這部分又是學(xué)生的弱點(diǎn)，如果能熟練地運(yùn)用弦長公式求解，則必會(huì)讓解題變得輕松、簡潔.下面通過以下幾例來說明有關(guān)弦長問題的解法，供大家參考.

求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：

點(diǎn)評(píng)也可讓學(xué)生利用“焦半徑”公式計(jì)算.

(1)求證：拋物線與直線相交；

(2)求當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在直線下方時(shí)，a的取值范圍；

(3)當(dāng)a在(2)的取值范圍時(shí)，求拋物線被直線截得的弦長的最小值.

點(diǎn)津拋物線頂點(diǎn)在直線下方的充要條件是：頂點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式y(tǒng)<2x.

求弦長的最小值，通過設(shè)交點(diǎn)(設(shè)而不求)確定目標(biāo)函數(shù)f(a)，由a的取值范圍可得f(a)的最小值.

例3 已知拋物線方程為y2=2p(x+1)(p>0)，直線l:x+y=m過拋物線的焦點(diǎn)F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值．

解設(shè)l與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=3.由距離公式

消去x,得y2+2py-p2=0.

Δ=(2p)2+4p2>0，

∴y1+y2=-2p,y1y2=-p2.

涉及弦長問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(即應(yīng)用弦長公式)；涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.